浙江省山海共富联盟2023-2024学年高一第二学期调研考数学学科试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.
1．（2024高一下·浙江月考） 已知向量，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设点，因为，向量，所以，
即，解得，，故点B的坐标为.
故答案为：A.
【分析】设点，根据向量坐标的线性运算求解即可.
2．（2024高一下·浙江月考） 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由，，，根据正弦定理，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理求解即可.
3．（2024高一下·浙江月考） 已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
因为，所以不平行，而，则.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
4．（2024高一下·浙江月考） 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：平面平面，直线，“”，则或或与相交，即充分性不成立；
平面平面，直线，，则，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】利用空间线面、面面垂直与平行的关系判断即可．
5．（2024高一下·浙江月考） 已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为l cm，底面半径为r cm，
由题意得：，则母线，侧面展开半圆的弧长为，
底面圆的周长为，即，底面半径，
则该圆锥的高，
故圆锥的体积.
故答案为：C.
【分析】设圆锥母线长为l，底面半径为r，利用圆锥的体积公式求解即可.
6．（2024高一下·浙江月考） 若数据、、 的平均数是5，方差是4，数据、、 、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设数据的平均数为，标准差为，
则数据、、 、的平均数是4，
则，解得，
数据的平均数是5， ，解得，
由方差公式可得：
，
，
，解得.
故答案为：D.
【分析】设数据的平均数和标准差，利用平均数的定义求解即可判断AB；利用标准差和方差的关系求解即可判断CD.
7．（2024高一下·浙江月考） 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】解：分别取的中点，连接，如图所示：
则，故异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），
设，则，
，
在中，由余弦定理可得：，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】分别取的中点，可得是异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），在中，根据余弦定理求解即可.
8．（2024高一下·浙江月考） 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：在等腰中，记底边的中点，作，，交点即为垂心，以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，故，，，
故，，，
故，
设，故，则，故，
又，故，而，则，解得，
故，故，解得，可得，
易得，，可得，可得，解得，
则平分，故，，
则，故.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·浙江月考） 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点位于第四象限
B．
C．（是z的共轭复数）
D．若，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：，
A、复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确；
B、，故B错误；
C、，，故C正确；
D、，则点表示以为圆心，为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用复数的除法运算化简复数，再由复数的几何意义即可判断A；由复数的乘法运算和共轭复数的定义即可判断BC；由复数模的几何意义即可判断D.
10．（2024高一下·浙江月考） 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的平均数为33
C．这10年粮食年产量的中位数为29
D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
【答案】A,C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，故A正确；
B、平均值为，故B错误；
C、10年数据按从小到大排序为：，中位数为，故C正确；
D、前5年数据波动比后5年数据波动要小，因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用折线图数据计算判断即可．
11．（2024高一下·浙江月考） 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，使平面
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，若平面，则，
所以，即表示线段，则当点在线段时，平面，
所以存在点，使得平面，故A正确；
B、由等体积法，三棱锥的高为，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
C、，若，则，即，
所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；
D、取中点，连接，如图所示：
由题可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，又，
平面，则平面，
又取中点为，则，
有四点共面，则平面即为平面，
又由两平面平行性质可知，，，，
又都是中点，故是中点，是中点，
则平面截正方体的截面为正六边形，
又正方体棱长为，则，
故截面面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，即可判断AC；根据等体积法可计算出三棱锥的体积，即可判断B；利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·浙江月考） 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝ .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，，所以，则，
由余弦定理可得，即最小角的余弦值为，
故答案为：.
【分析】由题意确定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值即可.
13．（2024高一下·浙江月考） 若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则 .
【答案】8
【知识点】复数代数形式的乘除运算；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：因为是关于的实系数方程的一个根，
所以方程的另一个虚根为，由韦达定理可得，解得，，
则.
故答案为：.
【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知：方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算求值即可.
14．（2024高一下·浙江月考） 我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：正八边形内角和为，则，取AC中点，
则，所以，
因为，所以
由对称性可得，所以，
过点分别作，垂足为，如图所示：
则都为等腰直角三角形，且，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据多边形内角和公式求，取AC中点，根据向量运算法则化简可得，求，再求的最大值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·浙江月考）已知向量，满足，，，，的夹角为.
（1）；
（2）若，求实数；
（3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：因为，，，的夹角为 ，所以，
所以，
则；
（2）解：因为，所以
所以，即，解得；
（3）解： 因为与的夹角为钝角，所以，且，
由，可得，
故实数的取值范围为且.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积定义求，再结合向量的模的性质和数量积运算求即可；
（2）根据向量垂直关系列方程，结合向量的数量积运算律化简方程求即可；
（3）根据向量的数量积性质由条件列不等式求的范围.
16．（2024高一下·浙江月考）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线MN与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：证明：取BC中点K，连接NK，，如图所示：
因为M为的中点，所以，且，
又因为N为AC的中点，所以，且，
即四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
故平面.
（2）解：过点M作，连接NQ，如图所示：
因为是三棱柱，且平面ABC，
所以平面ABC，所以平面，平面，
所以，，
所以平面，
即直线MN与平面所成角为；
因为，，所以，，
过M作，，，，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，根据三角形中位线性质结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据已知条件，作出在平面上的射影，再在直角三角形中求解即可.
17．（2024高一下·浙江月考）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
【答案】（1）解：根据分层抽样知：应抽取小吃类家，生鲜类家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.
（2）解：（i）根据题意可得，解得，
设75百分位数为x，因为，
所以，解得，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元
（ii），
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，即可求应抽取小吃类、生鲜类商家的数目；
（2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；
（ii）先求出平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”所占的比例，即可求解.
18．（2024高一下·浙江月考）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即，所以，则.
（2）解：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
【知识点】基本不等式；向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理、余弦定理化简求值即可；
（2）由题意，可得，两边平方，结合余弦定理、基本不等式求出的最大值，最后根据三角形的面积公式求解即可.
19．（2024高一下·浙江月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
（1）证明：平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积
【答案】（1）证明：因为底面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以，
因为，所以平面PCD，
因为平面PCD，所以，
因为，点E是PC的中点，所以，
因为，所以平面PBC，
由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是，，，；
（2）解：记DC中点F，连接EF，过F做，连接EG，如图所示：
因为E，F是PC，DC中点，所以平面ABCD，面ABCD，所以，
又因为，，所以平面EFH，所以就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角；
设，又因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，，所以，，；
所以，；
所以，，
所以，，所以，
设球心为，设，
，解得，
四棱锥的外接球的半径为，则.
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，通过判断四面体的各面形状，判断是否为鳖臑，并写出直角即可；
（2）找中点，连接，过作，连接，证明就是面与面所成二面角的平面角，设，解三角形可得，利用正弦定理求的外接圆半径，由此确定的外接圆圆心，根据球的截面性质确定球心和球的半径，利用球的表面积公式计算即可.
1 / 1浙江省山海共富联盟2023-2024学年高一第二学期调研考数学学科试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.
1．（2024高一下·浙江月考） 已知向量，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·浙江月考） 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．4
3．（2024高一下·浙江月考） 已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·浙江月考） 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·浙江月考） 已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·浙江月考） 若数据、、 的平均数是5，方差是4，数据、、 、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2024高一下·浙江月考） 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·浙江月考） 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·浙江月考） 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点位于第四象限
B．
C．（是z的共轭复数）
D．若，则的最小值为
10．（2024高一下·浙江月考） 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．这10年粮食年产量的极差为15
B．这10年粮食年产量的平均数为33
C．这10年粮食年产量的中位数为29
D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
11．（2024高一下·浙江月考） 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，使平面
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·浙江月考） 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝ .
13．（2024高一下·浙江月考） 若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则 .
14．（2024高一下·浙江月考） 我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·浙江月考）已知向量，满足，，，，的夹角为.
（1）；
（2）若，求实数；
（3）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
16．（2024高一下·浙江月考）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线MN与平面所成角的正弦值.
17．（2024高一下·浙江月考）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
（1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
18．（2024高一下·浙江月考）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A；
（2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.
19．（2024高一下·浙江月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
（1）证明：平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设点，因为，向量，所以，
即，解得，，故点B的坐标为.
故答案为：A.
【分析】设点，根据向量坐标的线性运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由，，，根据正弦定理，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦定理求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
因为，所以不平行，而，则.
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：平面平面，直线，“”，则或或与相交，即充分性不成立；
平面平面，直线，，则，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】利用空间线面、面面垂直与平行的关系判断即可．
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为l cm，底面半径为r cm，
由题意得：，则母线，侧面展开半圆的弧长为，
底面圆的周长为，即，底面半径，
则该圆锥的高，
故圆锥的体积.
故答案为：C.
【分析】设圆锥母线长为l，底面半径为r，利用圆锥的体积公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设数据的平均数为，标准差为，
则数据、、 、的平均数是4，
则，解得，
数据的平均数是5， ，解得，
由方差公式可得：
，
，
，解得.
故答案为：D.
【分析】设数据的平均数和标准差，利用平均数的定义求解即可判断AB；利用标准差和方差的关系求解即可判断CD.
7．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】解：分别取的中点，连接，如图所示：
则，故异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），
设，则，
，
在中，由余弦定理可得：，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】分别取的中点，可得是异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），在中，根据余弦定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：在等腰中，记底边的中点，作，，交点即为垂心，以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，故，，，
故，，，
故，
设，故，则，故，
又，故，而，则，解得，
故，故，解得，可得，
易得，，可得，可得，解得，
则平分，故，，
则，故.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：，
A、复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确；
B、，故B错误；
C、，，故C正确；
D、，则点表示以为圆心，为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用复数的除法运算化简复数，再由复数的几何意义即可判断A；由复数的乘法运算和共轭复数的定义即可判断BC；由复数模的几何意义即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，故A正确；
B、平均值为，故B错误；
C、10年数据按从小到大排序为：，中位数为，故C正确；
D、前5年数据波动比后5年数据波动要小，因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用折线图数据计算判断即可．
11．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：A、建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，若平面，则，
所以，即表示线段，则当点在线段时，平面，
所以存在点，使得平面，故A正确；
B、由等体积法，三棱锥的高为，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
C、，若，则，即，
所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；
D、取中点，连接，如图所示：
由题可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，又，
平面，则平面，
又取中点为，则，
有四点共面，则平面即为平面，
又由两平面平行性质可知，，，，
又都是中点，故是中点，是中点，
则平面截正方体的截面为正六边形，
又正方体棱长为，则，
故截面面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，即可判断AC；根据等体积法可计算出三棱锥的体积，即可判断B；利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，，所以，则，
由余弦定理可得，即最小角的余弦值为，
故答案为：.
【分析】由题意确定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值即可.
13．【答案】8
【知识点】复数代数形式的乘除运算；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：因为是关于的实系数方程的一个根，
所以方程的另一个虚根为，由韦达定理可得，解得，，
则.
故答案为：.
【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知：方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算求值即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：正八边形内角和为，则，取AC中点，
则，所以，
因为，所以
由对称性可得，所以，
过点分别作，垂足为，如图所示：
则都为等腰直角三角形，且，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据多边形内角和公式求，取AC中点，根据向量运算法则化简可得，求，再求的最大值即可.
15．【答案】（1）解：因为，，，的夹角为 ，所以，
所以，
则；
（2）解：因为，所以
所以，即，解得；
（3）解： 因为与的夹角为钝角，所以，且，
由，可得，
故实数的取值范围为且.
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积定义求，再结合向量的模的性质和数量积运算求即可；
（2）根据向量垂直关系列方程，结合向量的数量积运算律化简方程求即可；
（3）根据向量的数量积性质由条件列不等式求的范围.
16．【答案】（1）解：证明：取BC中点K，连接NK，，如图所示：
因为M为的中点，所以，且，
又因为N为AC的中点，所以，且，
即四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
故平面.
（2）解：过点M作，连接NQ，如图所示：
因为是三棱柱，且平面ABC，
所以平面ABC，所以平面，平面，
所以，，
所以平面，
即直线MN与平面所成角为；
因为，，所以，，
过M作，，，，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，根据三角形中位线性质结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据已知条件，作出在平面上的射影，再在直角三角形中求解即可.
17．【答案】（1）解：根据分层抽样知：应抽取小吃类家，生鲜类家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.
（2）解：（i）根据题意可得，解得，
设75百分位数为x，因为，
所以，解得，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元
（ii），
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，即可求应抽取小吃类、生鲜类商家的数目；
（2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；
（ii）先求出平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”所占的比例，即可求解.
18．【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即，所以，则.
（2）解：由M在边BC上满足，可得，
两边平方可得，
所以，所以，
当且仅当时取“＝”，
所以，所以.
【知识点】基本不等式；向量在几何中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理、余弦定理化简求值即可；
（2）由题意，可得，两边平方，结合余弦定理、基本不等式求出的最大值，最后根据三角形的面积公式求解即可.
19．【答案】（1）证明：因为底面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以，
因为，所以平面PCD，
因为平面PCD，所以，
因为，点E是PC的中点，所以，
因为，所以平面PBC，
由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是，，，；
（2）解：记DC中点F，连接EF，过F做，连接EG，如图所示：
因为E，F是PC，DC中点，所以平面ABCD，面ABCD，所以，
又因为，，所以平面EFH，所以就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角；
设，又因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，，所以，，；
所以，；
所以，，
所以，，所以，
设球心为，设，
，解得，
四棱锥的外接球的半径为，则.
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，通过判断四面体的各面形状，判断是否为鳖臑，并写出直角即可；
（2）找中点，连接，过作，连接，证明就是面与面所成二面角的平面角，设，解三角形可得，利用正弦定理求的外接圆半径，由此确定的外接圆圆心，根据球的截面性质确定球心和球的半径，利用球的表面积公式计算即可.
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