2023-2024学年北京市首都师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市首都师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为( )
A. B. C. D.
2.若是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则( )
A. B. C. D.
3.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位密位等于圆周角的，即弧度密位在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，，则( )
A. ，且与方向相同 B. ，且与方向相同
C. ，且与方向相反 D. ，且与方向相反
5.关于函数，则下列结论中：
为该函数的一个周期；
该函数的图象关于直线对称；
将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象；
该函数在区间上单调递减．
所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
6.设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，，其图象如图所示．为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再( )
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
8.若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
9.如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点则当时，动点的纵坐标关于单位：的函数的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，为的外接圆的圆心，，，为边的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.计算 ．
12.已知是第四象限角，且，则 ______， ______．
13.在正方形网格中的位置如图所示，则 ______，向量在向量上的投影的数量为______．
14.已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为______．
15.已知函数，给出下列四个结论：
存在无数个零点；
在上有最大值；
若，则；
区间是的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，设，．
Ⅰ用，表示，；
Ⅱ用向量的方法证明：，，三点共线．
17.本小题分
已知函数，其中，且的图象过点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的单调减区间和对称中心的坐标；
Ⅲ若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若四边形是平行四边形，求点的坐标；
Ⅲ求的最小值．
19.本小题分
在条件对任意的，都有；条件最小正周期为；条件在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．
已知，，若_____，则，唯一确定．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
设，，，，，为正整数，对任意的，，定义．
Ⅰ当时，，，求；
Ⅱ当时，集合，对于任意，，圴为偶数，求中元素个数的最大值；
Ⅲ集合，对于任意，，，均有，求中元素个数的最大值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..Ⅰ解：平行四边形中，，
由于，，则，又，则在中，有，
Ⅱ证明：，
在中，，
即，又与有公共点，则，，三点共线．
17..解：Ⅰ根据题意得，结合，可得；
Ⅱ由Ⅰ的结论，得，
令，，解得，，
所以的单调减区间为，，
由，，得，可得图象的对称中心的坐标为，；
Ⅲ当时，，
因为，且在区间上的最小值为，
所以且，即，解得，可得实数的取值范围是
18..解：Ⅰ点，，，
，，
，
．
Ⅱ设点．
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得．
．
Ⅲ设点．
则．
由题意．
，
即．
．
，
当时，取得最小值，此时．
19..Ⅰ解：若选择：由函数最小正周期为，得，即，
又由对任意的，都有，可得关于对称，
，，则，，
因为，可得，所以；
若选择：由函数最小正周期为，可得，即，
又由，可得，
因为函数在为单调递增函数，
则，
解得，，；
若选择：由对任意的，都有，可得关于对称，
即，，
即，，
又由函数在为单调递增函数，可得，
解得，
又由，可得，
因为函数在为增函数，
则满足，，
解得，，
所以，
即，因为，所以，
此时，；
Ⅱ由，
因为，可得，
所以，即，
又由对任意，不等式恒成立，
即不等式恒成立，
即恒成立，
令，
即恒成立，
令在上为单调递增函数，
则，
所以，即实数的取值范围为．
20..解：Ⅰ．
Ⅱ为偶数，即为或，
若，则中的任意两个元素相同位置不能同时出现，
即，，，共有四个元素，
若 ，则中必有两组相同位置的元素同为，
即，，元素较少，
所以中元素个数的最大值为．
Ⅲ因为，
中的“”变为“”，“”变为“”，
得到，
可知，
因为 ，
，则，
因为中有个元素，和成对出现在中，现只出现一个，
则中最多有 个元素．
第1页，共1页