2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一（下）调研数学试卷（二）（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一（下）调研数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量，满足，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是( )
A. B. C. D.
11.在长方体中，、分别为，的中点，为线段上一动点，且，，，则下列结论正确的是( )
A. 若为的中点，则平面
B. 平面截长方体所得截面为五边形
C. 的最小值为
D. 三棱锥的外接球的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为______．
13.已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为______．
14.已知为坐标原点，函数图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
求角；
求面积的最大值．
16.本小题分
如图，正方体中，为底面的中心，为棱上一点．
证明：平面；
若平面，求证：为棱的中点．
17.本小题分
已知，其中．
求的值；
求．
18.本小题分
已知，与的夹角为，为外接圆上一点，与线段交于点．
若，求；
设．
(ⅰ)试用的函数表示；
(ⅱ)求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点．
证明：；
若，直线与直线所成角的余弦值为．
(ⅰ)求直线与平面所成角；
(ⅱ)求二面角的余弦值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：因为，，
整理可得：，
即，
由余弦定理可得：，
所以，而，
所以；
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
所以，
所以．
16..证明：连接，交于，可得为的中点，连接，为底面的中心，
由题意可得，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面；
设正方体的棱长为，
设，则，
连接，，因为平面，
所以，
因为，，
，
所以，
即，解得，
即，
即为的中点．
17..解：，
，，
又，
，．
；
由，得，
与联立，可得或．
当，时，，此时，
不满足，舍去，故，，
，
又，．
18..解：因为，与的夹角为，
所以，
若，则，
所以
．
因为，与的夹角为，
所以由余弦定理知，，
所以，即，
所以是外接圆的直径，
连接，则，
因为，所以，
在中，
，
因为，
所以，，
所以，
故的取值范围为．
19..证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，，
又，且，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以．
解：由知，
所以就是直线与直线所成角，即，
设，
由勾股定理知，，，，
在中，由余弦定理知，，
所以，解得，
即，，
(ⅰ)由知平面，
所以即为直线与平面所成角，
在中，，
所以是等腰直角三角形，所以，
故直线与平面所成角的大小为．
(ⅱ)取的中点，连接，过点作于点，连接，
因为，所以是等边三角形，
所以，且，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，，
设，则，
因为，
所以，解得，，
在中，，
所以，
故二面角的余弦值为．
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