2023-2024学年河南省安阳市百师联盟高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年河南省安阳市百师联盟高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则的共轭复数在复平面中对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列命题正确的是( )
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C. 四边形为平面图形
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
3.若单位向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.在正四面体中，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则( )
A. B. C. D.
6.已知是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
7.如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，若，，若，则可能是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 含角的钝角三角形
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有( )
A.
B. 与异面
C. 与异面
D.
11.设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，已知点不在的边上，则下列结论正确的是( )
A. 若点是的重心，则
B. 若点是的垂心，则
C. 若，则点是的外心
D. 若为的外心，为的垂心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ______．
13.设为内一点，且，则与的面积之比为______．
14.在棱长为的正方体中，是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为______；平面与底面所成锐二面角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
实数；
纯虚数；
在复平面内表示的点位于第四象限．
16.本小题分
在中角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，为边上的高，为垂足，，其中，，求的值．
17.本小题分
如图，为了测量山顶和山顶之间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内飞机从点到点路程为，途中在点观测到，处的俯角分别为，，在点观测到，处的俯角分别为，．
求的面积用字母表示；
若，，，，，求，之间的距离．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，点为线段的中点．
证明：平面；
若，，，求到平面的距离．
19.本小题分
数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理例如：如图甲，在中，为的中点，则，，两式相加得，，因为为的中点，所以，于是请用“算两次”的方法解决下列问题：
如图乙，在四边形中，，分别为，的中点，证明：．
如图丙，在四边形中，，分别在边，上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：若为实数，则，解得或．
若为纯虚数，则，解得．
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得，
故的取值范围为
16..解：中，，结合，，
可得，由二倍角公式得．
又因为、，可知．
所以，，可得，即．
如图所示，，，，则，
由题意，所以，结合，，
可得整理得，所以．
17..解：根据题意，可得，
由正弦定理，得，
所以的面积；
由的结论，得，
在中，，，
在中，，由余弦定理得，
可得，解得，
综上所述，、之间的距离等于．
18..解：证明：连接，交于，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
因为为线段的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为，，为线段的中点，
所以，且，，
因为直棱柱中平面，面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得，
在直角三角形中，，，
所以面积，
又三角形的面积为．
设到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，解得，
即到平面的距离为．
19..证明：四边形中，，分别为，的中点，
所以，；
因为，，
所以，
即．
解：因为，，，，与的夹角为，
所以，，所以，
所以，
所以，
，，
所以向量与向量夹角的余弦值为，．
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