2023-2024学年福建省泉州市培元中学高二（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市培元中学高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导计算错误的是( )
A. B.
C. D.
3.书架上有本内容互不相同的书，其中本数学书，本语文书，本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.，，则正实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在上单调递增 B. 是的极大值点
C. 有三个零点 D. 在上的最大值是
10.若、为复数，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，是奇函数，，且，分别是函数，的导函数，在上单调递减，则( )
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 ______．
13.如果函数在其定义域上有且仅有两个不同的数，使得，那么我们就称函数为“单值函数”，则下列四个函数：
；
；
；
．
其中为“单值函数”的是______写出所有符合题意的函数的序号
14.已知函数在上单调递增，且，则的最小值为 ，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为的中点，求．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若，试讨论的单调性；
是否存在负数，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由．
17.本小题分
在如图所示的几何体中，平面，平面，，记为中点，平面与平面的交线为．
求证：平面；
若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系，为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
已知函数，．
若，证明：在上单调递增．
若存在两个极小值点，
求实数的取值范围；
试比较与的大小．
19.本小题分
定义满足以下两个性质的有穷数列，，，，为阶“期待数列”：
；
．
Ⅰ若等比数列为阶“期待数列”，求的公比；
Ⅱ若等差数列是阶“期待数列”是正整数，求的通项公式；
Ⅲ记阶“期待数列”的前项和为是不小于的整数，求证：．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..；
15..解：根据正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，，
，；
根据余弦定理有，
则有，解之得，舍去，
为的中点，则，
，．
16..解：当时，，
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以时，取极小值，无极大值．
因为，，
若，，单调递增；
若，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述，时，在上为增函数，
时，在上为减函数，在上为增函数．
由可知，时，在上为减函数，在上为增函数．
假设存在，使得在区间上的最小值为，
若，即时，，解得，符合题意；
若，即时，，解得，舍去；
若，即时，，解得，舍去．
综上所述，存在，使得在区间上的最小值为．
17..证明：因为平面，平面，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面，且平面与平面的交线为，
所以，又平面，
所以平面；
解：设，，取的中点，因为，所以，
因为为中点，所以到平面的距离为，
因为平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
所以，又，
即，解得，
，当且仅当，即时取等号，
所以当最大时，
由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
设平面的一个法向量，
因为，所以，令，则，即，
设直线与平面所成角为，
所以，
令，则，
令，则，所以，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，，即，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18..证明：由，得，
因为，，所以，
当时，，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，即，
所以在上单调递增；
解：，定义域为，
则，
令，则，
当时，，所以，单调递增，
故，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以只有一个极小值点，不合题意；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
可得只有一个极小值点，不合题意；
当时，，
因为时，，，
所以在上存在零点，即存在，使得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，可得，
所以在上存在零点，即存在，使得，
所以，随的变化情况如下：
极小值 极大值 极小值
所以，为的两个极小值点．
故实数的取值范围为
由知，满足，即，
所以，，得，，
所以，，
所以
19..解：Ⅰ依题意，等比数列为阶“期待数列”，
故数列满足，．
易见，若公比为，则式即，不符合题意，故，
故式即，即，故，所以的公比为；
Ⅱ依题意，等差数列是阶“期待数列”，设等差数列公差为，
则数列满足；．
故式即，即，即．
若时，有，，，，，，，，，
则式即，
故，即，得，
所以；
若时，有，，，，，，，，，
则式即，
故，即，得，
所以．
综上，时，；时，；
Ⅲ设阶“期待数列”的所有非负项之和为，所有负数项之和为，
依题意数列满足；．
即，，则解得，
当所有非负数项一起构成时，最大为，即；
当所有负数项一起构成时，最小为，即．
故，所以．
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