2023-2024学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学鲲鹏班高二（下）第三次质检数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学鲲鹏班高二（下）第三次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值是( )
A. B. C. D.
2.若函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则( )
A. B. C. D.
4.若函数不存在极值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.春节档电影热辣滚烫通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影热辣滚烫，恰好买到了七张连号的电影票若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A. B. C. D.
6.若函数单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列说法正确的是( )
A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D. 的展开式中二项式系数最大项为
10.，，三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感假设这三个地区的人口数之比为：：，则( )
A. 从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于
B. 等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为
C. 从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为
D. 从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数在处取得极大值
B. 方程有两个不同的实数根
C.
D. 若不等式在上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的极小值点为______．
13.的展开式中，的系数为______．
14.已知数列满足，若，则 ，前项的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知各项均为正数的等比数列的首项．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
某高中高二年级班和班的学生组队参加数学竞赛，班推荐了名男生名女生，班推荐了名男生名女生由于他们的水平相当，最终从中随机抽取名学生组成代表队．
求班至少有名学生入选代表队的概率；
设表示代表队中男生的人数，求的分布列．
17.本小题分
已知函数，．
若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间与极值；
若函数在上仅有个零点，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且．
求证：是等比数列；
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在上的最值；提示：
讨论的单调性；
当时，证明：．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：设数列的公比为，
由已知得，，即，解得或舍去，
则．
数列的前项和，，
，，
上面两式相减可得．
所以．
16..解：根据题意，设班至少有名学生入选代表为事件，则为班没有入选学生，
则，
；
的所有可能取值为，，，．
，
．
因此的分布列为：

17..解：，是函数的极值点，
，解得，
，
可知：是函数的极大值点，满足题意．．
令可得或；令可得，
的单调增区间为，，单调减区间为．
的极大值为，极小值为．
函数在上仅有个零点不是函数的零点，
则令，，
可转化为函数的图象与函数的图象有个不同的交点，
，
，时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，．
当趋近于时，趋近正无穷，，
，解得：．
的取值范围是．
18..解：证明：，，
，，
数列是以首项为，公比为的等比数列；
数列的前项和满足，
，
，
，又，
，，又，，
数列是以首项为，公差为的等差数列，
；
由可知，又由可知，
，
数列的前项和为：
．
19..解：当时，，则，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
最小值，
因为，且，
所以最大值．
，则，
当时，分子为，所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，分子为，令，解得，
所以当，即时，在，上单调递增，在上单调递减；
当，即或时，
又因为时，，所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，分子为，所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，，
设，则，
设，则，
则，
设，
则，
因为，所以当时，，所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
所以，当时，．
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