2023-2024学年云南省玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年云南省玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校高二（下）联考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆相交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为( )
A. B. C. D.
6.若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且，则不等式的解是( )
A. B.
C. D.
7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第层有个球，则数列的前项和为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，则，，的大关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共项 B. 项系数为
C. 所有项的系数之和为 D. 所有项的二项式系数之和为
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 若方程在上有且只有个根，则
11.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点点在第一象限，若，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某批产品中，来自甲厂的占，来自乙厂的占，甲、乙两厂的优等品的概率分别为、，则这批产品为优等品的概率为______．
13.已知，，则 ______．
14.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的值；
若的面积为，求，．
16.本小题分
某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金为了解研发资金的投入额单位：千万元对年收入的附加额单位：千万元的影响，对年至年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
年份
投入额
年收入的附加额
求关于的线性回归方程；
若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的个年份中任意取个，记表示这三个年份为“优”的个数，求的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和极距的最小二乘估计公式分别为：，．
17.本小题分
如图，已知正三棱柱，，，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的短轴长等于，离心率．
求椭圆的方程；
过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，求的单调区间；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，若对于任意，不等式成立，求的取值范围．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：，
由正弦定理可得：，
，
，
即，
，，
，．
由题意，，
所以，
由，
得，
所以，解得：．
16..解：，，
，
又因为，
所以，
所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为．
个投入额中，“优秀投资额”的个数为个，故的所有可能取值为，，，，
，，，，
则的分布列为
．
17..证明：如图，取中点，由正三棱柱性质得，、、互相垂直，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设则，
则，，，
，，，
由，得，
由，得，
因为，平面，，
所以平面；
由可知为平面的一个法向量，
设为平面的法向量，
，，
则，即，令，则，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值．
18..解：由题意可得，即，
又，即，
由，解得，，
则椭圆的方程为；
证明：由，设直线的方程为，，
联立椭圆方程，
化为，
设，，可得，，
设的中点为，则，即，
即，
则的垂直平分线方程为，
令，可得，
即，
所以，
又，
则；
若直线的斜率为，则直线的方程为，，，可得，
则为定值．
19..解：Ⅰ当时，，
可得，
此时，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
Ⅱ易知函数的定义域为，
所以，
因为，
令，
解得，，
此时，
当时，；当时，；当时，，单调递减，
则的单调递减区间为和，单调递增区间为；
Ⅲ由Ⅱ知函数在上单调递增，在上单调递减，
因为若对于任意，不等式成立，
所以，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
又，
则．
故的取值范围为．
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