2024年天津市中考数学试题（图片版，含答案）

机密★启用前
2024 年天津市初中学业水平考试试卷
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为第 1 页至第 3
页，第Ⅱ卷为第 4 页至第 8 页。试卷满分 120 分。考试时间 100 分钟。
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”
上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案
答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2．本卷共 12 题，共 36 分。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
（1）计算3 （ 3）的结果等于
（A） 6 （B） 0
（C）3 （D） 6
（2）右图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
（A） （B）
第（2）题
（C） （D）
数学试卷 第 1 页（共 8 页）
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（3）估计 10 的值在
（A）1和 2 之间 （B） 2 和3之间
（C）3和 4 之间 （D） 4 和 5 之间
（4）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称
图形的是
（A） （B） （C） （D）
（5）据 2024 年 4 月 18 日《天津日报》报道，天津市组织开展了第 43 届“爱鸟周”
大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过 800 000 只．将数据
800 000 用科学记数法表示应为
（A）0.08 107 （B）0.8 106
（C）8 105 （D）80 104
（6） 2 cos45 1的值等于
（A） 0 （B）1
2
（C） 1 （D） 2 1
2
3x 3
（7）计算 的结果等于
x 1 x 1
（A）3 （B） x
x 3
（C） （D）
x 1 x2 1
5
（8）若点 A（x ， 1），B（x2 ，11 ），C（x3 ，5）都在反比例函数 y 的图象上，则 x1 ， x2 ，
x
x3 的大小关系是
（A） x1 x2 x3 （B） x1 x3 x2
（C） x3 x2 x1 （D） x2 x1 x3
数学试卷 第 2 页（共 8 页）
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（9）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引
绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子
去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长
多少尺？设木长 x尺，绳子长 y 尺，则可以列出的方程组为
y x 4.5， y x 4.5，
（A） （B）
x 0.5y 1 x 0.5y 1
x y 4.5， x y 4.5，
（C） （D）
x y 1 y x 1
（10）如图， Rt△ABC 中， C 90 ， B 40 ，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，
1
交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ；再分别以点 E ， F 为圆心，大于 EF 的长为半径
2
画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 BAC 的内部相交于点 P ；画射线 AP ，与 BC
C
P
相交于点 D ，则 ADC 的大小为 D
F
（A）60 （B）65
A E B
（C）70 （D）75 第（10）题
（11）如图，△ABC 中， B 30 ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转
E
60 得到△DEC ，点 A ， B 的对应点分别为 D ， E ，延长 F
D
BA 交 DE 于点 F ，下列结论一定正确的是 A
（A） ACB ACD （B） AC // DE
B C
（C） AB EF （D） BF CE 第（11）题
（12）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m）与小球的运动时间 t
（单位： s ）之间的关系式是 h 30t 5t2 （0≤ t≤6）．有下列结论：
① 小球从抛出到落地需要6 s ；
② 小球运动中的高度可以是 30 m ；
③ 小球运动 2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是
（A） 0 （B）1
（C） 2 （D）3
数学试卷 第 3 页（共 8 页）
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2024 年天津市初中学业水平考试试卷
数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）。
2．本卷共 13 题，共 84 分。
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
（13）不透明袋子中装有10 个球，其中有3个绿球、4 个黑球、3个红球，这些球除颜色
外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
（14）计算 x8 x6 的结果为 ．
（15）计算（ 11 1）（ 11 1）的结果为 ．
（16）若正比例函数 y kx （ k 是常数， k 0）的图象经过第三、第一象限，则 k 的值
可以是 （写出一．个．即可）．
E
F
（17）如图，正方形 ABCD 的边长为 D3 2 ，对角线 AC ， BD相交 A
于点O ，点 E 在CA 的延长线上，OE 5，连接 DE ．
O
（Ⅰ）线段 AE 的长为 ；
B C
（Ⅱ）若 F 为 DE 的中点，则线段 AF 的长为 ． 第（17）题
（18）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 A ， F ，G 均在格点上．
（Ⅰ）线段 AG 的长为 ； A
（Ⅱ）点 E 在水平网格线上，过点 A ， E ， F 作圆，
G
经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与 AE ，AF E
B
的延长线相交于点 B ，C ．△ABC 中，点M 在边 BC F
C
上，点 N 在边 AB 上，点 P 在边 AC 上．请用无．刻．度． 第（18）题
的直尺，在如图所示的网格中，画出点 M ， N ， P ，使△MNP 的周长最短，并
简要说明点M ， N ， P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
数学试卷 第 4 页（共 8 页）
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三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
（19）（本小题 8 分）
2x 1≤3， ①
解不等式组
3x 1≥ x 7． ②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
4 3 2 1 0 1 2
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
（20）（本小题 8 分）
为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级
a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
人数
6 h 18 17
10 h 6% 16 15
7 h
16% 14
14%
12
10
8
9 h 8 7
30% 8 h 6
m% 4 3
2
0
6 7 8 9 10 时间/ h
图① 图②
第（20）题
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空： a的值为 ，图①中 m 的值为 ，统计的这组学生
每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加
科学教育的时间是 9 h 的人数约为多少？
数学试卷 第 5 页（共 8 页）
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（21）（本小题 10 分）
已知△AOB 中， ABO 30 ， AB 为⊙O 的弦，直线 MN 与⊙O 相切于点C ．
（Ⅰ）如图①，若 AB // MN ，直径CE 与 AB 相交于点D ，求 AOB 和 BCE 的大小；
（Ⅱ）如图②，若OB // MN ，CG AB ，垂足为G ，CG 与OB 相交于点 F ，OA 3，
求线段OF 的长．
E
A
A D B
G
O O BF
M C N M C N
图① 图②
第（21）题
（22）（本小题 10 分）
综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 AB 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点C ， D ， E 依次在同一条水平直线上，
DE 36 m ， EC AB ，垂足为C ．在 D 处测得桥塔顶部 B 的仰角（ CDB ）为 45 ，
测得桥塔底部 A的俯角（ CDA）为6 ，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（ CEB ）为31 ．
（Ⅰ）求线段CD 的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔 AB 的高度（结果取整数）．
参考数据： tan 31 0.6， tan 6 0.1．
B B
C E
A A D
图① 图②
第（22）题
数学试卷 第 6 页（共 8 页）
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（23）（本小题 10 分）
已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家 0.6 km ，文化广场
离家1.5 km ．张华从家出发，先匀速骑行了 4 min 到画社，在画社停留了15 min ，之后
匀速骑行了 6 min 到文化广场，在文化广场停留 6 min 后，再匀速步行了 20 min 返回家．
下面图中 x表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间
之间的对应关系．
y / km
1.5
0.6
O 4 19 25 31 51 x / min
第（23）题
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）① 填表：
张华离开家的时间∕min 1 4 13 30
张华离家的距离∕km 0.6
② 填空：张华从文化广场返回家的速度为 km / min ；
③ 当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离 y 关于时间 x 的函数解析式；
（Ⅱ）当张华离开家8 min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 20 min 直接到达了
文化广场，那么从画社到文化广场的途中（0.6＜y＜1.5）两人相遇时离家的距离是多少？
（直接写出结果即可）
数学试卷 第 7 页（共 8 页）
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（24）（本小题 10 分）
将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点 A（3，0），
点 B ，C 在第一象限，且OC 2 ， AOC 60 ．
（Ⅰ）填空：如图①，点C 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（Ⅱ）若 P 为 x轴的正半轴上一动点，过点 P 作直线 l x轴，沿直线 l 折叠该纸片，
折叠后点O 的对应点O 落在 x轴的正半轴上，点C 的对应点为C ．设OP t ．
① 如图②，若直线 l 与边CB 相交于点Q，当折叠后四边形PO C Q 与 OABC 重叠
部分为五边形时，O C 与 AB 相交于点 E ．试用含有 t 的式子表示线段 BE 的长，并直接
写出 t 的取值范围；
2 11
② 设折叠后重叠部分的面积为 S ，当 ≤ t ≤ 时，求 S 的取值范围（直接写出
3 4
结果即可）．
y y
l
C B C Q C B
E
O A x O P A O x
图① 图②
第（24）题
（25）（本小题 10 分）
已知抛物线 y ax2 bx c （ a ，b ，c 为常数，a 0）的顶点为 P ，且 2a b 0，
对称轴与 x轴相交于点 D ，点M（m，1）在抛物线上，m 1，O 为坐标原点．
（Ⅰ）当 a 1， c 1时，求该抛物线顶点 P 的坐标；
13
（Ⅱ）当OM OP 时，求 a的值；
2
（Ⅲ）若 N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限， MDN 90 ，DM DN ，点E 在
线段MN 上，点F 在线段DN 上，NE NF 2DM ，当DE MF 取得最小值为 15 时，
求a的值．
数学试卷 第 8 页（共 8 页）
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机密★启用前
2024 年天津市初中学业水平考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
（1）D （2）B （3）C （4）C （5）C （6）A
（7）A （8）B （9）A （10）B （11）D （12）C
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
3
（13） （14） x2 （15）10
10
10
（16）1（答案不唯一，满足 k 0 即可） （17）（Ⅰ） 2 ； （Ⅱ）
2
（18）（Ⅰ） 2 ； （Ⅱ）如图，根据题意，切点为 M ；
M1 D A
连接 ME 并延长，与网格线相交于点 M1 ；取圆与网格 N G
H
线的交点 D 和格点H ，连接DH 并延长，与网格线相交 E
P
B
于点M 2 ；连接M1M 2 ，分别与AB ，AC 相交于点N ，P ， F
M C M2
则点M ， N ， P 即为所求．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分）
（19）（本小题 8 分）
解：（Ⅰ） x≤1；
（Ⅱ） x≥ 3；
（Ⅲ）
4 3 2 1 0 1 2
（Ⅳ） 3≤ x≤1．
（20）（本小题 8 分）
解：（Ⅰ）50 ， 34 ，8，8．
（Ⅱ）观察条形统计图，
6 3 7 7 8 17 9 15 10 8
∵ x 8.36 ，
3 7 17 15 8
∴ 这组数据的平均数是8.36 ．
数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
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（Ⅲ）∵ 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是 9 h 的学生占30% ，
∴ 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9 h
的学生占30% ，有500 30% 150．
∴ 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 9 h 的人数约为150 ．
（21）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）∵ AB 为⊙O 的弦， E
∴ OA OB ．得 A ABO ． A D B
∵ △AOB 中， A ABO AOB 180 ， O
又 ABO 30 ，
M C N
∴ AOB 180 2 ABO 120 ．
∵ 直线MN 与⊙O 相切于点C ，CE 为⊙O 的直径，
∴ CE MN ．即 ECM 90 ．又 AB // MN ，
∴ CDB ECM 90 ．
在 Rt△ODB中， BOE 90 ABO 60 ．
1
∵ BCE BOE ，
2
∴ BCE 30 ．
（Ⅱ）如图，连接OC ． A
同（Ⅰ），得 COB 90 ． G
O B
∵ CG AB ，得 FGB 90 ． F
∴ 在Rt△FGB 中，由 ABO 30 ，
M C N
得 BFG 90 ABO 60 ．
∴ CFO BFG 60 ．
OC
在Rt△COF 中， tan CFO ，OC OA 3，
OF
OC 3
∴ OF 3 ．
tan CFO tan 60
数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
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（22）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）设CD x ，由DE 36，得CE CD DE x 36．
∵ EC AB ，垂足为C ，
∴ BCE ACD 90 ．
BC
在 Rt△BCD 中， tan CDB ， CDB 45 ，
CD
∴ BC CD tan CDB x tan 45 x ．
BC
在 Rt△BCE 中， tan CEB ， CEB 31 ，
CE
∴ BC CE tan CEB （x 36） tan 31 ．
36 tan 31 36 0.6
∴ x （x 36） tan 31 ．得 x 54．
1 tan 31 1 0.6
答：线段CD 的长约为54 m．
AC
（Ⅱ）在Rt△ACD 中， tan CDA ， CDA 6 ，
CD
∴ AC CD tan CDA 54 tan 6 54 0.1 5.4 ．
∴ AB AC BC 5.4 54 59 ．
答：桥塔 AB 的高度约为59 m．
（23）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）① 0.15 ， 0.6 ，1.5 ；
② 0.075；
③ 当0≤x≤4时， y 0.15x ；
当 4＜x≤19 时， y 0.6；
当19＜x≤25时， y 0.15x 2.25．
（Ⅱ）1.05 km．
（24）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）（1， 3），（4， 3）．
（Ⅱ）① 由折叠知， OO C AOC 60 ，O P OP t ，则OO 2t ．
∵ 点 A（3，0），得OA 3．
∴ AO OO OA 2t 3．
数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
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∵ 四边形OABC 为平行四边形，
∴ AB OC 2 ， AB // OC ．得 O AB AOC 60 ．
∴ △AO E 为等边三角形．有 AE AO 2t 3．
∵ BE AB AE ，即 BE 2 （2t 3） 5 2t ，
3 5
∴ BE 2t 5，其中 t 的取值范围是 ＜t＜ ．
2 2
2 3 5 3
② ≤S≤ ．
9 4
（25）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）∵ 2a b 0， a 1，得b 2a 2 ．又 c 1，
∴ 该抛物线的解析式为 y x2 2x 1．
∵ y x2 2x 1 （x 1
2
） 2 ，
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为（1， 2）．
（Ⅱ）过点 M（m，1）作MH x 轴，垂足为H ，m 1，
则 MHO 90 ，HM 1，OH m ．
13
在 Rt△MOH 中，由HM 2 OH 2 OM 2 ，OM ，
2
2 13 3 3∴ 1 m （ ）2．解得m ，1 m2 （舍）．
2 2 2
3
∴ 点M 的坐标为（ ，1）．
2
b
∵ 2a b 0，即 1．
2a
∴ 抛物线 y ax2 2ax c 的对称轴为 x 1．
∵ 对称轴与 x轴相交于点D ，则OD 1， ODP 90 ．
2 2 2 13在 Rt△OPD中，由OD PD OP ，OP ，
2
∴ 1 PD2
13 2 3 （ ）．解得 PD ．
2 2
3
由 a 0 ，得该抛物线顶点P 的坐标为（1， ）．
2
3
∴ 该抛物线的解析式为 y a（x 1）2 ．
2
数学参考答案 第 4 页（共 5 页）
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3 3 3
∵ 点M（ ，1）在该抛物线上，有1 a（ 1）
2 ．
2 2 2
∴ a 10．
（Ⅲ）过点 M（m，1）作MH x 轴，垂足为H ，m 1，
则 MHO 90 ，HM 1，OH m ．
∴ DH OH OD m 1．
∴ 在 2 2 2 2Rt△DMH 中，DM DH HM （m 1） 1．
过点 N 作 NK x轴，垂足为K ，则 DKN 90 ．
∵ MDN 90 ， DM DN ，又 DNK 90 NDK MDH ，
∴ △NDK ≌△DMH ．得点 N 的坐标为（2，1 m）．
在 Rt△DMN 中， DMN DNM 45 ，
MN 2 DM 2 DN 2 2DM 2 ，即MN 2DM ．
根据题意， NE NF 2DM ，得ME NF ．
在△DMN 的外部，作 DNG 45 ，且 NG DM ，连接GF ，
得 MNG= DNM + DNG 90 ．
∴ △GNF ≌△DME ．有GF DE ．
∴ DE MF GF MF ≥GM ．
当满足条件的点 F 落在线段GM 上时，DE MF 取得最小值，即GM 15 ．
在 2 2Rt△GMN 中，GM NG MN 2 3DM 2 ，
∴ （ 15）2 3DM 2 ．得DM 2 5．
∴ （m 1）2 1 5 ．解得m1 3，m2 1（舍）．
∴ 点M 的坐标为（3，1），点 N 的坐标为（2， 2）．
∵ 2 点M（3，1）， N（2， 2）都在抛物线 y ax 2ax c上，
得1 9a 6a c ， 2 4a 4a c ．
∴ a 1．
数学参考答案 第 5 页（共 5 页）
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