2023-2024学年福建省泉州市安溪八中高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市安溪八中高一（下）质检数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
7.设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.“阿基米德多面体”这称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体已知，则该半正多面体外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数对应的点在第二象限
B. 若为虚数单位，则
C. 在复数集中，方程的两个解分别为和
D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，为半径的圆
10.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则，是异面直线
D. 若，，，则或，是异面直线
11.已知正四棱柱的底面边长为，侧棱，为上底面的动点包括边界，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则满足条件的点不唯一
B. 若，则点的轨迹是一段圆弧
C. 若平面，则的最大值为
D. 若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数为虚数单位，且的共轭复数为，则 ______．
13.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台其他因素忽略不计，如图给了一个石瓢壶的相关数据单位：，那么该壶的侧面积约为 ．
14.已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 ______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角；
若，，求
16.本小题分
已知复数为虚数单位，，且是纯虚数．
求复数；
在复平面内，若复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图所示，在正六棱锥中，为底面中心，，．
求该正六棱锥的体积和侧面积；
若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．
18.本小题分
在；；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且_____．
求角的大小；
若，求周长的取值范围．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：因为，，，
设，
所以
，
所以，
因为，
所以，即与的夹角为；
因为，
则，
故．
16..解：，且是纯虚数，
是纯虚数，
则，即，
；
，
由复数对应的点位于第三象限可得：
，解得，
实数的取值范围是．
17..解：由条件可知正六边形的边长为，
所以底面积为，
该正六棱锥的体积为．
正六棱锥的侧棱长为，
侧面等腰三角形的面积为，
故该正六棱锥的侧面积为．
球心一定在直线上，设球的半径为，
则，
又，
所以，解得．
所以球的表面积为，
体积为
18..解：选择条件：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得，
因为，所以；
选择条件：由及正弦定理，
得：，
即．
即．
在中，，所以，
即，因为，所以，所以，
因为，所以；
选择条件：由及正弦定理，
得：，
因为，，所以．
在中，，则，
故．
因为，所以，则，
故；
在中应用余弦定理得：，
所以，因为，
所以因为，
所以，解得：，
又因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的取值范围是：．
第1页，共1页