2023-2024学年福建省泉州市安溪县铭选中学高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市安溪县铭选中学高一（下）质检数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，向量在向量上的投影数量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知的斜二测画法的直观图为，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是( )
A. ：：： B.
C. D.
5.我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.设向量与的夹角为，定义，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交，于点，，且，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. 的充要条件是且
B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得
D.
10.设复数为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. “”的充要条件是“”
B. 若，则的虚部为
C. 若，，则
D. 方程在复数集中有个解
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即为三角形的面积，，、为三角形的三边现有满足：：：：，且的面积，则下列结论正确的是( )
A. 的最短边长为 B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，若复数，则的虚部是______．
13.已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为和，且两截面间的距离为，则该球的体积为______．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的中线长是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．
求复数；
若，求实数，的值．
16.本小题分
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足．
求；
若在上，是的角平分线，且，求的最小值．
17.本小题分
如图所示，在中，，，与相交于点，的延长线与边交于点．
用和分别表示和；
如果，求实数和的值；
确定点在边上的位置．
18.本小题分
如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得．
求和的长度；
求，之间的距离．
19.本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，、分别为、的中点．
求证：平面；
设，求与平面所成的角的正弦值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：设，，
复数满足为纯虚数，
，且，
为实数，
，
．
由可知，，
，
，即，
由复数相等的条件可知，，解得．
16..解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
而，，故，
因为，所以．
由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得：
，
化简得，又，
从而，当且仅当时，等号成立，
故，因此的最小值为．
17..解：由，
可得，
，
．
将，
代入，
则有，
即，
，
解得；
设，，
由知，
，
，
与不共线，
，
解得，
，即，
点在的三等分点且靠近点处．
18..解：在中，由题知，，，
所以，
由正弦定理得，所以，
在中，又因为，，，
所以，
所以；
在，由，，，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以．
19..解：取中点，连接、，
为矩形，底面，、平面，
，，，
又，、平面，
平面，
平面，
，
中，，为中点，
，
又，、平面，
平面．
、分别为、中点，
，且，
又为中点，底面为矩形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，
平面．
设，则，设，连接，
则为的中位线，故F，且平面，
设点到平面的距离为，
由知平面，平面，
，，
，
，
化简可得，，
由平面和平行四边形可得，
在中，，
在中，，
，解得，
而，设与平面所成的角为，
则．
故AC与平面所成的角的正弦值为．
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