2023-2024学年海南省高二下学期期末数学考试试题（含答案）

2023-2024学年海南省高二下学期期末数学考试试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么集合等于( )
A. B. C. D.
2.若复数，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是( )
A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形
4.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于周礼春官大师八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为( )
A. B. C. D.
5.袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为( )
A. B. C. D.
6.某圆柱的高为，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点，，，，在正视图中分别对应点，，，，，且，，异面直线，所成角的正弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.双曲线：的离心率为，直线与的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，其中，若有且仅有一个整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有( )
A. 的图象可由的图象平移得到
B. 在上单调递增
C. 图象的一个对称中心为
D. 图象的一条对称轴为直线
10.定义在的函数满足：任意，则( )
A. 恒成立
B. 可能是周期函数，且没有最小正周期
C. 若在上单调，则一定是奇函数
D. 若在上单调，则存在，使得
11.下列说法中正确的是( )
A. 从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率是
B. 已知随机变量服从二项分布，若，则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机事件，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则的面积为 ．
13.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高单位：服从正态分布，若测量株水稻，株高在的约有__________若，，
14.椭圆与双曲线有相同的焦点，，若曲线，有一个公共点，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，其前项和为，且对任意的，点均在直线上．
求的通项公式； 设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形已知，，．
证明：平面平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点．
(ⅰ)若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上；
(ⅱ)过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
为迎接新春佳节，某地店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．
红色外观 蓝色外观
棕色内饰
米色内饰
从这个模型中随机取个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立；
活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设：拿到的个模型会出现种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设：该抽奖活动的奖金额为一等奖元、二等奖元、三等奖元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望精确到元
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..或
13..
14..
15..解：对任意的，点均在直线上，
，
当时，，
，即，
又，
，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
，
，
，即．
16..
当时，，所以，
由，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
令，得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数的极小值为，也是最小值．
所以，即实数的取值范围是．
17..
证明：分别作的中点，连接，
因为分别为的中点，
且四边形为等腰梯形，，
所以，
又，易知，
所以，
因为是正三角形，是中点，所以，且由，可知，
又，所以，所以，
又平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
由可知，两两垂直，如图，以为原点，
以所在直线分别为轴
建立空间直角坐标系，则，
，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则
取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，
则
取，可得，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18..解：由题意知圆心，半径为，且，，
则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，
设曲线的方程为，则，解得，
所以，
所以曲线的方程为；

因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
因为在上，所以，
由得，
， 设，
则，由得，
化简得，
则，
化简得，又因为，所以，
所以点在定直线上
(ⅱ)因为直线过，所以，直线方程为，
从而得，，
由(ⅰ)知，，，
所以
，
所以存在实数，使得．
19..
模型内饰为米色的共有个，所以，
红色外观的模型有个，其中内饰为米色的共有个，所，
红色外观模型且内饰为米色的共有个，
所以，
，
因为，所以，不独立；
设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”，
，，
，
因为，
所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为，
其分布列为
期望为．
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