2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）学情调研数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）学情调研数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数，满足，则( )
A. B. C.
2.某工厂生产，，三种不同型号的产品，产品数量之比依次为：：现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中型号产品有件，则此样本的容量为( )
A. B. C. D.
3.已知直线平面，直线平面，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在平行四边形中，为一条对角线，若 ， ，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设，已知向量与的夹角为，，，且，则( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，满足，，则( )
A. B.
C. 在复平面内对应的向量为 D. 的最小值为
10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，它的边长为，则( )
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 点是正六边形内部包括边界的动点，的最小值为
11.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则( )
A. 直线与直线是异面直线
B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，边上的高等于，则 ．
13.以为始边作角，角的终边与单位圆交于点，将角的终边逆时针旋转得到角，角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为______．
14.近年来，纳米品的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用纳米晶体结构众多，如图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的几何体，则该结构的纳米晶个体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，是的中点，是上一点．
若是中点，求证：平面平面；
若，求证：是中点．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求；
若，求．
17.本小题分
已知向量，．
若，求；
若，
求；
已知，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点．
求证：；
求证：；
求二面角的正切值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
在中，内角，，的对边分别为，，．
若．
求；
若的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..证明：连接，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以，，，，
因为是的中点，是中点，
所以，，，，
所以四边形，均为平行四边形，
所以，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面；
因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，为正三角形，
因为平面，所以，
因为，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
又因为为正三角形，
所以是中点．
16..解：因为，由正弦定理可得：，
即，
在中，可得，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以；
因为，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
即，即，
所以，所以，
由正弦定理．
17..解：，，，
则，
所以；
因为，，
所以，，
因为，
所以，即，
即；
因为，
所以由得，
因为，所以，
所以，
令，则，，，
所以，，
所以．
18..解：证明；底面是菱形，，
平面，平面，
平面，
平面平面，平面，
；
证明：由知，，，
是中点，是中点，
是正三角形，，
平面平面，
平面平面，平面，
平面，
平面，，
，；
过作于，连接，
由知平面，
又平面，平面，
，，
，平面，平面，
平面，
平面，，
就是二面角的平面角，
在正三角形中，，，
在中，，，，
在中，，
在中，，
二面角的正切值为．
19..解：因为，且，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，，
所以，
因为，所以；
因为，所以的内角均小于，
所以点在的内部，且，
由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，
所以
所以的取值范围为；
因为，
即，
所以，
在，，中，分别由余弦定理得：
，，，
三式相加整理得，
将代入得：，
因为平分，所以，，
所以，
又由余弦定理可得：，
由得：，
所以，即，
所以常数，使得．
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