2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县两校联考高一（下）第二次学情调研数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县两校联考高一（下）第二次学情调研数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
2.一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥表面积为( )
A. B. C. D.
3.在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.在中，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D.
6.已知正三棱锥的底面边长为，顶点到底面的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 一个棱锥至少个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
10.已知，，为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则，
B. 若，，则与为异面直线
C. 若，，，且，则
D. 若，，，则
11.函数，则( )
A. 的一条对称轴方程为 B. 的一个对称中心为
C. 的最小值是 D. 的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程在复数范围内的解是______．
13.如图，是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点，若，，则异面直线与所成的角的大小为______．
14.在中，角，，的对边分别为，，，且，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是复数，与均为实数．
求；
若复数是方程的一个解，求的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，为边的中点，求的长．
17.本小题分
已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
求证：平面；
若，求直线与平面所成的角大小．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点．
求证：平面平面；
求二面角的正切值．
19.本小题分
互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系就称为斜坐标系如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标．
设，求；
若与的夹角记为，求的余弦值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..或
15..解：设，为实数，
因为为实数，
所以，
因为为实数，
所以，
故，；
因为是方程的一个解，
故也是方程的一个解，
所以，，
所以，，
所以．
16..解：因为，
所以，
化简得，因为，所以，
因为，
所以；
因为，
所以，解得，
因为为的中线，所以，
所以，
因为，，所以．
解得．
所以的长为．
17..解：证明：由底面为正方形，可得，
又平面，平面，
可得，
又，平面，且，
可得平面；
由平面，为在平面内的射影，
可得为直线与平面所成的角．
在直角三角形中，，可得，
在直角三角形中，，
即有直线与平面所成的角为．
18..证明：由题意知，，，两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的边长为，
则，，，，，
在中，，，，
所以，，，
所以，即点是的靠近点的三等分点，
所以，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，即，
所以平面平面．
解：由知，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，
故二面角的正切值为．
19..解：由题意可知，，
，
所以
，
；
，，
由题意可得，，
，
，
则．
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