人教版数学九年级上暑假预习课第三讲 一元二次方程的应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上暑假预习课第三讲 一元二次方程的应用（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-26 05:08:17 | ||
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文档简介
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人教版数学九年级上暑假预习课
第三讲 一元二次方程的应用
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1传播速度问题
传播问题：
设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人传染，第二轮传染后共传染，a人经过两轮传染a（1+x）2 =m
名师点拨
一元二次方程传播问题公式为:a(1±χ) =b。a:基准量(变化以前的量);b:变更量(变化后面的量);χ:传播的人数。
典例剖析1
例1-1．某种病毒传播非常快,如果一个人被感染,没有隔离,经过两轮感染后就会有81个人被感染.设1人平均感染x人,则可列方程为______.
例1-2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
若设每个支干长出x个小分支.
（1）根据问题中的数量关系，完成下列问题：
①主干的数目为__________；
②从主干中长出的支干的数目为__________；（用含x的式子表示）
③从上述支干中长出的小分支的数目为__________.（用含x的式子表示）
（2）完成问题的求解.
针对训练1
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
2．从A市到B市的高铁共设计了72种往返车票，则这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
能力提升1
1.有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数。
知识点2 增长率问题
增长率问题：
增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
名师点拨
设增长率为X,则经过1个时间段(如月、年等等),其生产量为(1+X)倍, 经过两年生产量为(1+X)2倍,…… 经过n年,则生产量为(1+X)n倍.
典例剖析2
例2-1．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
例2-2．某小区新增了一家快递店,第一天揽件100件,第三天揽件144件.设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,可列方程为__________.
.
针对练习2
1．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_______万辆.
2．某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
3．某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求,跳绳项目为必选项目.某体育用品店销售一种跳绳,4月份销售150条,6月份销售216条,若从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元／条.经过市场调研,当售价为40元／条时,月销售量为600条,若在此基础上售价每上涨1元,则月销售量将减少10条,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,求该跳绳的实际售价.
4．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售A产品每次的增长率.
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降价0.5万元，公司平均每月可多售出20套，若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
两年前生产1吨某种药品的成本是5000元，现在生产1吨这种药品的成本是3200元，这种药品成本的年平均下降率是多少？
能力提升2
1．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.
(1)该市的养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2. 88万个，求该市这两年(从2014年度到2016年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间 (3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单水间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值;
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个 最少提供养老床位多少个
2．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极地生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩500万个，第三天生产口罩720万个，若每天增长的百分率相同.试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率.
(2)经调查发现，一条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加一条生产线，则每条生产线的最大产能将减少50万个/天.
①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.
知识点3数字问题
十位数字为，个位数字y，这个两位数为10x+y.
名师点拨
连续奇数，连续偶数都是相差2
典例剖析3
例3-1．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
例3-2．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面的问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
针对训练3
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数.
2．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份.
（1）八进制数3747换算成十进制数是_________.
（2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值.
4．如图所示是2023年10月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出四个数.
(1)若圈出的四个数中，最小的数为n，则最大的数为________(用含n的代数式表示)；
(2)若圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，求这个最小的数.
能力提升3
1．阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和.（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）
例如：.
用上面的知识解决下列问题.
（1）计算：（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木.
2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200 24000 22400 20400
2．阅读材料,解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第n个三角数可以用(且为整数)来表示.
（1）若三角数是55,则______;
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,请用含n的式子表示前n行所有点数的和;
（3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗 如果能,求出n,如果不能,请说明理由.
两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是 ．
知识点4 图形面积问题
形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
名师点拨
熟用直角三角形面积公式: 一般三角形面积公式: 2、正方形周长公式: 正方形面积公式: 3、矩形周长公式: 矩形面积公式:
典例剖析4
例4-1．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
例4-2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=8cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
针对训练4
1．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
2．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
3．如图，学校准备搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用现成的围墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用总长38m的铁栏围成．若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，求出矩形自行车车棚的长和宽．
4．开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为658800元，求x的值．
能力提升4
1．如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？
2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
知识点5 营销问题
总利润＝总售价－总成本
利润＝ 每件商品的利润×销售数量，
利润率＝×100%
名师点拨
解决一元二次方程中营销问题时，通常将单件利润，销售数量分别表示为两个一次函数，根据总利润=单件利润x销售数量找出等量关系列方程。
典例剖析5
例5-1．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A. w=（99-x）[200+10（x-50）]
B. w=（x-50）[200+10（99-x）]
C. w=（x-50）（200+×10）
D. w=（x-50）（200+×10）
例5-2．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
针对训练5
1．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
2．某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
3．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
能力提升5
1．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
2．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
3．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
4．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
人教版数学九年级上暑假预习课
第三讲 一元二次方程的应用（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1传播速度问题
传播问题：
设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人传染，第二轮传染后共传染，a人经过两轮传染a（1+x）2 =m
名师点拨
一元二次方程传播问题公式为:a(1±χ) =b。a:基准量(变化以前的量);b:变更量(变化后面的量);χ:传播的人数。
典例剖析1
例1-1．某种病毒传播非常快,如果一个人被感染,没有隔离,经过两轮感染后就会有81个人被感染.设1人平均感染x人,则可列方程为______.
答案：
解析：设每轮感染中平均一个人会感染x个人,则第一轮传播中有x人被感染,第二轮传播中有人被感染,
依题意得：,
整理,可得：.
故答案为：.
例1-2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
若设每个支干长出x个小分支.
（1）根据问题中的数量关系，完成下列问题：
①主干的数目为__________；
②从主干中长出的支干的数目为__________；（用含x的式子表示）
③从上述支干中长出的小分支的数目为__________.（用含x的式子表示）
（2）完成问题的求解.
答案：（1）①1.②x.③
（2）每个支干长出9个小分支
解析：（2）根据题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：每个支干长出9个小分支.
针对训练1
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
答案：（1）11个人
（2）1728人
解析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人.
（2）（人）.
答：三轮传染后，患流感的有1728人.
2．从A市到B市的高铁共设计了72种往返车票，则这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据每两个站点之间有两种往返车票，共设计了72种往返车票，可列出方程.
能力提升1
1.有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意：有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256，
即（1+x）2＝256，
解得：x1＝﹣17（不符合题意舍去），x2＝15，
答：每轮传染中平均每人传染了15人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数。
【答案】6
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点2 增长率问题
增长率问题：
增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
名师点拨
设增长率为X,则经过1个时间段(如月、年等等),其生产量为(1+X)倍, 经过两年生产量为(1+X)2倍,…… 经过n年,则生产量为(1+X)n倍.
典例剖析2
例2-1．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设平均每次降价的百分率为x，
原来每件售价为150元，连续两次降价，商品每件售价为96元，
，
故选：D.
例2-2．某小区新增了一家快递店,第一天揽件100件,第三天揽件144件.设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,可列方程为__________.
答案：
解析：由题意知,,
故答案为：.
针对练习2
1．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_______万辆.
答案：13.2
解析：，
故答案为：13.2.
2．某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
答案：(1)10%
(2)3327.5万元
解析：(1)设增长率为x,根据题意2014年为万元,2015年为.
则,
解得或(不合题意舍去).
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)(万元).
故根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元.
3．某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求,跳绳项目为必选项目.某体育用品店销售一种跳绳,4月份销售150条,6月份销售216条,若从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元／条.经过市场调研,当售价为40元／条时,月销售量为600条,若在此基础上售价每上涨1元,则月销售量将减少10条,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,求该跳绳的实际售价.
答案：(1)跳绳销售量的月增长率为
(2)该跳绳的实际售价为50元条
解析：(1)设跳绳销售量的月增长率为x,
根据题意得：,
解得：,(不符合题意,舍去).
答：跳绳销售量的月增长率为；
(2)设该跳绳的实际售价为y元条,则每条的销售利润为元,月销售量为条,
根据题意得：,
整理得：,
解得：,,
又要尽可能让顾客得到实惠,
.
答：该跳绳的实际售价为50元/条.
4．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售A产品每次的增长率.
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降价0.5万元，公司平均每月可多售出20套，若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
答案：（1）
（2）1万元
解析：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该公司销售A产品每次的增长率为.
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出套，
根据题意，得，
整理，得，解得，.
尽量减少库存，.
答：每套A产品需降价1万元.
两年前生产1吨某种药品的成本是5000元，现在生产1吨这种药品的成本是3200元，这种药品成本的年平均下降率是多少？
【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝3200，
解得 x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：该药品成本的年平均下降率是20%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
能力提升2
1．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.
(1)该市的养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2. 88万个，求该市这两年(从2014年度到2016年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间 (3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单水间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值;
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个 最少提供养老床位多少个
答案：（1）解：设该市这两年（从2014年度到2016年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
解得：，（不合题意，舍去）
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为.
（2）①设规划建造单人间的房间数为，则建造双人间的房间数为，三人间的房间数为，
由题意得：，解得：
答：t的值是25.
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个
由题意得：
，随t的增大而减小.
当时，y的最大值为（个）
当时，y的最大值为（个）
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个.
解析：
2．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极地生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩500万个，第三天生产口罩720万个，若每天增长的百分率相同.试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率.
(2)经调查发现，一条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加一条生产线，则每条生产线的最大产能将减少50万个/天.
①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.
答案：(1)每天增长的百分率为
(2)①应该增加4条生产线
②不能增加生产线
解析：(1)设每天增长的百分率为x.
依题意，得，
解得，(不合题意，舍去).
答：每天增长的百分率为.
(2)①设应该增加m条生产线，
则每条生产线的最大产能为万个/天.
依题意，得，
解得，.
要求增加产能同时又要节省投入，.
答：应该增加4条生产线.
②不能.理由：设增加a条生产线，
则每条生产线的最大产能为万个/天.
依题意，得，
化简得.
，方程无实数根，
不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个.
知识点3数字问题
十位数字为，个位数字y，这个两位数为10x+y.
名师点拨
连续奇数，连续偶数都是相差2
典例剖析3
例3-1．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
答案：5
解析：设这个最小数为x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：这个最小数为5.
例3-2．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面的问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
答案：36岁
解析：设周瑜逝世时年龄的个位数字为x，则十位数字为，
根据题意，得，
解得，，
当时，，此时周瑜的年龄是25岁，
不是而立之年，不符合题意，舍去；
当时，，此时周瑜的年龄是36岁，符合题意.
答：周瑜逝世时的年龄是36岁.
针对训练3
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数.
答案：当时，这五个数为10，11，12，13，14，
当时，这五个数为，，0，1，2
解析：设这五个连续整数为n，，，，，
依题意得，
解得或，
当时，这五个数为10，11，12，13，14，
当时，这五个数为，，0，1，2.
2．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份.
（1）八进制数3747换算成十进制数是_________.
（2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值.
答案：（1）2023
（2）9
解析：（2）根据题意，得，
解得，（舍去）.
故n的值是9.
3．已知直角三角形的三边长是三个连续自然数,求三边长.
答案：3,4,5
解析:设最短的边长为x,则另外两边长分别为,,
依题意,得:,
整理,得:,
解得:(不合题意,舍去),,
,.
答:直角三角形的三边长分别为3,4,5.
4．如图所示是2023年10月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出四个数.
(1)若圈出的四个数中，最小的数为n，则最大的数为________(用含n的代数式表示)；
(2)若圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，求这个最小的数.
答案：(1)
(2)这个最小的数为9
解析：(2)设这个最小的数为n，则最大的数为，
根据题意得，
整理得，
解得，(不符合题意，舍去).
答：这个最小的数为9.
能力提升3
1．阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和.（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）
例如：.
用上面的知识解决下列问题.
（1）计算：（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木.
2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200 24000 22400 20400
答案：（1）1180
（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木
解析：（1）由题意，得，，，
，
.
（2）设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.根据题意，
得，
整理得：，
或（负值舍去）.
.
答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.
2．阅读材料,解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第n个三角数可以用(且为整数)来表示.
（1）若三角数是55,则______;
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,请用含n的式子表示前n行所有点数的和;
（3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗 如果能,求出n,如果不能,请说明理由.
答案：（1）10
（2）
（3）前n行的点数和不能为120
解析:由题意得,,即,
,
解得(负值舍去),
故答案为:10;
（2）由题意得:前n行所有点数的和为
;
（3）不能,理由如下:
假设能为120,则,即
解得:,
n为正整数,
前n行的点数和不能为120.
两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是 ．
【分析】设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的数是（x﹣2），根据两个数之积为80，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的数是（x﹣2），
依题意得：x（x﹣2）＝80，
整理得：x2﹣2x﹣80＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣8，
当x＝10时，x﹣2＝8；
当x＝﹣8时，x﹣2＝﹣10；
即这两个偶数是10和8或﹣8和﹣10．
故答案为：10和8或﹣8和﹣10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点4 图形面积问题
形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
名师点拨
熟用直角三角形面积公式: 一般三角形面积公式: 2、正方形周长公式: 正方形面积公式: 3、矩形周长公式: 矩形面积公式:
典例剖析4
例4-1．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【解析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m,长为=（8-x） m,可得（x+2x）×（8-x）=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为13，可得0＜x≤，根据题意得出函数解析式，由二次函数性质求最值．
解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m,长为=（8-x） m,
∴（x+2x）×（8-x）=36，
解得x=2或x=6，
经检验，x=6时，3x=18＞13不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为13m,
∴0＜x≤，
根据题意得：y=（x+2x）×（8-x）=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，
∵-3＜0，
∴当x=时，y取最大值，最大值为-3×（-4）2+48=（m2），
答：当x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
例4-2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=8cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【解析】（1）当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即△PCQ的面积是△ABC面积的），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，即可得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
解：（1）当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,
根据题意得：×2t（16-4t）=××8×16，
整理得：t2-4t+4=0，
解得：t1=t2=2．
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,
根据题意得：×2t（16-4t）=××8×16，
整理得：t2-4t+8=0，
∵Δ=（-4）2-4×1×8=-16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
针对训练4
1．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
【答案】（1）长方形鸡舍的长为，宽为
（2），解有两个；，解有一个；无解
【解析】（1）设宽为，根据所用篱笆长为得长为，再由解出x的值，再判断其小于12则符合；
（2）根据（1）知，长方形中平行于墙的边长为或为临界点可分为三个范围分别是，解有两个，，解有一个，无解．
【小问1详解】
解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为．
依题意，得，
解得．
当时，（舍去），
当时，．
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
【小问2详解】
解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程．
2．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）x的值为2m；
（2）当x=4时，S有最大值，最大值为48．
【解析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
【小问2详解】
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48，
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．如图，学校准备搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用现成的围墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用总长38m的铁栏围成．若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，求出矩形自行车车棚的长和宽．
【解析】设AB=x m,则BC=（28-2x）m,根据题意：若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设AB=x m,则BC=（28-2x）m,
根据题意得：x（28-2x）=180，
解得：x1=10，x2=9，
当x=9时，38-2x=20＞19，不符合题意，舍去；
当x=10时，38-2x=18；
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长为18m,宽为10m.
4．开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为658800元，求x的值．
【解析】（1）根据题意，得出四个休闲区的长和宽，再根据长方形的面积公式，得出四个休闲区的总面积，进而得出鹅卵石健身道的面积，再根据“总费用=休闲区的总面积×100+鹅卵石健身道的面积×200”，得出开发商投入的资金，即可得出y与x的函数关系式，再根据四个休闲区的长和宽都大于0，即可得出x的取值范围；
（2）把y=658800代入y=-1800x2+63000x+540000，得出-1800x2+63000x-118800=0，解出方程，再结合（1）中x的取值范围，即可得出结果．
解：（1）∵余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道，
∴四个休闲区的长为（90-3×2x）米，宽为（60-3x）米，
∴四个休闲区的总面积为：（90-3×2x）（60-3x）=18x2-630x+5400（平方米），
∴鹅卵石健身道的面积为：90×60-（18x2-630x+5400）=630x-18x2（平方米），
∵修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，
∴开发商投入的资金为：y=（18x2-630x+5400）×100+（630x-18x2）×200，
整理，得：y=-1800x2+63000x+540000，
∵四个休闲区的长和宽都大于0，
∴，
解得：0＜x＜15，
∴y与x的函数关系式为：y=-1800x2+63000x+540000．x的取值范围为0＜x＜15；
（2）把y=658800代入y=-1800x2+63000x+540000中，
可得：-1800x2+63000x+540000=658800，
即-1800x2+63000x-118800=0，
整理，得：x2-35x+66=0，
解得：x1=2，x2=33，
∵0＜x＜15，
∴x2=33（不符合题意，舍去），
∴x=2，
∴x的值是2．
能力提升4
1．如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？
【解析】设镜框的宽度为xcm,表示出大长方形的长为30+2x,宽为20+2x,根据镜框面积=大长方形面积-照片面积列出方程，解方程可得．
解：设镜框的宽度为xcm,根据题意，得：
（30+2x）（20+2x）-30×20=30×20×，
整理，得：x2+25x-54=0，
即：（x+27）（x-2）=0，
解得：x=-27（舍）或x=2，
答：镜框边的宽度应是2cm.
2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【解析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；
（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5-x）×2x=6
整理得：x2-5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5-t）2+（2t）2=52，
5t2-10t=0，
t（5t-10）=0，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm.
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5-x）×2x=8
整理得：x2-5x+8=0
△=25-32=-7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程：（16-3x+2x）×6=33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,
根据梯形的面积公式得（16-3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm,
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t,CQ=BE=2t,
∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm.
知识点5 营销问题
总利润＝总售价－总成本
利润＝ 每件商品的利润×销售数量，
利润率＝×100%
名师点拨
解决一元二次方程中营销问题时，通常将单件利润，销售数量分别表示为两个一次函数，根据总利润=单件利润x销售数量找出等量关系列方程。
典例剖析5
例5-1．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A. w=（99-x）[200+10（x-50）]
B. w=（x-50）[200+10（99-x）]
C. w=（x-50）（200+×10）
D. w=（x-50）（200+×10）
【答案】D
【解析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x-50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w=（x-50）（200+×10），
故选：D．
例5-2．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解析】（1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
针对训练5
1．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解析】（1）由月销售量=500-（销售单价-50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，
解得：x1=65，x2=75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，
∴当m=70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
2．某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
【解析】（1）利用每部汽车的进价=27-0.1×（售出的汽车数量-1），即可找出y关于x的函数关系式；
（2）分0＜x≤10及x＞10两种情况考虑，根据该汽车销售公司计划当月盈利12万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：（1）依题意得：y=27-0.1（x-1）=-0.1x+27.1；
（2）当0＜x≤10时，有[28-（-0.1x+27.1）] x+0.5x=12，
整理得：x2+14x-120=0，
解得：x1=6，x2=-20（不合题意，舍去）；
当x＞10时，有[28-（-0.1x+27.1）] x+x=12，
整理得：x2+19x-120=0，
解得：x1=5（不合题意，舍去），x2=-24（不合题意，舍去）．
答：该汽车销售公司当月需要售出6部汽车．
3．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【解析】（1）利用平均增长率的等量关系：a（1+x）2=b,列式计算即可；
（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．
（1）解：设平均增长率为x,由题意得：256×（1+x）2=400，
解得：x=0.25或x=-2.25（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价y元，由题意得：（40-y-25）（400+5y）=4250，
整理得：y2+65y-350=0，
解得：y=5或y=-70（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
能力提升5
1．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
【解析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700；
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000，
当x≤45时，W随x的增大而增大，
∴x=545时，W最大值=-10×（45-50）2+4000=3750，
当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元；
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910，
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
2．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【解析】（1）根据题意设y=kx+b,当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,则，求得k、b即可；
（2）定价为x元，每千克利润（x-4）元，销售量为y kg,则（x-4）y=1800即（x-4）（-50x+1200）=1800，解方程即可；
（3）设利润为W，根据题意可得W=（x-4）（-50x+1200）=-50x2+1400x-4800化为顶点式即可求出合适的值．
解：（1）根据题意设y=kx+b,
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,
则，
解得：，
则y与x的函数关系式；y=-50x+1200（4≤x≤7），
（2）∵定价为x元，每千克利润（x-4）元，
由（1）知销售量为y=-50x+1200（4≤x≤7），
则（x-4）（-50x+1200）=1800，
解得：x1=22（舍去），x2=6，
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）设利润为W元，
根据题意可得：W=（x-4）（-50x+1200），
即W=-50x2+1400x-4800=-50（x-14）2+5000，
∵a=-50＜0，对称轴为x=14，
∴当x＜14时，W随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴x=7时，W最大值=-50（7-14）2+5000=2550（元），
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
3．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
【解析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，
（2）A、C的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产C产品的人数是A产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出y与x的函数关系式，
（3）由于B工艺品每件盈利，随着x的变化而变化，得出B工艺品的每件盈利与x的关系，再根据总利润等于三种工艺品的利润之和，得出W与x的二次函数关系，利用函数取最大值时，即为顶点坐标，因为此时y不为整数，因此要根据抛物线的增减性和对称性，确定x为何整数时，W最大．
解：（1）设制作一件A获利a元，则制作一件B获利（105+a）元，由题意得：
=，解得：a=15，
经检验，a=15是原方程的根，
当a=15时，a+105=120，
答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．
（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：
y+x+2y=65，
∴y=-x+
答：y与x之间的函数关系式为y=-x+．
（3）由题意得：
W=15×2×y+[120-2（x-5）]x+2y×30=-2x2+130x+90y,
又∵y=-x+
∴W=-2x2+130x+90y=-2x2+130x+90（-x+）=-2x2+100x+1950，
∵W=-2x2+100x+1950，对称轴为x=25，而x=25时，y的值不是整数，
根据抛物线的对称性和增减性可得：当x=24或x=26时，W最大，
当x=24时，y=-x+不是整数，不符合题意；
当x=26时，W最大=-2×262+100×26+1950=3198元．
此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
4．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决问题；
解：（1）W1=（x-6）（-x+26）-80=-x2+32x-236．
（2）由题意：20=-x2+32x-236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．
∴14≤x≤16，
W2=（x-5）（-x+26）-20=-x2+31x-150，
∵抛物线的对称轴x=15.5，又14≤x≤16，
∵15.5-14＞16-15.5，
∴x=14时，W2有最小值，最小值=88（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
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人教版数学九年级上暑假预习课
第三讲 一元二次方程的应用
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1传播速度问题
传播问题：
设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人传染，第二轮传染后共传染，a人经过两轮传染a（1+x）2 =m
名师点拨
一元二次方程传播问题公式为:a(1±χ) =b。a:基准量(变化以前的量);b:变更量(变化后面的量);χ:传播的人数。
典例剖析1
例1-1．某种病毒传播非常快,如果一个人被感染,没有隔离,经过两轮感染后就会有81个人被感染.设1人平均感染x人,则可列方程为______.
例1-2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
若设每个支干长出x个小分支.
（1）根据问题中的数量关系，完成下列问题：
①主干的数目为__________；
②从主干中长出的支干的数目为__________；（用含x的式子表示）
③从上述支干中长出的小分支的数目为__________.（用含x的式子表示）
（2）完成问题的求解.
针对训练1
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
2．从A市到B市的高铁共设计了72种往返车票，则这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
能力提升1
1.有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数。
知识点2 增长率问题
增长率问题：
增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
名师点拨
设增长率为X,则经过1个时间段(如月、年等等),其生产量为(1+X)倍, 经过两年生产量为(1+X)2倍,…… 经过n年,则生产量为(1+X)n倍.
典例剖析2
例2-1．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
例2-2．某小区新增了一家快递店,第一天揽件100件,第三天揽件144件.设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,可列方程为__________.
.
针对练习2
1．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_______万辆.
2．某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
3．某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求,跳绳项目为必选项目.某体育用品店销售一种跳绳,4月份销售150条,6月份销售216条,若从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元／条.经过市场调研,当售价为40元／条时,月销售量为600条,若在此基础上售价每上涨1元,则月销售量将减少10条,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,求该跳绳的实际售价.
4．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售A产品每次的增长率.
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降价0.5万元，公司平均每月可多售出20套，若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
两年前生产1吨某种药品的成本是5000元，现在生产1吨这种药品的成本是3200元，这种药品成本的年平均下降率是多少？
能力提升2
1．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.
(1)该市的养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2. 88万个，求该市这两年(从2014年度到2016年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间 (3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单水间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值;
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个 最少提供养老床位多少个
2．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极地生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩500万个，第三天生产口罩720万个，若每天增长的百分率相同.试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率.
(2)经调查发现，一条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加一条生产线，则每条生产线的最大产能将减少50万个/天.
①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.
知识点3数字问题
十位数字为，个位数字y，这个两位数为10x+y.
名师点拨
连续奇数，连续偶数都是相差2
典例剖析3
例3-1．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
例3-2．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面的问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
针对训练3
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数.
2．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份.
（1）八进制数3747换算成十进制数是_________.
（2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值.
4．如图所示是2023年10月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出四个数.
(1)若圈出的四个数中，最小的数为n，则最大的数为________(用含n的代数式表示)；
(2)若圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，求这个最小的数.
能力提升3
1．阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和.（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）
例如：.
用上面的知识解决下列问题.
（1）计算：（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木.
2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200 24000 22400 20400
2．阅读材料,解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第n个三角数可以用(且为整数)来表示.
（1）若三角数是55,则______;
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,请用含n的式子表示前n行所有点数的和;
（3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗 如果能,求出n,如果不能,请说明理由.
两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是 ．
知识点4 图形面积问题
形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
名师点拨
熟用直角三角形面积公式: 一般三角形面积公式: 2、正方形周长公式: 正方形面积公式: 3、矩形周长公式: 矩形面积公式:
典例剖析4
例4-1．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
例4-2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=8cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
针对训练4
1．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
2．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
3．如图，学校准备搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用现成的围墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用总长38m的铁栏围成．若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，求出矩形自行车车棚的长和宽．
4．开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为658800元，求x的值．
能力提升4
1．如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？
2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
知识点5 营销问题
总利润＝总售价－总成本
利润＝ 每件商品的利润×销售数量，
利润率＝×100%
名师点拨
解决一元二次方程中营销问题时，通常将单件利润，销售数量分别表示为两个一次函数，根据总利润=单件利润x销售数量找出等量关系列方程。
典例剖析5
例5-1．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A. w=（99-x）[200+10（x-50）]
B. w=（x-50）[200+10（99-x）]
C. w=（x-50）（200+×10）
D. w=（x-50）（200+×10）
例5-2．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
针对训练5
1．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
2．某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
3．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
能力提升5
1．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
2．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
3．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
4．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
人教版数学九年级上暑假预习课
第三讲 一元二次方程的应用（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1传播速度问题
传播问题：
设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人传染，第二轮传染后共传染，a人经过两轮传染a（1+x）2 =m
名师点拨
一元二次方程传播问题公式为:a(1±χ) =b。a:基准量(变化以前的量);b:变更量(变化后面的量);χ:传播的人数。
典例剖析1
例1-1．某种病毒传播非常快,如果一个人被感染,没有隔离,经过两轮感染后就会有81个人被感染.设1人平均感染x人,则可列方程为______.
答案：
解析：设每轮感染中平均一个人会感染x个人,则第一轮传播中有x人被感染,第二轮传播中有人被感染,
依题意得：,
整理,可得：.
故答案为：.
例1-2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
若设每个支干长出x个小分支.
（1）根据问题中的数量关系，完成下列问题：
①主干的数目为__________；
②从主干中长出的支干的数目为__________；（用含x的式子表示）
③从上述支干中长出的小分支的数目为__________.（用含x的式子表示）
（2）完成问题的求解.
答案：（1）①1.②x.③
（2）每个支干长出9个小分支
解析：（2）根据题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：每个支干长出9个小分支.
针对训练1
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
答案：（1）11个人
（2）1728人
解析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人.
（2）（人）.
答：三轮传染后，患流感的有1728人.
2．从A市到B市的高铁共设计了72种往返车票，则这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据每两个站点之间有两种往返车票，共设计了72种往返车票，可列出方程.
能力提升1
1.有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意：有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256，
即（1+x）2＝256，
解得：x1＝﹣17（不符合题意舍去），x2＝15，
答：每轮传染中平均每人传染了15人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数。
【答案】6
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点2 增长率问题
增长率问题：
增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
名师点拨
设增长率为X,则经过1个时间段(如月、年等等),其生产量为(1+X)倍, 经过两年生产量为(1+X)2倍,…… 经过n年,则生产量为(1+X)n倍.
典例剖析2
例2-1．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设平均每次降价的百分率为x，
原来每件售价为150元，连续两次降价，商品每件售价为96元，
，
故选：D.
例2-2．某小区新增了一家快递店,第一天揽件100件,第三天揽件144件.设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,可列方程为__________.
答案：
解析：由题意知,,
故答案为：.
针对练习2
1．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_______万辆.
答案：13.2
解析：，
故答案为：13.2.
2．某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
答案：(1)10%
(2)3327.5万元
解析：(1)设增长率为x,根据题意2014年为万元,2015年为.
则,
解得或(不合题意舍去).
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)(万元).
故根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元.
3．某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求,跳绳项目为必选项目.某体育用品店销售一种跳绳,4月份销售150条,6月份销售216条,若从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该跳绳销售量的月增长率；
(2)若此种跳绳的进价为30元／条.经过市场调研,当售价为40元／条时,月销售量为600条,若在此基础上售价每上涨1元,则月销售量将减少10条,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,求该跳绳的实际售价.
答案：(1)跳绳销售量的月增长率为
(2)该跳绳的实际售价为50元条
解析：(1)设跳绳销售量的月增长率为x,
根据题意得：,
解得：,(不符合题意,舍去).
答：跳绳销售量的月增长率为；
(2)设该跳绳的实际售价为y元条,则每条的销售利润为元,月销售量为条,
根据题意得：,
整理得：,
解得：,,
又要尽可能让顾客得到实惠,
.
答：该跳绳的实际售价为50元/条.
4．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售A产品每次的增长率.
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降价0.5万元，公司平均每月可多售出20套，若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
答案：（1）
（2）1万元
解析：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该公司销售A产品每次的增长率为.
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出套，
根据题意，得，
整理，得，解得，.
尽量减少库存，.
答：每套A产品需降价1万元.
两年前生产1吨某种药品的成本是5000元，现在生产1吨这种药品的成本是3200元，这种药品成本的年平均下降率是多少？
【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝3200，
解得 x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：该药品成本的年平均下降率是20%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
能力提升2
1．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.
(1)该市的养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2. 88万个，求该市这两年(从2014年度到2016年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间 (3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单水间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值;
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个 最少提供养老床位多少个
答案：（1）解：设该市这两年（从2014年度到2016年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
解得：，（不合题意，舍去）
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为.
（2）①设规划建造单人间的房间数为，则建造双人间的房间数为，三人间的房间数为，
由题意得：，解得：
答：t的值是25.
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个
由题意得：
，随t的增大而减小.
当时，y的最大值为（个）
当时，y的最大值为（个）
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个.
解析：
2．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极地生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩500万个，第三天生产口罩720万个，若每天增长的百分率相同.试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率.
(2)经调查发现，一条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加一条生产线，则每条生产线的最大产能将减少50万个/天.
①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.
答案：(1)每天增长的百分率为
(2)①应该增加4条生产线
②不能增加生产线
解析：(1)设每天增长的百分率为x.
依题意，得，
解得，(不合题意，舍去).
答：每天增长的百分率为.
(2)①设应该增加m条生产线，
则每条生产线的最大产能为万个/天.
依题意，得，
解得，.
要求增加产能同时又要节省投入，.
答：应该增加4条生产线.
②不能.理由：设增加a条生产线，
则每条生产线的最大产能为万个/天.
依题意，得，
化简得.
，方程无实数根，
不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个.
知识点3数字问题
十位数字为，个位数字y，这个两位数为10x+y.
名师点拨
连续奇数，连续偶数都是相差2
典例剖析3
例3-1．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
答案：5
解析：设这个最小数为x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：这个最小数为5.
例3-2．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面的问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
答案：36岁
解析：设周瑜逝世时年龄的个位数字为x，则十位数字为，
根据题意，得，
解得，，
当时，，此时周瑜的年龄是25岁，
不是而立之年，不符合题意，舍去；
当时，，此时周瑜的年龄是36岁，符合题意.
答：周瑜逝世时的年龄是36岁.
针对训练3
1．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数.
答案：当时，这五个数为10，11，12，13，14，
当时，这五个数为，，0，1，2
解析：设这五个连续整数为n，，，，，
依题意得，
解得或，
当时，这五个数为10，11，12，13，14，
当时，这五个数为，，0，1，2.
2．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份.
（1）八进制数3747换算成十进制数是_________.
（2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值.
答案：（1）2023
（2）9
解析：（2）根据题意，得，
解得，（舍去）.
故n的值是9.
3．已知直角三角形的三边长是三个连续自然数,求三边长.
答案：3,4,5
解析:设最短的边长为x,则另外两边长分别为,,
依题意,得:,
整理,得:,
解得:(不合题意,舍去),,
,.
答:直角三角形的三边长分别为3,4,5.
4．如图所示是2023年10月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出四个数.
(1)若圈出的四个数中，最小的数为n，则最大的数为________(用含n的代数式表示)；
(2)若圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，求这个最小的数.
答案：(1)
(2)这个最小的数为9
解析：(2)设这个最小的数为n，则最大的数为，
根据题意得，
整理得，
解得，(不符合题意，舍去).
答：这个最小的数为9.
能力提升3
1．阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式来计算等差数列的和.（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）
例如：.
用上面的知识解决下列问题.
（1）计算：（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木.
2009年 2010年 2011年 2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25200 24000 22400 20400
答案：（1）1180
（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木
解析：（1）由题意，得，，，
，
.
（2）设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.根据题意，
得，
整理得：，
或（负值舍去）.
.
答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.
2．阅读材料,解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过1,3,6,10…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第n个三角数可以用(且为整数)来表示.
（1）若三角数是55,则______;
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,请用含n的式子表示前n行所有点数的和;
（3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗 如果能,求出n,如果不能,请说明理由.
答案：（1）10
（2）
（3）前n行的点数和不能为120
解析:由题意得,,即,
,
解得(负值舍去),
故答案为:10;
（2）由题意得:前n行所有点数的和为
;
（3）不能,理由如下:
假设能为120,则,即
解得:,
n为正整数,
前n行的点数和不能为120.
两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是 ．
【分析】设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的数是（x﹣2），根据两个数之积为80，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的数是（x﹣2），
依题意得：x（x﹣2）＝80，
整理得：x2﹣2x﹣80＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣8，
当x＝10时，x﹣2＝8；
当x＝﹣8时，x﹣2＝﹣10；
即这两个偶数是10和8或﹣8和﹣10．
故答案为：10和8或﹣8和﹣10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点4 图形面积问题
形积问题：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
名师点拨
熟用直角三角形面积公式: 一般三角形面积公式: 2、正方形周长公式: 正方形面积公式: 3、矩形周长公式: 矩形面积公式:
典例剖析4
例4-1．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【解析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m,长为=（8-x） m,可得（x+2x）×（8-x）=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为13，可得0＜x≤，根据题意得出函数解析式，由二次函数性质求最值．
解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m,长为=（8-x） m,
∴（x+2x）×（8-x）=36，
解得x=2或x=6，
经检验，x=6时，3x=18＞13不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为13m,
∴0＜x≤，
根据题意得：y=（x+2x）×（8-x）=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，
∵-3＜0，
∴当x=时，y取最大值，最大值为-3×（-4）2+48=（m2），
答：当x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
例4-2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=8cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【解析】（1）当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即△PCQ的面积是△ABC面积的），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，即可得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
解：（1）当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,
根据题意得：×2t（16-4t）=××8×16，
整理得：t2-4t+4=0，
解得：t1=t2=2．
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,
根据题意得：×2t（16-4t）=××8×16，
整理得：t2-4t+8=0，
∵Δ=（-4）2-4×1×8=-16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
针对训练4
1．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
【答案】（1）长方形鸡舍的长为，宽为
（2），解有两个；，解有一个；无解
【解析】（1）设宽为，根据所用篱笆长为得长为，再由解出x的值，再判断其小于12则符合；
（2）根据（1）知，长方形中平行于墙的边长为或为临界点可分为三个范围分别是，解有两个，，解有一个，无解．
【小问1详解】
解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为．
依题意，得，
解得．
当时，（舍去），
当时，．
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
【小问2详解】
解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程．
2．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）x的值为2m；
（2）当x=4时，S有最大值，最大值为48．
【解析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
【小问2详解】
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48，
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．如图，学校准备搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用现成的围墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用总长38m的铁栏围成．若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，求出矩形自行车车棚的长和宽．
【解析】设AB=x m,则BC=（28-2x）m,根据题意：若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设AB=x m,则BC=（28-2x）m,
根据题意得：x（28-2x）=180，
解得：x1=10，x2=9，
当x=9时，38-2x=20＞19，不符合题意，舍去；
当x=10时，38-2x=18；
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长为18m,宽为10m.
4．开发商在新建的某小区划出一个长为90米，宽为60米的矩形场地，计划在其中修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道如图所示．已知修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，开发商投入的资金是y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若开发商预计投入的资金为658800元，求x的值．
【解析】（1）根据题意，得出四个休闲区的长和宽，再根据长方形的面积公式，得出四个休闲区的总面积，进而得出鹅卵石健身道的面积，再根据“总费用=休闲区的总面积×100+鹅卵石健身道的面积×200”，得出开发商投入的资金，即可得出y与x的函数关系式，再根据四个休闲区的长和宽都大于0，即可得出x的取值范围；
（2）把y=658800代入y=-1800x2+63000x+540000，得出-1800x2+63000x-118800=0，解出方程，再结合（1）中x的取值范围，即可得出结果．
解：（1）∵余下的空地修建成横向宽为x米，纵向宽为2x米的鹅卵石健身道，
∴四个休闲区的长为（90-3×2x）米，宽为（60-3x）米，
∴四个休闲区的总面积为：（90-3×2x）（60-3x）=18x2-630x+5400（平方米），
∴鹅卵石健身道的面积为：90×60-（18x2-630x+5400）=630x-18x2（平方米），
∵修建1平方米的休闲区需要费用100元，修建1平方米的鹅卵石健身道需要费用200元，
∴开发商投入的资金为：y=（18x2-630x+5400）×100+（630x-18x2）×200，
整理，得：y=-1800x2+63000x+540000，
∵四个休闲区的长和宽都大于0，
∴，
解得：0＜x＜15，
∴y与x的函数关系式为：y=-1800x2+63000x+540000．x的取值范围为0＜x＜15；
（2）把y=658800代入y=-1800x2+63000x+540000中，
可得：-1800x2+63000x+540000=658800，
即-1800x2+63000x-118800=0，
整理，得：x2-35x+66=0，
解得：x1=2，x2=33，
∵0＜x＜15，
∴x2=33（不符合题意，舍去），
∴x=2，
∴x的值是2．
能力提升4
1．如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？
【解析】设镜框的宽度为xcm,表示出大长方形的长为30+2x,宽为20+2x,根据镜框面积=大长方形面积-照片面积列出方程，解方程可得．
解：设镜框的宽度为xcm,根据题意，得：
（30+2x）（20+2x）-30×20=30×20×，
整理，得：x2+25x-54=0，
即：（x+27）（x-2）=0，
解得：x=-27（舍）或x=2，
答：镜框边的宽度应是2cm.
2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【解析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；
（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5-x）×2x=6
整理得：x2-5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5-t）2+（2t）2=52，
5t2-10t=0，
t（5t-10）=0，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm.
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5-x）×2x=8
整理得：x2-5x+8=0
△=25-32=-7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程：（16-3x+2x）×6=33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,
根据梯形的面积公式得（16-3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm,
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t,CQ=BE=2t,
∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm.
知识点5 营销问题
总利润＝总售价－总成本
利润＝ 每件商品的利润×销售数量，
利润率＝×100%
名师点拨
解决一元二次方程中营销问题时，通常将单件利润，销售数量分别表示为两个一次函数，根据总利润=单件利润x销售数量找出等量关系列方程。
典例剖析5
例5-1．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A. w=（99-x）[200+10（x-50）]
B. w=（x-50）[200+10（99-x）]
C. w=（x-50）（200+×10）
D. w=（x-50）（200+×10）
【答案】D
【解析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x-50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w=（x-50）（200+×10），
故选：D．
例5-2．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解析】（1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
针对训练5
1．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解析】（1）由月销售量=500-（销售单价-50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，
解得：x1=65，x2=75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，
∴当m=70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
2．某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
【解析】（1）利用每部汽车的进价=27-0.1×（售出的汽车数量-1），即可找出y关于x的函数关系式；
（2）分0＜x≤10及x＞10两种情况考虑，根据该汽车销售公司计划当月盈利12万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：（1）依题意得：y=27-0.1（x-1）=-0.1x+27.1；
（2）当0＜x≤10时，有[28-（-0.1x+27.1）] x+0.5x=12，
整理得：x2+14x-120=0，
解得：x1=6，x2=-20（不合题意，舍去）；
当x＞10时，有[28-（-0.1x+27.1）] x+x=12，
整理得：x2+19x-120=0，
解得：x1=5（不合题意，舍去），x2=-24（不合题意，舍去）．
答：该汽车销售公司当月需要售出6部汽车．
3．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【解析】（1）利用平均增长率的等量关系：a（1+x）2=b,列式计算即可；
（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．
（1）解：设平均增长率为x,由题意得：256×（1+x）2=400，
解得：x=0.25或x=-2.25（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价y元，由题意得：（40-y-25）（400+5y）=4250，
整理得：y2+65y-350=0，
解得：y=5或y=-70（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
能力提升5
1．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
【解析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700；
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000，
当x≤45时，W随x的增大而增大，
∴x=545时，W最大值=-10×（45-50）2+4000=3750，
当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元；
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910，
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
2．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【解析】（1）根据题意设y=kx+b,当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,则，求得k、b即可；
（2）定价为x元，每千克利润（x-4）元，销售量为y kg,则（x-4）y=1800即（x-4）（-50x+1200）=1800，解方程即可；
（3）设利润为W，根据题意可得W=（x-4）（-50x+1200）=-50x2+1400x-4800化为顶点式即可求出合适的值．
解：（1）根据题意设y=kx+b,
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,
则，
解得：，
则y与x的函数关系式；y=-50x+1200（4≤x≤7），
（2）∵定价为x元，每千克利润（x-4）元，
由（1）知销售量为y=-50x+1200（4≤x≤7），
则（x-4）（-50x+1200）=1800，
解得：x1=22（舍去），x2=6，
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）设利润为W元，
根据题意可得：W=（x-4）（-50x+1200），
即W=-50x2+1400x-4800=-50（x-14）2+5000，
∵a=-50＜0，对称轴为x=14，
∴当x＜14时，W随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴x=7时，W最大值=-50（7-14）2+5000=2550（元），
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
3．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
【解析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，
（2）A、C的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产C产品的人数是A产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出y与x的函数关系式，
（3）由于B工艺品每件盈利，随着x的变化而变化，得出B工艺品的每件盈利与x的关系，再根据总利润等于三种工艺品的利润之和，得出W与x的二次函数关系，利用函数取最大值时，即为顶点坐标，因为此时y不为整数，因此要根据抛物线的增减性和对称性，确定x为何整数时，W最大．
解：（1）设制作一件A获利a元，则制作一件B获利（105+a）元，由题意得：
=，解得：a=15，
经检验，a=15是原方程的根，
当a=15时，a+105=120，
答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．
（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：
y+x+2y=65，
∴y=-x+
答：y与x之间的函数关系式为y=-x+．
（3）由题意得：
W=15×2×y+[120-2（x-5）]x+2y×30=-2x2+130x+90y,
又∵y=-x+
∴W=-2x2+130x+90y=-2x2+130x+90（-x+）=-2x2+100x+1950，
∵W=-2x2+100x+1950，对称轴为x=25，而x=25时，y的值不是整数，
根据抛物线的对称性和增减性可得：当x=24或x=26时，W最大，
当x=24时，y=-x+不是整数，不符合题意；
当x=26时，W最大=-2×262+100×26+1950=3198元．
此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
4．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决问题；
解：（1）W1=（x-6）（-x+26）-80=-x2+32x-236．
（2）由题意：20=-x2+32x-236．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．
∴14≤x≤16，
W2=（x-5）（-x+26）-20=-x2+31x-150，
∵抛物线的对称轴x=15.5，又14≤x≤16，
∵15.5-14＞16-15.5，
∴x=14时，W2有最小值，最小值=88（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
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