2023-2024学年山东省临沂十八中高一（下）段考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年山东省临沂十八中高一（下）段考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，为线段上的一点，，且，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则
A. B. 或 C. D. 或
5.如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为，则该圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.第十届中国花博会于年月日至月日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达米．图为世纪馆真实图，图是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中分别为半圆的圆心，线段与半圆分别交于，，若米，米，，，，，则的长约为．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面是关于复数的四个命题，其中真命题为( )
A. B.
C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
10.下列叙述正确的是( )
A. 已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B. 已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C. 已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D. 已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
11.如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B.
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知是延长线上一点，点为线段的中点，若，且，则______．
13.在中，，，是边的三等分点，若，则 ______．
14.点、、、在同一球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，满足，，．
求；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
17.本小题分
在锐角三角形中，角、、的对边分别为，，，已知．
求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，，若，，点为的中点，点为的三等分点靠近点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
在路边安装路灯，灯柱与地面垂直满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽设灯柱高，．
当时，求四边形的面积；
求灯柱的高用表示；
若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..．
14..
15..解：
得，
则，
得．
由向量与的夹角为锐角，可得即有．
而当向量与同向时，可知，
综上所述的取值范围为．
16..证明：如图，连接，则必过与的交点，
连接，则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
又为中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，
又与为平面内的两条相交直线，
所以平面平面．

17..解：因为，
所以，整理可得，解得，或，
又，
所以，可得．
由正弦定理可得，可得，，
可得，
因为，可得，
所以，
又，可得，可得，
可得，
所以．
18..解：证明：平面，又平面，
，又，且，
平面，又平面，
，又，为的中点，
，又，
平面；
点为的中点，点为的三等分点靠近点，
，
．
19..解：，，
，又，
，又，
所以为正三角形，则，
在中，因为，所以，
故四边形的面积．
因为，，所以，
又因为灯柱与地面垂直，即，所以，
因为，所以，
在中，因为，所以，
在中，因为，所以．
在中，因为，
所以，
则，
因为，所以，
所以当时，．
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