2023-2024学年山东省淄博五中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省淄博五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量与垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，，，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A. B. C. D. 都不对
6.一艘船以海里小时的速度向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东，小时后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东，则灯塔与之间的距离是( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
7.如图，在中，设，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.设，，，则，，大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则下列正确的是( )
A. 当或时，为实数
B. 若为纯虚数，则或
C. 若复数对应的点位于第二象限，则
D. 若复数对应的点位于直线上，则
10.已知向量，，则( )
A. 与方向相同的单位向量的坐标为
B. 当时，与的夹角为锐角
C. 当时，、可作为平面内的一组基底
D. 当时，在方向上的投影向量为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是直角三角形
C. 若是等腰三角形，则
D. 若，则的面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知向量，，，若，则实数 ______．
13.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称换二十四等边体就是一种半多正多面体如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为______．
14.如图所示，在等腰直角中，，为中点，，分别是线段，上的动点，且，当时，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求的值；
求向量与的夹角．
16.本小题分
如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上．
求圆锥的侧面积；
当为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，的外接圆的半径为，且，且．
求；
若，，求．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，．
若的面积为，求；
在的条件下，若，求．
19.本小题分
已知函数
化简的表达式．
若的最小正周期为，求的单调区间
将中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称若对于任意的实数，函数与的公共点个数不少于个且不多于个，求正实数的取值范围．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：根据题意，可得即，得，解得，
所以，可得；
由，可得，
结合，可得，，
而，，所以向量与的夹角，．
16..解：圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为；
设圆柱的底面半径为，
如图可得，即，
得．
圆柱的侧面积．
是的二次函数，当时，取得最大值．
即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．
17..解：，
由正弦定理得，
整理得，即，
解得或不合题意，舍去，
又，则；
由余弦定理得，
．
由正弦定理得，则．
18..解：在中，因为，，
的面积为，
所以，解得，
在中，由余弦定理，，
所以．
在中，由正弦定理，得，所以
．
19..解：依题意，，
由知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，上单调递减；
由及已知，，因图像关于对称，则，
解得：，又，即有，，于是．
由得：，，而函数的周期，
依题意，对于在上均有不少于个且不多于个根，则有，即，解得：，
所以正实数的取值范围是．
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