2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一6月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一6月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 748.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-25 17:22:19 | ||
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文档简介
2023-2024学年安徽省马鞍山二中高一6月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 零向量的长度是
C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量
3.某高中为了解三个年级学生的课业负担情况，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查．则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 简单随机抽样 C. 分层随机抽样 D. 随机数法
4.在中，若，则角等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，，以向量，为基底，则向量( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形中，，正方形的边长为，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是 ．
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在上的投影向量为 D.
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 当点与重合时，二面角的正切值为
D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用比例分配的分层随机抽样的方法抽取个样本，第一层个，样本平均数为，第二层个，样本平均数为，由此可估计总体平均数为 ．
13.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山．李白在独坐敬亭山中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲．相看两不厌，只有敬亭山．相传该诗题写于太白独坐楼如图为了测量该楼的高度如图，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为则该楼的高度为
14.如图，在棱长为的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为，已知，且．
求；
已知角的平分线交于点，若，求的周长．
17.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．
求证：平面；
求与平面所成的角．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求点到平面的距离；
Ⅲ在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线、为、轴的正半轴，建立平面坐标系，如图我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标今有斜坐标系长度单位为米，如图，且，，，设．
图 图
计算的大小
质点甲在上距点米的点处，质点乙在上距点米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以米小时的速度移动．
若过小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示
若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：因为，，所以设，
又，所以，解得，所以或；
因为，所以，
又，且与垂直，
所以，即，
即，解得，
所以．
16..解：因为，由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
可得，
因为，可得，所以，所以，
又因为，所以．
因为，交的内角平分线交于点，且，
，
又因为，
所以，可得，
由余弦定理得：
，
整理得，解得或舍去，
所以，即的周长为．
17..解：如图，在等腰梯形中，连接，因为是的中点，
所以，又因为且，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，使得平面平面，
所以，，又平面，
所以平面，
由及线面垂直性质得，平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为．
18..Ⅰ证明：底面，底面，
，又，，，面，
面，又面，；
Ⅱ解：如图，
以为坐标原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，．
则，，
设平面的一个法向量为，
则由，得，
取，则，．
，，
设到平面的距离；
Ⅲ解：设，
另，得，即，
解得：则．
平面，取平面一个法向量，
则
，解得．
平面时，的值为．
19..据题意，．
．
易知，，
．
时刻时，，，
，
．
当时，，
即小时后，甲乙两质点相距最短，且最短距离为米
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 零向量的长度是
C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量
3.某高中为了解三个年级学生的课业负担情况，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查．则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 简单随机抽样 C. 分层随机抽样 D. 随机数法
4.在中，若，则角等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，，以向量，为基底，则向量( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形中，，正方形的边长为，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是 ．
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在上的投影向量为 D.
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 当点与重合时，二面角的正切值为
D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用比例分配的分层随机抽样的方法抽取个样本，第一层个，样本平均数为，第二层个，样本平均数为，由此可估计总体平均数为 ．
13.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山．李白在独坐敬亭山中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲．相看两不厌，只有敬亭山．相传该诗题写于太白独坐楼如图为了测量该楼的高度如图，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为则该楼的高度为
14.如图，在棱长为的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为，已知，且．
求；
已知角的平分线交于点，若，求的周长．
17.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．
求证：平面；
求与平面所成的角．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求点到平面的距离；
Ⅲ在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线、为、轴的正半轴，建立平面坐标系，如图我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标今有斜坐标系长度单位为米，如图，且，，，设．
图 图
计算的大小
质点甲在上距点米的点处，质点乙在上距点米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以米小时的速度移动．
若过小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示
若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
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13..
14..
15..解：因为，，所以设，
又，所以，解得，所以或；
因为，所以，
又，且与垂直，
所以，即，
即，解得，
所以．
16..解：因为，由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
可得，
因为，可得，所以，所以，
又因为，所以．
因为，交的内角平分线交于点，且，
，
又因为，
所以，可得，
由余弦定理得：
，
整理得，解得或舍去，
所以，即的周长为．
17..解：如图，在等腰梯形中，连接，因为是的中点，
所以，又因为且，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，使得平面平面，
所以，，又平面，
所以平面，
由及线面垂直性质得，平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为．
18..Ⅰ证明：底面，底面，
，又，，，面，
面，又面，；
Ⅱ解：如图，
以为坐标原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，．
则，，
设平面的一个法向量为，
则由，得，
取，则，．
，，
设到平面的距离；
Ⅲ解：设，
另，得，即，
解得：则．
平面，取平面一个法向量，
则
，解得．
平面时，的值为．
19..据题意，．
．
易知，，
．
时刻时，，，
，
．
当时，，
即小时后，甲乙两质点相距最短，且最短距离为米
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