2023-2024学年广东省高二下学期6月统一调研联考数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省高二下学期6月统一调研联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为
A. B. C. D.
2.的虚部为
A. B. C. D.
3.已知椭圆：的离心率为，则
A. B. C. D.
4.已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为
A. B. C. D.
5.函数在上的零点个数为
A. B. C. D.
6.已知函数，其中且，，则的单调性
A. 与有关，与有关 B. 与有关，与无关
C. 与无关，与有关 D. 与无关，与无关
7.建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅如图所示，因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体．现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上、下底面积分别为和，高超过，该圆台上、下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为
A. B. C. D.
8.过圆：外一点，做圆的切线，切点为，若，则的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集，集合，若有个子集，且，则
A. B. 集合有个真子集
C. D.
10.已知中，角，，所对的边分别为，，，的面积记为，若，，则( )
A.
B. 的外接圆周长为
C. 的最大值为
D. 若为线段的中点，且，则
11.已知函数的定义域为，若，且，则
A. B. 无最小值
C. D. 的图象关于点中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ，则________．
13.学校安排甲、乙等名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有，，这个项目，每名学生只去个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有人，则不同的安排方法有________种．用数字作答
14.已知为坐标原点，点，在抛物线：上，且，记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则直线的斜率为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，．
证明： 平面；
求与平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知函数
若，讨论的单调性；
若曲线在处的切线与直线垂直，证明：．
17.本小题分
为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券张，且有次终极抽奖机会次抽奖结果互不影响；若三次投掷的数字之和是，或，则该顾客获得该健身房的免费团操券张，且有次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券张，不具有终极抽奖机会．已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．
奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉
概率
已知某顾客有两次终极抽奖机会，求该顾客获得一个健身背包和一盒蛋白粉的概率；
求一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，过点的直线与交于，两点，当的斜率为时，．
求的方程；
若，分别在的左、右两支，点，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为，则称数列具有“性质”已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质”．
若，且，，写出所有可能的的值；
若，，证明：“”是“，，，”的充要条件；
若，，，证明：或
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..证明：取的中点，连接，，，
因为，，，
所以，，
故四边形为平行四边形，
所以，
易知四边形是平行四边形，所以平面，
而平面，故平面．
解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则故，
令，得，，则是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，则，
即与平面所成的角的正弦值为．

16..解：依题意，，
，
令，解得．
若，则当时，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增
若，则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，若，在上单调递减，在上单调递增
若，在上单调递增，在上单调递减．
证明：由可知，，而，解得．
令，，
故，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，即，故
17..解：记该顾客获得一个健身背包和一盒蛋白粉为事件，
则．
记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，
事件“顾客有一次终极抽奖机会”，
事件“获得蛋白粉”，
故，，，
事件包括的事件是：“次投掷的点数之和为”“次投掷的点数之和为”“次投掷的点数之和为”，
若“次投掷的点数之和为”，则有“，，”“，，”“，，”三种情形，
故共有种
若“次投掷的点数之和为”，则有“，，”“，，”“，，”“，，”“，，”“，，”六种情形，
故共有种
若“次投掷的点数之和为”，则只有“，，”一种情形，
故，
故．
18..解：依题意，直线，
，故，
联立得，
设，，
则，，
则
，
解得，故C的方程为．
因为，故，
故，
所以，
又，故，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
其中，，，
由得，
故，，
因为，，，
所以，
，
所以，
整理得，
结合根与系数的关系解得，
经检验，存在，使得，故．
19..解：依题意，若，，，，此时
若，，，，此时
若，，，，此时．
证明：必要性：因为，故数列为等差数列，
所以，公差为，
所以
充分性：由于，，，，
累加可得，，即，
因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以，
所以，
综上所述，“”是“的充要条件．
证明：令，依题意，，
因为，，，，
所以
，
因为，所以为偶数，
所以为偶数
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或，
当时，比如，，或，，
时，有，
当时，比如，，，或，
，，时，有，
当或时，不能被整除，
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