2023-2024学年安徽省皖中名校联盟高二（下）第四次教学质量检测数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省皖中名校联盟高二（下）第四次教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A. 或 B. 或
C. D.
2.在一组样本数据为不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A. B. C. D.
3.下列结论中错误的个数是( )
命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；
命题“，”是存在量词命题；
命题“，”的否定为“，”；
命题“是的必要条件”是真命题．
A. B. C. D.
4.若正实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
6.某试卷中道选择题有个答案，其中只有一个是正确的考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
8.将编号为的小球放入编号为的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与均为的最大值
10.小明的计算器坏了，每启动一次都随机地出现一个位的二进制数例如：若，，则，其中二进制数的各位数中，已知，出现的概率为，出现的概率为，记，现在计算器启动一次，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.偶函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，则集合的真子集个数为__________．
13.以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，，则实数的值为__________．
14.若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是__________
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，前项的系数的绝对值成等差数列．
求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和
求展开式中所有的有理项．
16.本小题分
司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了名司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．
完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．
参考数据：
参考公式：，其中．
17.本小题分
已知数列是以公比为，首项为的等比数列，且
求出的通项公式；
设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆过点，且半焦距．
求椭圆的标准方程；
如图，已知，过点的直线与椭圆相交于两点，直线与轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中。
当时，讨论函数的单调性；
当时，证明其中为自然对数的底数
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解： 展开式的通项为 ，
因为前项的系数的绝对值成等差数列，且前三项系数为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ， 所有展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即 ，
令 得 ，即展开式系数和为 ；
通项公式： ，
当 、时对应的项为有理项，有理项分别为： ； ．

16..解：填写列联表，如下；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联．
根据数表，计算，
有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．
开车时不使用手机的男性司机人数为：人
开车时不使用手机的女性司机人数为：人．
由题意可知：的所有可能取值为，，，，
．
则的分布列为：
则．
17..解：数列 是首项为，公比为的等比数列，
，
当时，
即 ，
，
又 也满足上式，
数列 的通项公式为 ，
由，可得 ，
由，得 ，
，
不等式 可化为 ，
即 对任意的 恒成立，
即转化为
令 ，且易得 为递增数列，又 ，所以 ，
综上， 的取值范围是
18..解：设椭圆的左、右焦点分别为 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
设直线的方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，易知直线 与椭圆相切，不符合题意，同理可得直线 的斜率存在，故直线 的方程为 ，
则 ，即 ，
同理 ．
由 得 ，
由 得 ，
又 ，
所以
，
故 为定值，且 ．

19..解：由题意得，
函数的定义域为．
，
当时，或；；
当时，；
当时，或；．
综上，当时，在，上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
当时，由，只需证明，
令，
则在内单调递增，
且，
设，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，取得唯一的极小值，也是最小值．
的最小值是：
成立．
故成立．
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