2023-2024学年广东省汕头市潮阳黄图盛中学高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省汕头市潮阳黄图盛中学高一（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，则
6.下列说法错误的是( )
A. 若，则或
B. 若，，且，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 函数的值域为
7.如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点，记若角为锐角，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正六边形的边长为，记，则( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 点是曲线的对称中心
C. 函数在区间内单调递增
D. 函数在区间内有两个最值点
11.如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B.
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则______．
13.已知是第四象限角，且，则 ______．
14.对实数、定义一个运算：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四边形中，，，，且．
用，表示；
点在线段上，且，求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且
求角；
若，求周长的最大值．
17.本小题分
如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉图穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图单位：，加工中不计损失
若钉身长度是钉帽高度的倍，求铆钉的表面积；
若每块钢板的厚度为，求钉身的长度结果精确到．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，分别是，中点，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求证：平面平面．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ判断的奇偶性并证明；
Ⅱ若，，求的最小值和最大值；
Ⅲ定义，设，若在内恰有三个不同的零点，求的取值集合．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..，
15..解：；
，，
，，
，
，．
，．
16..解：由正弦定理及，知，
因为，所以，即，
因为，所以．
由余弦定理知，，
所以，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以周长为，
故周长的最大值为．
17..解：由已知可得，铆钉为以为半径的半球与圆柱的组合体．
由钉身长度是钉帽高度的倍，可知圆柱的高为，圆柱底面半径为．
由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积．
半球的表面积为，圆柱的侧面积为，圆的面积．
所以，铆钉的表面积．
设钉身的长度为，，则钉身的体积．
由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为，底面圆半径为，钉帽是以半径的半球．
所以．
所以，解得，满足条件．
所以钉身的长度为．
18..Ⅰ连接，交于，连接，
四边形是矩形
为中点，又为中点
，
平面，平面，
平面；
Ⅱ，是的中点，
，
又，，
平面；
Ⅲ平面，平面，
，
，，四边形是矩形，是中点，
，
∽，
，
，
，
平面，
平面，
平面平面．
19..解：Ⅰ是偶函数．
证明：因为的定义域为，
且，
是偶函数；
Ⅱ当时，则，
又，
，
当时，，
当时，；
Ⅲ因为，都是偶函数．
所以在上是偶函数，
因为恰有个零点，所以，
则有：或，
当时，即且时，
因为当，，
令，
因为，解得或，
所以恰有个零点，即满足条件；
当时，即且时，此时，
当时，只有个零点，且，
所以恰有个零点等价于恰有个零点，
所以，解得，此时有个零点符合要求，
当时，只有一个零点，有个零点符合要求，
当时，解得或，
令，解得或舍去，
所以的根为，要使恰有个零点，则，
综上：
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