2023-2024学年江西省多校联考高一（下）质检数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年江西省多校联考高一（下）质检数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，，，则的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知复数，若为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知角满足，则( )
A. B. C. D.
6.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.若，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是三个非零向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A. 复数的共轭复数为
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 复数是方程的解
D. 若复数满足，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
13.周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为，大正方形的面积为，则 ______．
14.如图，在梯形中，，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，，三点共线，求的值；
若四边形为矩形，求的值．
16.本小题分
已知，且．
求和的值；
若，且，求的值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，且．
证明：；
若，求．
18.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
若，且，求的值；
若函数在区间上恰有个不同的零点，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在矩形中，，点是线段的中点，点，，分别为线段，，上的一点，且，点是线段的中点．
求的值；
若，求线段的长度；
设，求的取值范围．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：因为，
所以，．
又，，三点共线，所以，所以，
解得．
由，
，
若四边形为矩形，则即，
解得．
由，得
解得所以．
16..解：因为，又，
解得或，
又，所以，
所以．
所以
；
因为，且，所以，
所以，
由，得，所以．
17..证明：因为的面积，又．
所以，
又，所以所以．
所以，又，所以．
解：因为所以，
所以所以，
所以．
18..解：
，
所以的最小正周期．
令，解得，
所以的单调递增区间为；
由题意知，
所以，
又，
则，
故；
，
所以，
当时，，
根据正弦函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，
要使函数在区间上恰有个不同的零点，
令，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根均在内，
根据二次方程的实根分布可知，，解得，
即的取值范围是．
19..解：因为在矩形中，，且点是线段的中点，
所以，
又因为，所以，
所以
；
因为在矩形中，，
所以，因为为锐角，所以；
在中，，
由正弦定理：，得，
在中，，，则，
由正弦定理：，得，
在中，，
由余弦定理有：，
所以．
在中，，
由正弦定理，得．
在中，，则，
由正弦定理，得．
因为，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围为．
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