2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）段考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）段考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.设，，且，则的( )
A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为
4.函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设随机变量，函数没有零点的概率是，则( )
附：随机变量服从正态分布，，．
A. B. C. D.
6.若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
7.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为的泊松分布．若每周销售件该商品与每周销售件该商品的概率相等，则两周共销售件该商品的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是，
C. 已知幂函数的图象过点，则
D. 已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
10.如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点．下列选项中正确的有( )
A. B.
C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直
11.在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则( )
A.
B.
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某保险公司把被保险人分为类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”统计资料表明，这类人在一年内发生事故的概率依次为，和如果“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则一个被保险人在一年内出事故的概率是______．
13.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
函数的定义域为，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数．
若函数是奇函数，求与的值；
在的条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集．
17.本小题分
如图，三棱柱中，，，，，．
求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
18.本小题分
在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节每次信号只发送和中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误已知发送信号时，接收为和的概率分别为，；发送信号时，接收为和的概率分别为，假设每次信号的传输相互独立．
当连续三次发送信号均为时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
当连续四次发送信号均为时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，，，，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量中任意相邻的数字均不相同时，令，若，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数，．
若函数依次在，，处取到极值．
求的取值范围；
若，求的值．
若存在实数，使对任意的，不等式恒成立．求正整数的最大值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：由得，
得，即，
若是的必要非充分条件，则，
则，解得，即实数的取值范围是．
因为函数的定义域为，
若，则在内有有解，
所以在内有有解，
令，，
则，
根据二次函数的性质可知，当或时，函数取得最小值，
故，
所以的范围为．
16..解：由函数是奇函数，得，
即对定义域内任意实数都成立，
整理得对定义域内任意实数都成立，
，
解得或，
经检验符合题意．
由可知，
易判断为上的减函数，
证明：在定义域上单调递增且，
在定义域上单调递减，且，
在上单调递减．
由，不等式，
等价为，
由在上的减函数可得．
另解：由得，即，
解得，．
即不等式的解集为．
17..证明：因为，，，由余弦定理得，
所以，所以，又因为，
又因为，所以平面．
解：由已知和得，、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，令，，
，令，，
直线与平面所成角的正弦值为，解得，
，，
所以二面角的余弦值为．
18..解：由题可知，
因为，所以当时，的最小值为；
由题设知，的可能取值为，，，，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为或，
所以，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为，或，或，或，或，或，或，或，
所以，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为，或，或，或，
所以，
当时，相应四次接收到的信号数字依次为，或，
所以，
所以的分布列为：
期望．
19..解：
有个极值点，
有个根，，．
令，，
在，上递增，上递减．
有个零点．
，，是的三个极值点，
或舍
不等式，即，即．
转化为存在实数，使对任意的，
不等式恒成立．
即不等式在上恒成立．
即不等式在上恒成立．
设，则．
设，则，因为，有．
故在区间上是减函数．
又，，
故存在，使得．
当时，有，当时，有．
从而在区间上递增，在区间上递减．
又，，，，，．
所以当时，恒有；
当时，恒有；
故使命题成立的正整数的最大值为．
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