2023-2024学年江苏省苏州市吴县中学教育集团高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年江苏省苏州市吴县中学教育集团高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为( )
A. B. C. D.
3.已知展开式中项的系数为，其中，则此二项式展开式中各项系数之和是( )
A. B. 或 C. D. 或
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.某工厂为研究某种产品的产量单位：吨与所需某种原料单位：吨的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表：
吨
吨
根据表格中的数据，得出关于的经验回归方程为据此计算出样本点处的残差为，则表格中的值为( )
A. B. C. D.
6.某校有名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生名，女生名现随机选取名学生作“我爱数学”主题演讲假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则( )
A. B. C. D.
7.已知离散型随机变量的分布列如下表：
则( )
A. B. C. D.
8.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量，则方差
B. 若随机变量，，则
C. 从名男生，名女生中选取人，则其中至少有一名女生的概率为
D. 已知随机变量的分布列为，则
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.若随机变量，记为恰好发生次的概率，下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 当或时，取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩近似服从正态分布，已知成绩在分以上的学生有人，如果成绩大于分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有______人
参考数据：，
13.已知，则的最小值是______．
14.若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：
未患病 患病 合计
喝酒
不喝酒
合计
根据数据，能否有把握认为，患病与喝酒有关？
从喝酒的人中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中抽取人，求至少有人患病的概率．
参考公式：其中．
16.本小题分
回答下面两题：
已知函数，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式，．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
当时，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
18.本小题分
为帮助乡材脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，经勘测得到该金属含量单位：与样本对原点的距离单位：的数据，并作了初步处理，得到下面的一些统计量的值表中
利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为该金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？
根据的结果解决下列问题：
建立关于的回归方程；
样本对原点的距离时，该金属含量的预报值是多少？
已知该金属在距离原点时的平均开采成本单位：元与的关系为，根据的结论说明，为何值时，开采成本最大？
附：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法公式分别为．
19.本小题分
已知函数．
判断的单调性，并写出单调区间；
若存在两个零点，，求的取值范围，并证明．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：由列联表中的数据可知，，
有把握认为，患病与喝酒有关．
由题意知：所抽取的人中，未患病的有人，患病的有人，
记“至少有一人患病”为事件，
则．
16..解：由题意可知，，
解得：；
当时，，得，
当时，，
的两个根分别为，，，
此时不等式的解集为，
当时，，即，此时不等式的解集为，
当，得，此时不等式的解集为，
当，即时，
此时不等式的解集为，
综上可知，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
17..解：当时，，则，
当时，，当或时，，
函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，
，；
依题意，在上恒成立，
当，即时，恒成立，符合题意；
当，即时，由于对称轴，故只需，即即可；
综上，实数的取值范围为．
18..解：的线性相关系数，
的线性相关系数，
，
更适宜作为该金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型；
依题意，可得，
，
，
关于的回归方程为；
当时，金属含量的预报值为；
，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，
故时，开采成本最大．
19..解：因为，，所以，
当时，，即的单调递增区间为，无递减区间；
当时，令，可解得，令，可解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
，
若存在两个零点，，由可知，，的单调递减区间为，单调递增区间为，十．
，解得，注意此时
当时，，此时，则在和上分别存在一个零点；
当时，，
设，，则，，
所以在单调递增，则，．
所以在单调递减，则，即，
此时，则在 和分别存在一个零点；
综上，若有两个零点，则的取值范围为．
下面证明，
不妨设，由 得，
，
两式相减得，，
两式相加得，，
要证，只需证，
即证，
即证，
令，，
，则在上单调递增，
所以，
又因为，所以，得证．
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