2023-2024学年广东省湛江市雷州八中、雷州二中、雷州三中高二（下）段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省湛江市雷州八中、雷州二中、雷州三中高二（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列中，，且，则为( )
A. B. C. D.
2.下列结论中错误的一项是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.某班有名班干部，其中名男生，名女生从中选出人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.在四面体中，为棱的中点，则( )
A. B. C. D.
7.现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在数列中，，且，则( )
A. B. 为等比数列
C. D. 为等差数列
10.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法
B. 名男生和名女生站成一排，则名男生相邻的排法共有种
C. 名男生和名女生站成一排，则名男生互不相邻的排法共有种
D. 名男生和名女生站成一排，名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种
11.已知函数，是自然对数的底数，则( )
A. 的最大值为
B.
C. 若，则
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，则 ______．
13.曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为______．
14.我国古代数学著作九章算术中研究过一种叫“鳖臑”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，．
求，的值；
求的值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆过，两点且圆心在直线上．
求圆的方程；
已知直线：被圆截得的弦长为，求实数的值．
18.本小题分
如图，在正四棱锥中，与交于点，，是棱上的两个三等分点，与交于点．
求证：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
若是的极值点，求函数的单调性；
在的条件下，当时，求的最值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：，，．
由余弦定理，得
，
，
；
在中，
，
，
由正弦定理有：，
，
．
16..解：当时，，解得，
当时，，
则，即，
又，则，
，故是以为首项，以为公比的等比数列，
数列的通项公式为；
由知，所以，
所以，
则，
两式相减得，，
整理得，，
所以，
所以．
17..解：设，半径为，
所以圆的方程为，
所以，
解得．
所以圆的方程为．
圆心到直线：的距离，
由垂径定理得，
解得或．
18..解：证明：，是棱上的两个三等分点，
即，
由题知四边形是正方形，
所以，所以．
又平面，平面，所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，所以是的中位线，即是的中点，
因为，所以，，，
则，，，，
．
设平面的法向量为，则，
令，则，，得．
因为，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19..解：
因为是的极值点，
所以，可得．
所以，．
因为在上单调递增，且时，，
所以时，，，单调递减；
时，，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
在的条件下，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递减，在上单调递增．
，，，
，
所以．
所以，当时，求的最小值为，最大值为．
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