人教版数学九年级上暑假预习课第六讲 二次函数（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第六讲 二次函数
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1 二次函数定义
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）
名师点拨
A.注意未知数最高次幂为2； B.二次项系数不等于零； C. 先化简，再判断是否为二次函数。
典例剖析1
例1-1．下列函数是y关于x的二次函数的是（　　）
A. y=2x B. y=-x
C. y=x3-2x2-x D. y=-3x2-4
例1-2．已知y关于x的二次函数解析式为y=（m-2）x|m|，则m=（　　）
A. ±2 B. 1 C. -2 D. ±1
针对训练1
1．若y关于x的函数y=（m-1）x|m+1|-4是二次函数，则m的值是 _____．
2．观察：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④y=x3-2x；⑤；⑥y=（x+1）2-x2．这六个式子中，二次函数有 _____．（只填序号）
能力提升1
1．函数是关于x的二次函数，求m的值．
2．一个二次函数y=（k-1）+2x-1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
知识点2 二次函数 y=ax 的图像的性质
y=ax 的图像的性质
名师点拨
二次函数性质从形状、位置、增减性三个方面研究，二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
典例剖析2
例2-1．在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　）
①x1 x2=-4．
②y1+y2=4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，-1），则AN⊥BN．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2-2．下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
针对训练2
1．如果某抛物线开口方向与抛物线y=x2的开口方向相同，那么该抛物线有最 _____点．（填“高”或“低”）
2．已知抛物线y=3x2（a≠0），当x≤0时，y随x的增大而 _____．
能力提升2
1.已知点，在抛物线上，如果，那么　 　．（填“＞”、“＜”或“＝”）
2.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（　　）
A． B．
C． D．
知识点3 y=ax +k的图像的性质
名师点拨
y=ax （a≠0）与 y=ax +k（a≠0）之间的关系
二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。a0时，离对称轴越远函数值越小。
典例剖析3
例3-1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
例3-2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是（　　）
A. B.
C. D.
例3-3．对于二次函数y=3x2+2，下列说法错误的是（　　）
A. 最小值为2
B. 图象与y轴没有公共点
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 其图象的对称轴是y轴
针对训练3
1．已知二次函数y=ax2+5，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，且y1=y2，则x=x1+x2时的函数值是（　　）
A. 5 B. 0 C. -5 D. 3
2．将y=-2x2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 _____．
3.已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
能力提升3
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= x2于B，C两点，则BC的长为　 　 。
2.已知 是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
知识点4 二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
名师点拨
y=ax （a≠0）与 y=a(x-h） +c（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
二次函数y=a（x-p）2 对称轴是直线x=p,二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
典例剖析4
例4-1．已知抛物线y=-（x+1）2上的两点A（-4.4，y1）和B（-3.3，y2），那么下列结论一定成立的是（　　）
A. 0＜y2＜y1 B. 0＜y1＜y2 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0
例4-2．函数y=x2-6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 3 D. -1或3
例4-3．抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（　　）
A. （0，-5） B. （-5，0） C. （0，5） D. （5，0）
针对训练4
1．已知抛物线y=x2-ax+a-1的顶点恰好在x轴上，则a=_____．
2.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（1，0） D．当时，y随x的增大而减小
3.画出二次函数y＝（x﹣2）2的图象，结合图象直接写出y＞0时，
自变量x的取值范围是　 　；
x … …
y＝（x﹣2）2 … …
4.同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）2与一次函数y＝a+ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
能力提升4
1.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
2．小爱同学学习二次函数后，对函数y=-（|x|-1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：_____；
②方程-（|x|-1）2=-1的解为：_____；
③若方程-（|x|-1）2=a有四个实数根，则a的取值范围是 _____．
（2）延伸思考：
将函数y=-（|x|-1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-（|x-2|-1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
知识点5 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
名师点拨
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
典例剖析5
例5-1．二次函数y=（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
例5-2．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（　　）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
例5-3．已知函数y=x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y=x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：_____；
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
针对训练5
1．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
．
2．二次函数y=2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y=2x2 y=2（x-3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（-1，2） （2，8）
（-2，8） （1，14）
（1）m的值为 _____；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y=-x2+5与y=x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1_____x2．（填不等号）
3．如图，以P为顶点的抛物线y=（x-m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y=-2x+3交y轴于点B．
（1）用关于m的代数式表示k.
（2）若点A在B的下方，且AB=2，求该抛物线的函数表达式．
能力提升5
1.二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
2.在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为 　 　．
人教版数学九年级上暑假预习课
第六讲 二次函数（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1 二次函数定义
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）
名师点拨
A.注意未知数最高次幂为2； B.二次项系数不等于零； C. 先化简，再判断是否为二次函数。
典例剖析1
例1-1．下列函数是y关于x的二次函数的是（　　）
A. y=2x B. y=-x
C. y=x3-2x2-x D. y=-3x2-4
【答案】D
【解析】一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a,b,c是常数且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可．
解：A．y=2x,是一次函数，故该选项不符合题意；
B． ，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C．y=x3-2x2-x,不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D．y=-3x2-4，是二次函数，故该选项符合题意．
故选：D．
例1-2．已知y关于x的二次函数解析式为y=（m-2）x|m|，则m=（　　）
A. ±2 B. 1 C. -2 D. ±1
【答案】C
【解析】根据形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），可得|m|=2且m-2≠0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
|m|=2且m-2≠0，
∴m=±2且m≠2，
∴m=-2，
故选：C．
针对训练1
1．若y关于x的函数y=（m-1）x|m+1|-4是二次函数，则m的值是 _____．
【答案】-3
【解析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
解：∵y=（m-1）x|m+1|-4是关于x的二次函数，
∴|m+1|=2，且m-1≠0，
解得：m=-3．
故答案为：-3．
2．观察：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④y=x3-2x；⑤；⑥y=（x+1）2-x2．这六个式子中，二次函数有 _____．（只填序号）
【答案】①②③
【解析】根据二次函数的定义可得答案．
解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；
故答案为：①②③．
能力提升1
1．函数是关于x的二次函数，求m的值．
【解析】利用二次函数定义进行解答即可．
解：由题意可知
解得：m=2．
2．一个二次函数y=（k-1）+2x-1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
【解析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．
解：（1）由题意得：k2-3k+4=2，且k-1≠0，
解得：k=2；
（2）把k=2代入y=（k-1）+2x-1得：y=x2+2x-1，
当x=0.5时，y=．
知识点2 二次函数 y=ax 的图像的性质
y=ax 的图像的性质
名师点拨
二次函数性质从形状、位置、增减性三个方面研究，二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
典例剖析2
例2-1．在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（　　）
①x1 x2=-4．
②y1+y2=4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，-1），则AN⊥BN．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
解：由题意得x1，x2满足方程x2-kx-1=0；y1，y2满足方程y2-（2+4k2）y+1=0．
依据根与系数的关系得，x1+x2=4k,x1 x2=-4，y1+y2=4k2+2，y1 y2=1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB===4（k2+1）．
∴当k=0时，AB最小值为4．
∴S△AOB=×1×AB=2．
∴③正确．
由题意，kAN=，kBN=，
∴kAN kBN= ===-k2-1．
∴当k=0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
例2-2．下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的图像和性质进而分析得出答案．
解：A、，，则的值随的值增大而增大，故此选项错误；
B、，，则的值随的值增大而减少，故此选项正确；
C、，，则的值随的值增大而增大，故此选项错误；
D、，，当时，的值随的值增大而减少，当时，的值随的值增大而增大，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
针对训练2
1．如果某抛物线开口方向与抛物线y=x2的开口方向相同，那么该抛物线有最 _____点．（填“高”或“低”）
【答案】低
【解析】由＞0可得抛物线开口向上，有最低点．
解：∵y=x2中＞0，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线有最低点．
故答案为：低．
2．已知抛物线y=3x2（a≠0），当x≤0时，y随x的增大而 _____．
【答案】减小
【解析】根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．
解：∵a=3＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴x=0，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
能力提升2
1.已知点，在抛物线上，如果，那么　 　．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
【点评】二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
2.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故答案为：C．
【点评】熟练掌握二次函数、一次函数性质是解题关键。
知识点3 y=ax +k的图像的性质
名师点拨
y=ax （a≠0）与 y=ax +k（a≠0）之间的关系
二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。a0时，离对称轴越远函数值越小。
典例剖析3
例3-1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
例3-2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
解：由y=x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y=x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴-k＞0，
∴一次函数y=-kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
例3-3．对于二次函数y=3x2+2，下列说法错误的是（　　）
A. 最小值为2
B. 图象与y轴没有公共点
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 其图象的对称轴是y轴
【答案】B
【解析】利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．
解：A、开口向上有最小值2，正确；
B、图象与y轴交于点（0，2），错误；
对称轴为y轴，开口向上，所以当x＜0时，y随着x的增大而减小，C、D正确，
故选：B．
针对训练3
1．已知二次函数y=ax2+5，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，且y1=y2，则x=x1+x2时的函数值是（　　）
A. 5 B. 0 C. -5 D. 3
【答案】A
【解析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为y轴，由y1=y2可得x1+x2=0，进而求解．
解：由题意可得（x1，y1），（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，
∵y=ax2+5，
∴抛物线对称轴为y轴，
∴x1，x2互为相反数，
∴x1+x2=0，
将x=0代入y=ax2+5得y=5，
故选：A．
2．将y=-2x2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 _____．
【答案】（0，3）
【解析】按照“上加下减”的规律得到平移后的函数解析式，即可得出新的二次函数图象的顶点的坐标．
解：将y=-2x2的图象向上平移3个单位得到y=-2x2+3．
故新函数的顶点坐标是 （0，3）．
故答案为：（0，3）．
3.已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
【答案】（1）解：∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，
∴13＝9a+b，
∵当x＝﹣2时，y＝8，
∴8＝4a+b，
，
解得： ；
（2）解：∵a＝1，b＝4，
∴函数解析式为y＝x2+4，
∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，
∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，
∴n＝±4，
则m＝40，n＝±4．
【点评】待定系数法确定二次函数解析式，由二次函数性质确定点的坐标。
能力提升3
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= x2于B，C两点，则BC的长为　 　 。
【答案】6
【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），
当y=3时，x2=3，
解得x=±3，
∴ B点坐标为（-3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC=3-（-3）=6.
故答案为：6
【点评】熟练掌握二次函数性质是解题关键。
2.已知 是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）m=-3，m=2 （2）m=2 （3）m=-3
【解答】（1）因为函数为二次函数
∴m+2≠0，m2+m-4=2
∴m≠-2，m2+m-6=0
∴m≠-2，（m+3）（m-2）=0
∴m=-3，m=2
（2）当m=2时，函数为y=4x2+1，有最低点，最低点为（0,1），且x≥0时，y随x的增大而增大
（3）m=-3时，函数为-x2+1，有最大值，最大值为1，x≥0时，y随x的增大而减小.
【点评】熟练掌握二次函数性质是解题关键。
知识点4 二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
名师点拨
y=ax （a≠0）与 y=a(x-h） +c（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
二次函数y=a（x-p）2 对称轴是直线x=p,二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
典例剖析4
例4-1．已知抛物线y=-（x+1）2上的两点A（-4.4，y1）和B（-3.3，y2），那么下列结论一定成立的是（　　）
A. 0＜y2＜y1 B. 0＜y1＜y2 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0
【答案】C
【解析】由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点为（-1，0），然后根据A、B到对称轴的距离的大小即可判断．
解：∵y=-（x+1）2，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点为（-1，0），
∵A（-4.4，y1）和B（-3.3，y2），
∴|-1+4.4|＞|-1+3.3|，
∴y1＜y2＜0，
故选：C．
例4-2．函数y=x2-6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 3 D. -1或3
【答案】C
【解析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
解：∵y=x2-6x+9=（x-3）2，
∴向左平移m个单位后的函数解析式为y=（x-3+m）2，
∵函数图象经过坐标原点，
∴（0-3+m）2=0，
解得m=3．
故选：C．
例4-3．抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（　　）
A. （0，-5） B. （-5，0） C. （0，5） D. （5，0）
【答案】D
【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解．
解：抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（5，0）．
故选：D．
针对训练4
1．已知抛物线y=x2-ax+a-1的顶点恰好在x轴上，则a=_____．
【答案】2
【解析】求x2-ax+a-1=0的判别式为0即可．
解：x2-ax+a-1=0中判别式Δ=a2-4（a-1），
由题意得a2-4（a-1）=0，
解得a=2．
故答案为：2．
2.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为（1，0） D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】二次函数的二次项系数为－1，则图象的开口向下，其对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0），当x<1时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确；
故选：D
【点评】二次函数y=a（x-p）2 对称轴是直线x=p,二次函数的增减性以对称轴为界，由a决定，a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。a0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
3.画出二次函数y＝（x﹣2）2的图象，结合图象直接写出y＞0时，
自变量x的取值范围是　 　；
x … …
y＝（x﹣2）2 … …
【答案】，作图见解析
【解答】列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y＝（x﹣2）2 … 4 1 0 1 4 …
描点、连线，如图，
根据函数图象可知，当时，的取值范围为：故答案为：
【点评】熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。
4.同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）2与一次函数y＝a+ax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
B、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，故错误；
C、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
D、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，故正确；
故选：D．
【点评】熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解题的关键。
能力提升4
1.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）1，（4，0）．
【解析】
【详解】（1）有顶点就用顶点式求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可.
解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；
（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1.
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），
∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后结果坐标原点.
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标所得（4，0）.
【点评】利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键。
2．小爱同学学习二次函数后，对函数y=-（|x|-1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：_____；
②方程-（|x|-1）2=-1的解为：_____；
③若方程-（|x|-1）2=a有四个实数根，则a的取值范围是 _____．
（2）延伸思考：
将函数y=-（|x|-1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-（|x-2|-1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)函数图象关于y轴对称;(2)x=-2或x=0或x=2;(3)-1＜a＜0;
【解析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1=-（|x-2|-1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．
解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程-（|x|-1）2=-1的解为：x=-2或x=0或x=2；
③若方程-（|x|-1）2=a有四个实数根，则a的取值范围是-1＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x=-2或x=0或x=2；-1＜a＜0．
（2）将函数y=-（|x|-1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1=-（|x-2|-1）2+3的图象，
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．
知识点5 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
名师点拨
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
典例剖析5
例5-1．二次函数y=（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
例5-2．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（　　）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】由二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜-1，然后根据m的取值判定m+1，m-1的取值即可．
解：∵二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
例5-3．已知函数y=x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y=x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：_____；
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
【答案】抛物线关于点（2，1）成中心对称
【解析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；
（3）根据图象求整点坐标即可．
解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：，
解得，
∴y=x2+bx+c（x≥2）的解析式为y=x2-6x+9；
（2）如图所示：
①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，
故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；
②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；
（3）如图：
由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，0），（1，1）．
针对训练5
1．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=m2-1=0，得出：m2-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-1=x2-2x或y=（x+1）2-1=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=（x-m）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，-1）．
2．二次函数y=2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y=2x2 y=2（x-3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（-1，2） （2，8）
（-2，8） （1，14）
（1）m的值为 _____；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y=-x2+5与y=x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1_____x2．（填不等号）
【答案】(1)6;(2)＜或＞;
【解析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标；
（2）利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；
（3）结合二次函数图象的性质分析求解．
解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），
∴m=6，
故答案为：6；
（2）平移后的函数图象如图：
联立方程组，
解得，
∴y=-x2+5与y=x2的交点坐标为（，），（-，）；
（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，
当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，
当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，
故答案为：＜或＞．
3．如图，以P为顶点的抛物线y=（x-m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y=-2x+3交y轴于点B．
（1）用关于m的代数式表示k.
（2）若点A在B的下方，且AB=2，求该抛物线的函数表达式．
【解析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点即可得到答案；
（2）利用待定系数法进行解答可得问题的答案．
解：（1）∵抛物线y=（x-m）2+k,
∴P（m,k），
∵经过点P的直线y=-2x+3交y轴于点B，
∴k=-2m+3．
（2）∵y=-2x+3交y轴于点B，
∴y=-2×0+3，
∴B（0，3），
∵AB=2，
∴A（0，1），
把（0，1）代入y=（x-m）2+k得，
1=m2+k,
∵k=-2m+3，
∴1=m2-2m+3，
∴m=2，
代入k=-2m+3得，k=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=（x-2）2-1．
能力提升5
1.二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+k的对称轴为直线x＝3，
∴x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＞y2，
∵x＝2与x＝4时的函数值相等，3＜4，
∴y2＞y3，
∵x＝1与x＝5时的函数值相等，
∴y1＞y3，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】熟练掌握二次函数性质是解题关键。
2.在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为 　 　．
【答案】．
【解答】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
∴当xm＜xm+1＜1时，y1＞y2，不符合题意；
当xm＜1＜xm+1时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标不可能为3，不符合题意；
当1＜xm＜xm+1时，y随x增大而增大，
∴当x＝m+1时，函数值y＝3，
即3＝（m+1﹣1）2﹣2，
解得，
∵m＞1，
∴，
故答案为：．
【点评】熟练掌握二次函数性质是解题关键。
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