二分法
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课件17张PPT。3.1.2
用二分法求方程的近似解1、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根2、 问1、求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的值 那如何计算出这个零点的值呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.那如何缩区间范围呢？根据零点存在性定理可知，函数在（2，3）上有零点 通过用“取中点”逐步缩小零点所在的范围.
1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；
2．用计算器计算f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内；一般地，我们把 称为区间（a，b）的中点. 3．再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)≈0.512，因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.
4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出 精确度 ：若给定一个 ，若利用二分法所求得的零点区间是（a,b),若 ，那么我们可以说在区间（a,b)内任意一个值都是零点 的满足精确度
的近似值。为方便，这里统一取区间端点a或b作为零点的近似值例、求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的值（精确度到0.1）那么我们就可以说2.5625或者2.5说成是零点的近似值二分法 ：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.体现了数学的逼近思想.二分法的计算步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2.求区间(a,b)的中点c；
3.计算f(c)； (1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）
4.判断：区间长度是否达到精确度ε？
即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2—4.课堂例题例1. 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表 根据所列的对应值表和图象可知，f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器可算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5).
再取(1,1.5)的中点x2=1.25，用计算器可算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5). 同理可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，
此时，区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4.
所以，原方程精确到0.1的近似解为1.4. 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求
其零点的是（ ）CB已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度为0.01）的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6B课堂小结 1．二分法的理论依据是什么？
二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0，那么一定存在c∈(a,b)，使得f(c)=0.2.二分法求零点近似值的步骤运用的数学思想：函数方程思想；数形结合思想；逼近思想
用二分法求方程的近似解1、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根2、 问1、求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的值 那如何计算出这个零点的值呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.那如何缩区间范围呢？根据零点存在性定理可知，函数在（2，3）上有零点 通过用“取中点”逐步缩小零点所在的范围.
1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；
2．用计算器计算f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内；一般地，我们把 称为区间（a，b）的中点. 3．再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)≈0.512，因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.
4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出 精确度 ：若给定一个 ，若利用二分法所求得的零点区间是（a,b),若 ，那么我们可以说在区间（a,b)内任意一个值都是零点 的满足精确度
的近似值。为方便，这里统一取区间端点a或b作为零点的近似值例、求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的值（精确度到0.1）那么我们就可以说2.5625或者2.5说成是零点的近似值二分法 ：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.体现了数学的逼近思想.二分法的计算步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2.求区间(a,b)的中点c；
3.计算f(c)； (1)若f(c)=0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）
4.判断：区间长度是否达到精确度ε？
即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2—4.课堂例题例1. 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器或计算机先作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表 根据所列的对应值表和图象可知，f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器可算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5).
再取(1,1.5)的中点x2=1.25，用计算器可算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5). 同理可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，
此时，区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4.
所以，原方程精确到0.1的近似解为1.4. 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求
其零点的是（ ）CB已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度为0.01）的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6B课堂小结 1．二分法的理论依据是什么？
二分法的理论依据是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0，那么一定存在c∈(a,b)，使得f(c)=0.2.二分法求零点近似值的步骤运用的数学思想：函数方程思想；数形结合思想；逼近思想