平面向量数量积的物理背景及其含义
教学设计
（一）教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，
并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
（二）重点难点
本节课的教学重点是平面向量数量积的定义和 性质
教学难点是平面向量数量积性质的探究。
（三）课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：
创设问题情景????????????????????? 抽象概念 应用概念?????????? 探究几何意义 应用几何意义?????????? 探究性质???????????????????????应用性质??????????????????????????????? 例题与练习 小结提升? 检测反馈
课前预习问题导学提纲
看课本P107到P109
1.物理学中的功的定义是怎样的，它是标量还是矢量？
2.两个向量的夹角是如何规定的？范围是什么？
3.向量的数量积是如何定义的？如何表示？
有哪些性质？
4..向量在向量方向上的正射影与数量应如何理解？
5.两向量的数量积与实数乘法有何异同?
6. 平面向量数量积有哪些应用？
课前：多媒体课件打开展示，学案发给学生。预习学案检查，生生互查。
上课：黑板板书题目（向量数量积的物理背景与定义）
课件打开展示学习目标、学习重点、难点。（1分钟）
1、问题导入：创设情境
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
课件
（1）力F所做的功W=???? 。 （2）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是? 量，F（力）是?? 量，S（位移）是?? 量，α是???????????? 。
（添加到上面的板书）（课件展示此公式）
2、抽象概念、类比推理：（5分钟）
问题 ：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（学生讨论热烈）
学生讨论：如果把力和位移抽象地看成两个“向量”，把力与位移的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量得到一个数量（即）的运算，这里是向量的夹角。（类比思想，本节课学习目标的过程与方法之一）
板书：留空（三、向量的数量积：）
（板书）= 老师边写学生边共答（课件展示此公式）
老师强调这是本节课学习重点
老师叙述：引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：
学生甲回答：已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即=。θ为两个向量的夹角。 （课件展示上述内容）（学生识记）
夹角问题 （4分钟）
板书：二、夹角 < ,>
课件展示
（老师画，学生动手画图，自己任画两个向量作图找夹角）
学生总结找夹角的步骤：1、平移其中一个向量，使起点相同
2、找到它们形成的0°—180°的夹角。
展示课件
强调：特别地，当向量与的夹角分别等于和时，两个向量分别是同向、反向和垂直。向量与垂直，记作。
教师：（打开几何画板课件展示夹角的动态变化，固定，绕o 点旋转）
学生：看了很感兴趣，课堂气氛活跃。学生通过视觉直观感受，加深了夹角范围的认识，加强数形结合的联系，体验到数形结合
师：板书< ,>∈[0,∏]提示，（这是本节课的学习目标之二。）
学生共同叙述范围
课件展示下面一页：
加强练习：课件展示下面练习：（2分钟）
学生：小组合作找夹角，一组代表上黑板展示画出夹角，写出大小，老师学生一块点评。
3、回扣数量积：（3分钟）
强调1、“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”
2、两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的。
3注意公式变形，知三求一.
4、规 定 注意右端是实数0
师提问：考虑数量积的符号取决于什么？
学生1抢答：由的符号决定。 学生2抢答： 由θ的大小决定
提问学生，教师点拨
（打开几何画板，动态演示夹角变化，数量积的数值由正变负。）
学生看了很感兴趣，议论纷纷，唏嘘惊奇不已。加深数量积是一个实数的认识，使学生通过视觉直观加强数形结合的联系。
同学们填写下表：
角的范围
0°≤<90°
=90°
0°<≤180°
·的符号
3、应用概念、小试牛刀：
学案上
判断下列说法是否正确：
向量的数量积可以是任意实数。
若，则对任意向量，有。
若，则对任意非零向量，有。
如果＞0，那么与的夹角为锐角。
若，，则。
若，，则。
4、探究几何意义：（板书作图）（5分钟）
让学生画出钝角的情况下的射影图形，体验数形结合的思想
（板书）数量积 a · b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投正射影的数量 |的乘积.
学生叙述|a|cosθ的几何意义
5、应用几何意义
课本109页练习B1
6、合作探究性质：
1
2、或；长度公式
3 垂直条件
4当与同向时，，特别地
当与反向时，。共线条件
5、 夹角公式
（强调这是本节课的重点学习目标之二）板书以上性质，学生书写一遍。
7、应用性质
例3 已知向量与的夹角为，，分别在下列条件下求：
（1） ；（2）∥ ；（3）(直接应用) （
课件展示，学案纸上做）（四组代表黑板做，五组代表点评，教师及时作出评价）
做课本练习A 1、
变式：已知，，=3√3，求向量与的夹角
8、知识回顾：（课件展示）
9、小结：
1.理解平面向量的数量积的物理意义，了解几何意义
2.掌握平面向量的数量积的概念 *
3.掌握平面向量的数量积的性质 *
4.理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别；
5.会用数量积的定义及性质解决向量的夹角、长度、垂直等问题。*
（课件展示，学案纸上做）
课堂检测（5分钟）
10、课后作业：总结归纳：
数量积与数乘向量积的本质区别
作业本：练习B组1、2 非常学案，活页
（四）板书设计
一、? 数量积的概念????????????二、数量积的性质? ?三、应用与提高
1、物理意义：
2、? 概念：???????????????????????????????????????例1：
3、? 概念强调 （1）记法??? ???????????????????????例2：
（2）“规定”?? 例3：
4、几何意义：
?
?
（五）????????课件制作，见课件
平面向量数量积的物理背景及其含义
课标分析
《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条：
（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的课堂学习目标定为：
知识与技能：
（1）学生能够通过平移找出两个向量的夹角，掌握夹角的范围。
（2）学生了解平面向量数量积的物理背景，理解平面向量数量积的定义及其物理意义，能求出两个向量的数量积。知道夹角的大小决定非零向量数量积的符号，通过用数量积解释物理知识，进一步加深对数量积的定义的理解
（3）体会平面向量的数量积与向量的投影的关系，学生能够学会求一个向量在另一个向量方向上的正射影的数量，运用几何直观理解定义的实质，揭示其几何意义。
（4）学生能够掌握数量积的五条重要性质，学生能通过公式变形得到夹角公式，能运用数量积解决两个向量的夹角问题，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．学会使用数量积求向量的长度。
过程与方法：
通过与向量的线性运算的比较，体会类比的数学思想和方法。
通过向量数量积的几何图形及解释，体会数形结合的思想方法
通过小组合作，讨论交流，比较归纳，提高接受新事物能力。
情感态度价值观：
通过物理中“功”等事例，提高分析事物间相互联系的能力。
根据平面向量数量积物理背景及平面向量数量积的物理意义，培养学科间相互渗透的学习意识。培养观察，抽象概括，互相协作能力，激发学生的兴趣和应用意识。进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
学习目标重点：平面向量数量积的定义及性质
学习目标难点：对平面向量数量积的定义及性质的理解和应用
教材分析
（一）地位与作用
向量是近代数学中非常重要的数学概念之一，它是联系几何、代数与三角函数的一个桥梁，不仅其本身有着丰富的内容，更由于它在数学、物理等学科及其他生产、生活领域中的广泛应用，从而在高中数学中占据着举足轻重的地位。
平面向量数量积是继向量的加、 减法，实数与向量的乘积等线性运算之后又一新的运算。平面向量数量积的物理背景及其含义，包括数量积的定义、 几何意义、 性质及运算律。是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用。在数学、物理等学科中应用十分广泛。
（二）内容分析
本节课的主要学习内容是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
教材在给出向量数量积的概念后，介绍了向量投影的定义，我们探究它的几何意义，为研究性质和运算律提供形的支持。本节教材共安排了2道例题，求正射影的数量和求数量积的例题，我根据学生实际选择了其中的4道和一道变式，并对例3和例4增加了题后反思。例3是数量积的定义的综合应用，例4是性质的应用，教学时，我重点从对定义的分析和定义式、性质的规范书写两个方面加强示范，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。
学情分析
1、学习任务分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。
从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。
2、学情分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，学习过任意角的三角函数和物理学中的力做功知识，应该能解决简单的物理问题。 所以我主要采用从物理知识出发引导学生，激发学生学习的兴趣与热情，让学生自主探究逐步得出数学上的重要结论。
平面向量数量积的物理背景及其含义
课后反思
一、反思教学理念：
新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，应该本着以学生为主体的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计习题上,也是先让学生审题、独立思考、合作探究解法,然后展示，教师在其中只进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,拓展思路,通过训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本设计的主旨思想是把本节的学习过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.
二、反思教学过程
一）引课：因为前面学生已经学习了向量的线性运算，所以今天学习向量的数量积学生不会感到突然，因而开门见山的引课方式是比较好的；
二）平面向量的数量积的概念的探究过程，通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，学生很容易接受。引出向量的夹角也显得顺理成章。在这里设计找夹角的练习，使学生感觉很形象直观。
三) 通过数量积的几何意义的探究，对定义加深形象直观的理解，画抽象为形象。这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量正射影的关系，同时也更符合知识的连贯性，为后面的性质运算律的证明理解提供形象的支撑。
四）数量积的重要性质，通过学生合作探究自己推导得出结论，印象非常深刻，有利于更好的理解定义，把握其实质。我还补充了合作探究、课堂练习、及课后作业，针对性较强。
五）设计检测题从定义与性质方面进行检查，及时查漏补缺，巩固知识，达成目标。
观评记录
课题：平面向量数量积的物理背景及其含义
主讲人：临朐一中 李爱苓
时间：2015年3月23日星期一
一、 自评
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
学生通过合作探究自己推导得出数量积的重要性质结论，印象非常深刻，有利于更好的理解定义，把握其实质。我还补充了课堂练习及课堂检测及课后作业，针对性较强。让学生充分发挥自己的想象力，大胆说出自己的想法，我只是做了必要的启发和引导，学生表现不错。上课前根据学生的认知特点，给了学生充分的展示空间和时间，事实证明这样的调整比较到位。在学生的思维处于兴奋状态时，千万不要扼杀他们的兴趣。我的想法是，学习数学不一定要做多少道题，而是要在做题和思考的过程中不断优化自己的思维品质，提升自己的解题能力，丰富自己的解题经验。
二、 评课
维度一：课程
教学观察人：连瑞成
观察内容：课程中的课程目标与内容
观察总结：
本节课的教学目标为：使学生理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质。通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探求新知识以及合作交流的学习品质。
李老师从启发学生从物理方面解释，从数学方面证明。让学生更好地体会各学科之间是有联系的，密不可分的。 同时培养学生的探究能力。 学生可以体会到不同的运算其运算律不尽相同。这有助于培养学生思考问题认真严谨的学习态度。 主动探究式的学习，全面培养学生综合运用所学知识的能力,收集和处理信息的能力,分析和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作能力。
李老师 在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，增加例题让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学做。
内容的展示上：教师紧扣定义，按照一切从实际出发的原则，通过对基本性质的推导，注重了学生对基本概念学习的良好习惯。教师对问题进行了归纳，分为4个例题，由易到难，减轻了学生学习的负担，符合学生认知层次，体现了一切从学生实际出发的教学原则。同时，教师在教学过程中也很好地展示了因材施教的教学原则但是在教学过程中，为了让学生能充分地展示学生的思维形成过程与思维的多样性，教学效果好。
课堂观察记录人：秦学
指标1：方法
1、 安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，
2、 通过例题4使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。
3、数量积的性质是通过学生合作探究得出，这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由一般到特殊的思维品质。
鼓励学生自主探索、自主学习 教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径
4教学方法：本节课教学用了启发式、发现法、探究式等方法，基本达到了预设的结果。依据是本节课首先是由图形进一步启发学生研究几何意义，让学生从图形中发现结论，接着在定义采用探究式，引导学生一边观察，一边同伴合作。
本节课的设计注重了数形结合、化归思想、分类讨论的思想
指标2：资源
本节课预设了多媒体课件及相关练习题。
预设多媒体的出发点在于：多媒体的应用不仅节约时间，容量大，更主要的在于能够通过多媒体的动态演示，使学生容易发现图形中蕴含的更多内容，从而比较容易总结接受新定义及几何意义，另一方面，也能够提高学生学习的兴趣和学习积极性。相关练习的设计从易到难，有梯度，有层次，不仅能够检验学生的认知情况，也能为学有余力的学生提供了学习的方向，效果好。
效果分析
问题设计效果：
问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。
问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫
过程设计效果
1、通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，学生很容易接受。引出向量的夹角也显得顺理成章。在这里设计找夹角的练习，使学生感觉很形象直观。对数量积的定义加深理解，这个量的大小范围定位
2、让学生经历数学知识的形成与应用过程 高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。
无论是数量积的引入，还是性质的发现，我都是引导学生在与实数运算类比的基础上，进行猜想归纳得出结论。始终把学生作为学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生的求知欲，发展了学生思维能力，培养了学生的创新精神。
3、整节课设计思路清晰，教学目标的明确，难点把握基本到位，细节上注意板书和多媒体的有机结合，课堂语言的科学性与艺术性的结合，
4、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。 通过检测，反馈信息，再次对本节课学生做出评价，以便查漏补缺。
教学方法效果：
本课教学应用多媒体教学和学案教学, 有效地增大堂课的课容量，减轻板书的工作量，有更多精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。??????
? 本课教学中以讲练结合为主，同时配合使用问题探究式，讨论交流展示、导思点拨等教学方法。极大的提高了学习的主动性和有效性。?课堂上还将采用多媒体展示、学生独立回答和集体回答、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然，在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛。
课件24张PPT。人教B版必修4
2.3.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质
3.能够运用定义解决相关问题．
一、向量数量积的物理背景 两个非零向量 和 ，作 ，
与 反向 与 同向则 叫做向量 和 的夹角．记作与 垂直，注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是共同起点的二、两个向量的夹角如图,等边三角形ABC中,求：
（1）AB与AC的夹角＿＿＿＿；
（2）AB与BC的夹角________．ABC练习D三、向量 与 的数量积的概念探究：注意：? 四、数量积的几何意义数量积的几何意义投影的作图:B1B1B课本练习B.1向量数量积的性质夹角公式：解：变式一夹角的范围性 质数量积重点知识回顾:几何意义：1.理解平面向量的数量积的物理意义、几何意义
2.掌握平面向量的数量积的概念
3.理解数量积的运算是不同于实数运算
的一种新的运算，注意它们的区别；
4.掌握平面向量的数量积的性质
课堂小结检测：是非零向量与1.已知：ba(√)(× )(× )(√)(√)的结果还是一个向量ba·)1((× )2、判断下列说法的正误，并说明理由错误 正确 正确 同向时，48
反向时，-48.8||6|3.|bababa·==求平行，与，，作业：课本
习题A:1.2.3
非常学案 活页谢谢同学们的合作！ 祝同学们学业有成！ 感谢各位专家指导！
