课题：探究两角和与差的正切 教学设计
课标分析
①理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
②能运用上述公式进行简单的恒等变换，，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用．
教材分析
本节课教学内容是高一（下）第四章4.6节第二课时（两角和与差的正切）。本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”,起着重要的承前启后的作用。
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。本课题是在学习完两角和与差的正弦、余弦公式之后，是三角恒等变形重要组成部分，?教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决?.
在学习两角和与差的正切公式中,要注意公式形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.
学情分析??
本节课面对的是高一年级学生，他们的数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式，两角和差的正余弦公式等相关知识，这为他们探究两角和的正弦公式建立了良好的知识基础。
本节课教学时可以通过对两角和与差的三角函数做一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题的解决的来龙去脉，揭示三角很等变形的本质，使学生更好地利用分析的方法寻求解决问题的思路，我认为这节课的学习尽可能充分的发生学生的主观能动性。
二、教学重点、难点
两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。
三、课时安排
1课时
四、教学流程
1、复习回顾：
可用多种形式让学生回顾(提问,默写,填空等形式)
2、讲解新课：
1 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用 ，表示出和吗？
如，它的值能否用，去计算？
（让学生带着问题展开后面的讨论）
探究一 公式推导及成立条件
利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，
对比分析公式,,,,
能否推导出和？
其中应该满足什么条件？
（让同学们带着问题展开后面的讨论）
交流、展示
当时，
若，即且时，分子分母同除以
得
根据角，的任意性，在上面的式子中，用((代替(，则有
由此推得两角和与差的正切公式。简记为“，”
其中应该满足什么条件？还依然是任意角吗？
由推导过程可以知道：
这样才能保证 ，及都有意义。
探究二 公式结构特征
分析观察公式，的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
3、 例题讲解
例1 已知，，（1）求
解: 因为，，
所以
(考察公式正用，关键根据公式的结构特征记准)
2、 计算
① ②
分析：①解决本题的关键在于将算式与正切联系起来，逆向应用公式Tα+β
②应能把分子1-tan75°看作为tan45°-tan75°,而把分母1+tan75°看作为1+tan45°·tan75°,于是原式便可化作，逆向应用公式，问题便迎刃而解。
解： ①原式=tan(23°+ tan22°) =tan45°=1
②原式=
=tan(45°-75°)
=tan(-30°)
=
（备用例题）
1、若，，求
解 因为，所以
2、设是一元二次方程的两个根,求
4、课堂小结
（1）两角和与差的正切公式推导及其运用。
（2）六个三角和差公式的逻辑关系。
5、作业
课本习题3-1 A组6、7
效果分析
本课教学应用多媒体教学和学案教学, 有效地增大堂课的课容量，减轻板书的工作量，有更多精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。?????????????????
? 本课教学中以讲练结合为主，同时配合使用问题探究式，讨论交流展示、导思点拨等教学方法。极大的提高了学习的主动性和有效性。?课堂上还将采用多媒体展示、学生独立回答和集体回答、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然，在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛.
本节课的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。?充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性.?????????????????????????????????????????
?????? 学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人.
观评记录
课题：两角和与差的正切
主讲人：临朐一中 刘金艳
时间：2015年3月23日星期一
一、 自评
本节课课标要求理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 课本内容只有两个公式和两道例题，课后配了少量习题。但这部分内容在高考中有较高的要求，特别对公式的灵活运用考查力度比较大，另外，本节课的学习对后续两角和、差、倍、半角等公式的学习有很大的帮助。我在课堂设计时充分考虑学生的认知特点，从公式推到、公式变形、习题设置等环节，都是层层递进，由易到难逐步深入。在公式变形时，让学生充分发挥自己的想象力，大胆说出自己的想法，我只是做了必要的启发和引导，学生表现不错。上课前根据学生的认知特点，给了学生充分的展示空间和时间，事实证明这样的调整比较到位。在学生的思维处于兴奋状态时，千万不要扼杀他们的兴趣。我的想法是，学习数学不一定要做多少道题，而是要在做题和思考的过程中不断优化自己的思维品质，提升自己的解题能力，丰富自己的解题经验。
由于课堂时间只有四十分钟，所以感觉时间特别紧，还有几类题型没有涉及到，比较遗憾。通过学生作业反馈，大部分同学掌握比较好，有三位同学两道题没记牢公式，导致计算错误。一节课难免会出现不尽人意的地方，希望各位老师给与批评指正。谢谢！
二、 评课
维度一：课程
教学观察人：连瑞成
观察内容：课程中的课程目标与内容
观察总结：
本节课的教学内容为：①会由两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题。②通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.
本节课是学生在学习了课题是在学习完两角和与差的正弦、余弦公式之后，的基础上，通过复习两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数的基本关系的一节课，它即是对和差角的深层认识，更是后期学习三角函数化简及计算等问题的基础与铺垫，因此，不论是内容本身，还是学习方法，都将对今后学生的学习起到重要的基础作用。因此，结合课程标准要求和学生的实际情况，确定的本节课的教学目标是：通过本节课的学习，学生应明确如何由两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题；使学生养成探究、分析的学习习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的数学思想方法；本节课的主要内容就是两个公式的推导与应用，重点也在于此。
教学预设方面：由于高一（9）班学生的程度相对好，结合课程标准，本节课教师预设的教学内容多，题量大，题型多。
内容的展示上：教师紧扣定义，按照一切从实际出发的原则，通过对基本关系的推导，注重了学生对基本概念学习的良好习惯。教师对问题进行了归纳，分为3个题型，减轻了学生学习的负担，符合学生认知层次，体现了一切从学生实际出发的教学原则。同时，教师在教学过程中也很好地展示了因材施教的教学原则但是在教学过程中，为了让学生能充分地展示学生的思维形成过程与思维的多样性，教学效果好。
课堂观察记录人：李爱玲
指标1：方法
预设的教学方法：本节课是发现结论并活用公式一节课，教学前预设了启发式、发现法、探究式等方法，基本达到了预设的结果。依据是本节课首先是由图形进一步启发学生研究正、余弦函数，让学生从图形中发现结论，接着在公式的变形中采用探究式，引导学生一边观察，一边同伴合作。即前一个同学对公式的变形发散了其他同学的思维，为后面活用公式解题作铺垫，在探究例4时，由于前面的铺垫，以及题目的条件和式子的结构变换，使得同学应用公式解题方法灵活，同时提高了解题能力，思维更加敏捷，达到了活用的目的。（这是本节课的重、难点，同时也是最精彩的一部分）
预设的教学方法体现本学科的特点：本节课的设计注重了数形结合、化归思想、分类讨论的思想
指标2：资源
本节课预设了多媒体课件及相关练习题。
预设多媒体的出发点在于：多媒体的应用不仅节约时间，容量大，更主要的在于能够通过多媒体的动态演示，使学生容易发现图形中蕴含的更多内容，从而比较容易总结出公式，另一方面，也能够提高学生学习的兴趣和学习积极性。相关练习的设计从易到难，有梯度，有层次，不仅能够检验学生的认知情况，也能为学有余力的学生提供了学习的方向，效果好。
课后反思
两角和与差的正切公式是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也是两角和差正弦余弦公式的复习巩固。之前我在新旧教材中都讲过这个内容，在这次评优活动中，我又对这一内容进行了设计，重新备课。就之前与之后的教学，我进行了反思。
一、反思教学理念：
新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，应该本着以学生为主体的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计习题上,也是先让学生审题、独立思考、合作探究解法,然后展示，教师在其中只进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,拓展思路,通过训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本设计的主旨思想是把本节的学习过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.
二、反思教学过程
一）引课：因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，所以今天学习两角和与差的正切公式学生不会感到突然，因而开门见山的引课方式是比较好的；
二）两角和与差的正切公式的探究过程：因为前面我们推出了公式Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β,?所以可以完全让学生自己进行推导Tα-β、Tα+β,教师只是适时地点拨就行了.通过前面的学习学生自然会想到利用同角三角函数关系式化切为弦,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果
三)?两角和与差的正切公式的简单应用。除了仿照课本上的例题、习题改编的试一试外，我还补充了合作探究、课堂练习、及课后作业，针对性较强。其中，合作探究是很重要的环节两角和与差的正切公式的变形式在化简求值中经常用到,使解题过程大大简化,同时也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力。但课本并没有提及这方面例题，所以让学生探究正切公式的变形使用有助于加深学生对这部分知识的掌握，调动学生的学习积极性.
课题：两角和与差的正切
评测练习
1、
2.要使tanα有意义,当且仅当__________________________
3.已知，， 求
4.设是一元二次方程的两个根,求tan()
课件19张PPT。两角和与差的正切公式高中数学人教B版必修四一、明确目标
知识与方法
①会由两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，
并运用其解决简单的化简问题。
过程目标：
①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑
推理能力；
②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.
情感、态度、价值观目标
①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的
数学思想；
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、
严谨、求实的科学态度.2.要使tanα有意义,当且仅当_____________________余弦口诀：余余正正符号反
正弦口诀：正余余正符号同2、讲解新课：
创设情境 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用表示出和吗？，它的值能否用例如和和去计算？ 分子和差，符号同，
分母 1 乘积，符号反小结
构造角：用已知角表示未知角 ：
例如
α=（α+β）-β
（α+β）=2 α- （α-β）
已知 tan 2 α 和tan （α-β），
求tan （α+β）的值，
tan （α+β）= tan [ 2 α- （α-β）]利用两角差的正切公式展开.
4、课堂小结
两角和与差的正切公式推导及其运用。恳请专家批评指正，谢谢！
