24.4弧长和扇形面积 人教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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24.4弧长和扇形面积人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥接缝处忽略不计，若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是度．
A.
B.
C.
D.
2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是( )
A. B. C. D.
3.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
5.如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，从一个边长为的正六边形铁皮上剪出一个扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且与的长度之比为若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径与母线长的比为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接并延长，交于点当时，的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在扇形中，，平分，交于点，是半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
11.如图，在矩形中，，是的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点若，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
12.如图，正方形的边长为，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，四边形是平行四边形，，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点则图中阴影部分的面积为 ．
14.如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
15.如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为______．
16.一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，是的直径，，是上两点，且，连接，过点作交的延长线于点．
判定直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
18.本小题分
现有一圆心角为，半径为的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的容器，再用其它铁片做一个圆形盖子把容器底面密封．
求该圆形盖子的直径；
求制作这个密封容器所需铁片的面积．
19.本小题分
已知圆锥的高为，底面半径为，求：
圆锥的全面积；
圆锥侧面展开图的圆心角．
20.本小题分
如图，扇形的圆心角为，半径为．
求扇形的弧长和面积；
若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．
21.本小题分
如图，点，，在直径为的上，求：
的长；
图中涂色部分的面积．
22.本小题分
如图，某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线的长之比为制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥的侧面时，，恰好重合．
求这种加工材料的顶角的度数；
若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分图中涂色部分的面积结果保留．
23.本小题分
如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是一个半圆．求：
圆锥的母线长与底面圆的半径的比值；
的度数；
圆锥的侧面积．
24.本小题分
如图，在扇形中，，半径将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕交于点，求整个阴影部分的周长和面积．
25.本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．先设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式得到，解得，然后设这个扇形的圆心角的度数是，利用弧长公式得到，最后解方程即可．
【解答】
解：设圆锥的母线长为，
则，
解得：，
设这个扇形的圆心角的度数是，
则，
解得，
即这个扇形的圆心角的度数是．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【解答】
解：圆锥侧面展开扇形的弧长为：，
圆锥的底面半径为．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：连接，，
、分别与相切于点、，
，
由四边形内角和为可得，
，
的长．
故选：．
连接，，求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，在底角为的等腰中，求得，到的距离为，则图中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】
解：连接，，
将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
点在上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
在底角为的等腰中，，到的距离为，
图中阴影部分的面积
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．
由半圆面积扇形的面积空白处半圆的面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】
解：半圆，绕点顺时针旋转，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：正六边形的边长为，
，，
，
，，
，
，
弧的长为，
设圆锥的底面半径为，
则，
即，
故选：．
根据正六边形的性质可求出，，进而求出阴影部分扇形的半径和圆心角的度数，利用弧长公式求出弧的长，再根据圆的周长公式求出底面半径．
本题考查正六边形，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是正确解答的前提．
7.【答案】
【解析】连接由折叠，可得又，是等边三角形．与的长度之比为，易得设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则，．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】如图，作点关于直线的对称点，连接，与的交点即为点，此时，阴影部分周长最小．在扇形中，，平分，由轴对称的性质，可知，，，，是等腰直角三角形．，，的长为阴影部分周长的最小值为．
10.【答案】
【解析】由题意，得，．
11.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点．
由题意可知，，，，
，，
阴影部分的面积．
故选D．
先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．
本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
12.【答案】
【解析】解：取中点，连接，
正方形的边长为，
，
，
扇形的面积，的面积，
弓形的面积扇形的面积的面积，
的面积，半圆的面积，，
阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积．
故选：．
取中点，连接，由阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积，求出的面积，半圆的面积，弓形的面积，即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是得到阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积．
13.【答案】
【解析】【分析】
连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后利用阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：连接，
与相切于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：．
由图可知，阴影部分的面积是和扇形的面积之差．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．
【解答】
解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，弧长为，
，
解得：，
所以此扇形的面积为，
故答案为．
17.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，连接交于，
，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【解析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键，有一定难度．
连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
连接，连接交于，根据垂径定理得到，，由圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，连接，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
18.【答案】【小题】
解：圆锥的底面周长为．
设圆锥底面圆的半径是，则，
解得，
则圆锥底面圆的直径为．
答：该圆形盖子的直径为；
【小题】
解：
答：制作这个密封容器所需铁片的面积为．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】【小题】

【小题】

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
解：扇形的弧长
；
【小题】
解：扇形的弧长为，
圆锥的底面周长为，
圆锥的底面半径为，
．

【解析】 本题考查了扇形面积的计算、弧长的计算，根据扇形面积公式、弧长公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算，求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理求出高即可．
21.【答案】【小题】
连接，，，的直径为，的长
【小题】

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】【小题】
设在题图中，根据题意，得的长就是圆锥底面圆的周长，，又，，即
【小题】
圆锥底面圆的直径为，，，是等腰直角三角形．，易得

【解析】 见答案
见答案
23.【答案】【小题】
设此圆锥的高为，底面圆的半径为，母线的长为．
由题意，得，
【小题】
，易得圆锥的高与母线的夹角为，，
【小题】
由题意，可知又，，，解得负值舍去圆锥的侧面积为

【解析】 见答案
见答案
见答案
24.【答案】连接根据折叠的性质，得，，，是等边三角形．，由勾股定理，得，，的长为整个阴影部分的周长为，整个阴影部分的面积为
【解析】见答案
25.【答案】【小题】
连接，则，，是的半径，是的切线
【小题】
连接是的直径，，，，易得，，是等边三角形．，的长是

【解析】 见答案
见答案
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