21.1一元二次方程 人教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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21.1一元二次方程 人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
2.已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为( )
A. B. C. D.
3.是关于的一元二次方程的解，则( )
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知关于的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为( )
A. B. C. D.
6.若，是方程的两个根，则的值为 ．
A. B. C. D.
7.如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
8.方程化成一般形式后，它的常数项是( )
A. B. C. D.
9.下列是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
10.方程的一个根为( )
A. B. C. D.
11.下列方程是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
12.下列方程中，关于的一元二次方程有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于的一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ．
14.若，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ．
15.若，则一元二次方程必有一个根为 ．
16.已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知实数是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
18.本小题分
如果是方程的一个根，那么常数是多少？求出这个方程的其他根．
19.本小题分
在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．
方程的中点值是
已知的中点值是，其中一个根是，求的值．
20.本小题分
定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______；
如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值．
21.本小题分
已知关于，的方程组与的解相同．
求，的值；
若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
22.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．
23.本小题分
北京西城统考一模已知是方程的一个根，求代数式的值．
24.本小题分
根据多项式乘法可知从而我们可得干字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
将二次三项式分解因式．
解一元二次方程．
某数学兴趣小组发现二次项系数不是的一元二次方程也可以借助此方法解如：，方程分解为，从而可以快速求出方程的解请你利用此方法尝试解方程．
25.本小题分
已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三角形的三边长．
如果是方程的根，试判断该三角形的形状
如果该三角形是等边三角形，试求一元二次方程的根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，且．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
，
，
．
故选：．
把代入方程得，然后两边除以可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值，整体带入法，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】
解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，
由题意得：，，
解得：，
故选：．
把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为以及一次项的概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：，是方程的两个根，
，，
，，
故选：．
首先把、代入方程，得出，，进一步整理代数式，整体代入求得答案即可．
本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的一般形式，形式这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．
【解答】
解：
，
方程化成一般形式后，它的常数项是，
故选C．
9.【答案】
【解析】解：
解：是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.当时，方程是一元一次方程，选项B不符合题意；
C.是一元二次方程，选项C符合题意；
D.是分式方程，选项D不符合题意．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程．即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
10.【答案】
【解析】【分析】分别把各选项代入方程，判断方程两边是否相等即可求解．
【详解】解：把代入方程得，，
是方程的解，故 A符合题意；
把代入方程得，，
不是方程的解，故 B不符合题意；
把代入得，，
不是方程的解，故 C不符合题意；
把代入方程得，，
不是方程的解，故 D不符合题意；
故选：．
本题考查一元二次方程的解，熟记方程的解的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：满足一元二次方程的条件，故A是一元二次方程；
整理后不含未知数的二次项，故B不是一元二次方程；
缺少二次项系数不为的条件，故C不一定是一元二次方程；
不是整式方程，故D不是一元二次方程．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；整式方程．注意二次项的系数不能为．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】
解：是一元二次方程；
当时是一元一次方程，不是一元二次方程；
是关于的一元二次方程；
有个未知数，不是一元二次方程；
时是一元一次方程；
分式方程
根号里面是的次数是，不是二次方程；
化简后是一元一次方程．
则关于的一元二次方程共有个
故选A．
13.【答案】，
【解析】解：将当作一个整体，解得或，则，．
14.【答案】
【解析】解：将，代入方程，得，，，．
．
15.【答案】
【解析】解：，方程必有一根为．
16.【答案】
【解析】解：是方程的根，，．
17.【答案】由题意，得，，
【解析】见答案
18.【答案】解：把代入方程，得，解得原方程化为，根据平方根的意义，得所以这个方程的其他根是．
【解析】见答案
19.【答案】解：；
由题意，得，
．
把代入，得，解得．
．

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据方程的中点值的定义计算；
利用方程的中点值的定义得到，再把代入计算出的值，然后计算．
【解答】
解：由题意，得，．
，
方程的中点值为．
故答案为；
见答案．
20.【答案】或
【解析】解：关于的方程是常数根一元二次方程，
方程的一个根为，
代入方程得，，
解得或；
故答案为：或；
关于的方程是常数根一元二次方程，
方程的一个根为，
代入方程得，，
整理得，，
解得或．
根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可；
根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程．
21.【答案】解：由题意得，关于，的方程组与的相同解，就是方程组的解，
解得，，
，，
解得，，；
当，时，关于的方程为，
解得，，
又，
以、、为边的三角形是等腰直角三角形．
【解析】本题考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键．
关于，的方程组与的解相同．首先求出方程组的解，进而确定、的值；
将、的值代入关于的方程，求出方程的解，再根据方程的两个解为边长与为边长，判断三角形的形状．
22.【答案】解：
．
为方程的根，
，
，
，．
，
．
则原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：


是方程 的一个根，
，即 ．
原式 ．

【解析】【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：

，
是方程 的一个根，
，
即
原式 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
24.【答案】解：；
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，．
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，．
【解析】利用十字相乘法进行分解；
把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可；
把方程左边分解因式，则原方程可转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
25.【答案】解：等腰三角形，．
【解析】略
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