21.2解一元二次方程 人教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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21.2解一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A. B. C. D.
3.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
4.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
5.若，则等于( )
A. B. 或 C. D. 以上都不对
6.关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
8.对于实数，定义运算“”为，例如：关于的方程的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
9.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是( )
A. B. C. D.
10.用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
11.用加减法解方程组下列解法不正确
的是
( )
A. ，消去 B. ，消去
C. ，消去 D. ，消去
12.若，是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
14.若与互为倒数，则的值是 ．
15.规定：，如：，若，则 ．
16.已知，则的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．甲乙两位同学的做法如下：
甲同学： 解：原式可化为． 当时， ， 当时， ， ，． 乙同学： 解：原式可化为 ， ， ． ， ，．
小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断 同学的解法有误，错误的原因是 ；
请写出其他解法并与同学们交流．
18.本小题分
解方程时，下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪里？正确的解法是什么？
解：原方程化为，
那么由，得．
由，得．
所以，原方程的根为，．
19.本小题分
下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得
二次项系数化为，得
配方，得
即．
，
，
第步二次项系数化为的依据是什么？
整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：这个方程总有两个实数根；
若等腰三角形的一边的长为，另两边，的长恰好是这个方程的两个实数根，求等腰三角形的周长．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若此方程的两实数根，满足，求的值．
22.本小题分
若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值．
23.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
当该方程的判别式的值最小时，写出的值，并求出此时方程的解．
24.本小题分
已知，．
当为何值时，？
对于任意实数，试比较与的大小．
25.本小题分
阅读下面的例题，
范例：解方程，
解：当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
原方程的根是，
请参照例题解方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
变形为，
，，，
，
方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B.，
，，，
，
方程没有实数根，选项B不符合题意；
C.，
变形为，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：．
根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式可求出各方程的根的判别式的值，取的选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：．
根据关于的一元二次方程有实数根知且，解之即可．
本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．解之即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
解得：且．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用直接开平方法求解，保留符合题意的结果即可．
【解答】
解：可将看作一个整体，
则 ，
或．
，
．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
化简得：，
时满足．
故选：．
由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，进而可确定的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键．
7.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
8.【答案】
【解析】，，，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．故选 A．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了根与系数的关系．此题难度不大．
注意若二次项系数为，，是方程的两根时，，，反过来可得，继而求得答案．
【解答】解：设此一元二次方程为，
二次项系数为，两根分别为，，
，，
这个方程为：．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程有关知识，利用配方法进行解答即可．
【解答】
解：，
．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：用加减法解方程组
可以，消去 ，消去
，消去
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
欲求的值，先把此代数式变形为的形式，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积和两根之和的值，代入数值计算即可．
【解答】
解：、是方程的两个实数根，
，．
．
13.【答案】
【解析】【分析】由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，解方程可求得的值．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】或
【解析】解：依题意得，
整理，得，
因此，即，
直接开平方，得，
解得或．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】【小题】
乙
原方程常数项移项时未变号
【小题】
，，，
，
，
，．

【解析】 略
见答案
18.【答案】解：解法不正确，由方程得出和错误，
正确的解法如下：
，
整理得：，
，
，
，．
【解析】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，满足，则此方程的根是．
先整理方程，再代入公式求出即可．
19.【答案】解：第步二次项系数化为的依据是：等式两边同除以同一个不为的数，等式仍然成立．
从第步开始出现的错误，
正确过程如下：
移项，得，
二次项系数化为，得，
配方，得，
即，
，
，
，．
【解析】本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．
根据等式的基本性质求解即可；
先将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，最后开方即可．
20.【答案】【小题】
，这个方程总有两个实数根
【小题】
有两种情况：若，为腰，则方程有两个相等的实数根．，即，解得原方程为，解得，即，这种情况不合题意，舍去．若为腰，则，中有一边为腰．是关于的一元二次方程的一个根．把代入原方程，得，解得原方程为，解得，，等腰三角形的周长为

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据根与系数的关系得，，
，
，
解得，
，
．
故的值是．
【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
利用根与系数的关系得到，，再利用得到，接着解关于的方程，然后利用的范围确定满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的两根分别为，，则，也考查了根的判别式．
22.【答案】解：由，得或，
与有一个相同的根，
当时，此时，；
当时，，
，
，
舍去，综上所述，．

【解析】见答案
23.【答案】证明：
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
解：，
时，判别式的值最小，
把代入方程，得
，
，
，，
当该方程的判别式的值最小时，的值为，此时方程的解为，．
【解析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．
根据根的判别式得出，据此可得答案；
当时，判别式的值最小，把代入原方程，再解之可得答案．
24.【答案】【小题】
由题意，得，解得，
【小题】
对于任意实数都成立，对于任意实数，总有

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】解：，
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
故原方程的根是，．

【解析】本题考查了解一元二次方程的应用分为两种情况：当时，原方程化为，当时，原方程化为，求出方程的解即可．
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