22.1二次函数的图像和性质 人教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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22.1二次函数的图像和性质人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线过，，三点，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
2.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.下列函数是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
4.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.若函数则当函数值时，自变量的值是 ．
A. B. C. 或 D. 或
6.设函数是实数，，当时，；当时，，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.如图，在四边形中，，，，，动点，同时从点出发，点以的速度沿向终点运动，点以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.抛物线经过点、，且与轴交于点，则当时，的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，正确的个数是( )
A. B. C. D.
11.如图，点，是抛物线：上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，，则曲线段扫过的阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，把抛物线沿直线平移个单位长度后，其顶点在直线上的处，则平移后的抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若是关于的二次函数，则的值为 ．
14.已知二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，，则 填“”“”或“”
15.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则 ．
16.已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而增大，则________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
画出下列函数的图象：
；
．
根据所画的函数图象填空：
抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是______，当______时，抛物线上的点都在轴的上方；
抛物线的开口向______，除顶点外，拋物线上的点都在轴的______方，它的顶点是抛物线上的最______点．
18.本小题分
二次函数，先向上平移个单位，再向右平移个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
的值为______；
在坐标系中画出平移后的图象，并写出与的交点坐标；
点，在新的函数图象上，且，两点均在对称轴同一侧，若，则______填不等号
19.本小题分
已知二次函数的图象过点，．
求此二次函数的解析式；
写出该函数图象的对称轴和顶点坐标．
20.本小题分
已知点与点都在二次函数的图象上．
求和的值；
写出该抛物线的对称轴、顶点坐标及开口方向；
试判断这个函数的图象是否经过点；
求该抛物线上纵坐标为的点的坐标．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．
求该二次函数的解析式；
用描点法画出该二次函数的图象；
当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．
22.本小题分
某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面米，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
米
米
请解决以下问题：
在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
求关于的函数表达式；
公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为米，游船的平顶棚到湖面的高度约为米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度不考虑其他因素就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点．
求抛物线的对称轴用含的式子表示；
若，求的取值范围．
24.本小题分
已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示：
求二次函数的解析式及顶点坐标；
直接写出当时，的取值范围．
25.本小题分
如图，正比例函数的图象与抛物线相交于点．
求，的值；
若点在函数的图象上，抛物线的顶点是，求的面积；
若是轴上一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【解答】
解：在二次函数中，对称轴，
在图象上的三点，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象的平移规律是解答此题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可．
【解答】
解：把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、当时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义判断即可．
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】
解：、一次函数的图象与轴交于负半轴，，与二次函数的图象开口向上，即相矛盾，故A错误；
B、一次函数的图象过一、二、四象限，，，二次函数的图象开口向上，顶点为在第四象限，，，故B正确；
C、二次函数的对称轴，在轴右侧，故C错误；
D、一次函数的图象过一、二、三象限，，与抛物线的顶点在第四象限，相矛盾，故D错误；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：把代入函数，
先代入上边的方程得
，
，
，不合题意舍去，故
；
再代入下边的方程，
，故，
综上，的值为或
．
故选：．
本题考查求函数值：
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果．
【解答】
解：当时，；当时，；
代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积，动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
分三种情形：如图中，当时，利用求得函数解析式；如图中，利用求得函数解析式；当时，如图中，当时，利用求得函数解析式，根据对应函数解析式观察图象的特点即可。
【解答】
解：如图中，当时，过点作于．
，图象是开口向上的抛物线的一部分；
如图中，当时，连接，，图象是开口向下的抛物线的一部分；
如图中，当时，连接，，
图象是经过一、二、四象限的直线的一部分；
由此可知函数图象是选项B，
故选：．
8.【答案】
【解析】二次函数的图象开口向下，，二次函数的图象开口向下，排除选项B，；一次函数的图象交轴于正半轴，，二次函数图象的对称轴为直线，，，，排除选项．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．
根据抛物线与轴两交点，及与轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求当时．
【解答】
解：如图，
抛物线经过点、，且与轴交于点，
该抛物线图象大致如上，
抛物线对称轴，
点关于对称轴对称的点的坐标是，
当时，的值为．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
根据抛物线开口向下可得，对称轴在轴右侧，得，抛物线与轴正半轴相交，得，进而即可判断；
根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断；
根据抛物线与轴有个交点，可得，即，进而可以判断；
当时，，即，根据，可得，即可判断．
【解答】
解：根据抛物线开口向下可知：
，
因为对称轴在轴右侧，
所以，
因为抛物线与轴正半轴相交，
所以，
所以，
所以错误；
因为抛物线对称轴是直线，
即，
所以，
所以，
所以正确；
因为，
所以
如果，
那么
因为，
所以，
有题知，
所以错误；
当时，，
即，
因为，
所以，
所以正确．
所以正确的个数是，共个．
故选：．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法，要注意二次项系数不等于．
根据二次函数表达式中二次项系数不等于，最高次项指数为列出方程，求出的值即可．
【解答】
解：由题意可知，且，
即，且，
解得：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据二次函数图象的对称轴为直线，可知离对称轴的距离越大，函数值越大．
【解答】
解：二次函数图象的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
该函数经过点，，，，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质及概念，用到的知识点为：二次函数中未知数的最高次数是；在对称轴的右侧随的增大而增大，那么二次项的系数大于是二次函数，那么的指数为；在对称轴的右侧，随的增大而增大，那么二次函数图象的开口向上，可得二次项的系数大于．
【解答】
解：由题意得：，且，
解得：或，且，
，
故答案为．
17.【答案】解：列表如下：
在直角坐标系中画出的图如下：
列表如下：
在直角坐标系中画出的图如下：
轴；；；
下；下；高．
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与性质，关键是正确画出函数图象，根据函数图象特征回答问题．
通过列表、描点、连线画出函数图象，再结合函数图象回答问题便可．
【解答】
解：画图见答案；
抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，当时，抛物线上的点都在轴的上方；
抛物线的开口向下，除顶点外，拋物线上的点都在轴的下方，它的顶点是抛物线上的最高点．
18.【答案】解：；
平移后的函数图象如图：
联立方程组
解得
与的交点坐标为，；
或．
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象性质，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据平移的性质分析对应点的坐标；
利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；
结合二次函数图象的性质分析求解．
【解答】
解：将先向上平移个单位，再向右平移个单位后对应点的坐标为，
，
故答案为：；
见答案；
点，在新的函数图象上，且，两点均在对称轴同一侧，
当，两点同在对称轴左侧时，若，则，
当，两点同在对称轴右侧时，若，则，
故答案为：或．
19.【答案】【小题】
解：将，代入，
得
解得
此二次函数的解析式为
【小题】
解：
对称轴为直线，顶点坐标为

【解析】 本题考查的是待定系数法求二次函数解析式有关知识，将，，代入直接求出，即可解答
本题考查的是二次函数的性质有关知识，将二次函数解析式配成顶点式，然后解答
20.【答案】【小题】
解：由题意，得，解得．
．
当时，．
【小题】
对称轴是轴，顶点坐标是，开口向上．
【小题】
当时，，这个函数的图象不经过点
【小题】
令，则，解得，该抛物线上纵坐标为的点的坐标为，

【解析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征。根据已知条件把点与点代入
本题考查了二次函数的性质，根据题求得的二次函数的解析式即可解题．
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征。把点代入到题所求的抛物线方程进行判断即可。
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征。令，则，解得，即可解题．
21.【答案】点在二次函数的图象上，
，解得．
二次函数的解析式为．
列表：
描点，连线．
当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和，
观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值，
所以当时，对于的每一个值，都有，的取值范围．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
利用描点法画出所给函数的图象即可；
由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值，进而得到的取值范围．
22.【答案】解：如图，
水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
所以；
设水枪高度向上调整米，
设平移后二次函数关系式为，
当时，，
，
答：水枪高度至少向上调整米．
【解析】根据对应点画图象即可；
由图象可得答案；
利用待定系数法可得关系式；
设水枪高度向上调整米，设平移后二次函数关系式为，
再根据二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
23.【答案】解：由题知，，
所以抛物线的对称轴为直线．
将点，坐标代入函数解析式，得
，
，
又因为，
所以，
解得或．
所以的取值范围是：或

【解析】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数求不等式的解集及熟知二次函数的性质是解题的关键．
由二次函数的对称轴公式即可解决问题．
根据题意列出不等式组即可．
24.【答案】解：由表格得当， ；当， ；当，．
，解得：
，
当时，，
顶点坐标为；
故二次函数的解析式为，顶点坐标 ．
当时，
，
解得：，．
由图象，得当时，或，
故当时，的取值范围为或．

【解析】本题考查了待定系数法，图象法求自变量取值范围．
将，；，；，代入解析式，再根据顶点坐标公式，即可求解；
根据函数图象即可求解；
掌握待定系数法和数形结合法是解题的关键．
25.【答案】【小题】
把代入，得把代入，得
【小题】
把代入，得抛物线的顶点的坐标是，
【小题】
设点关于轴的对称点为，则点的坐标为连接，交轴于点，此时的值最小．设直线对应的函数解析式为把，代入，得解得当时，点的坐标是

【解析】 见答案
见答案
见答案
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