23.1图形的旋转 人教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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23.1图形的旋转人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为( )
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为将绕着点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是( )
A. B. C. D.
4.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. B. C. D. 不能确定
6.如图的正方形网格中，其中一个三角形绕某点旋转一定的角度，得到三角形，则其旋转中心是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
7.如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，直线与轴、轴分别交于，两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，过点作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，若点的纵坐标为，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点的对应点恰好在边上，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
11.如图，在等边三角形中，点在边上，连接，将绕点旋转一定角度，使得，连接，若，则为( )
A. B. C. D.
12.如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上已知，，则的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当点落在边上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ．
14.如图，将直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，得到三角形，连接，若，则的度数是_____．
15.一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为 ．
16.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点．
试判定四边形的形状，并说明理由；
已知，，求的长．
18.本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点，，均为格点，仅用无刻度的直尺在边上画点，使得，再画交于点．
19.本小题分
如图，已知等边，为上一点，连接将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，探究线段和的数量关系，并说明理由．
20.本小题分
某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含角的直角三角尺与直角三角尺按如图所示位置放置现将绕点按逆时针方向旋转角，如图，与交于点，与交于点，与交于点．
求证：
当旋转角时，判断四边形的形状，并说明理由．
21.本小题分
如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．
如图，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；
如图，若，，求以，为邻边的正方形的面积．
22.本小题分
将边长为的正方形按如图所示的方式放置，为原点．
将正方形绕点按逆时针方向旋转如图，求点的坐标；
将图中的正方形绕点按逆时针方向旋转如图，求点的坐标．
23.本小题分
如图，在中，，将绕点旋转一定的角度得到，且点恰好落在边上．
求证：平分；
连接，求证：．
24.本小题分
如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点刚好落在边上，连接．
若，求的度数；
若，，求四边形的面积．
25.本小题分
如图，在中，，，点，在上，，为了探究，，之间的等量关系，现将绕点按顺时针方向旋转得到，连接经探究，你所得到的，，之间的等量关系式为 无需证明．
如图，在中，，，，在上，，，试仿照的方法，利用图形的旋转变换，探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
根据旋转变换的性质得到，再证明为等边三角形，最后根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】
解：由旋转的性质可知，，
，，
为等边三角形，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的．
由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到．
【解答】
解：在中，，，，
，则．
由旋转的性质知，，，
是的中垂线，
．
由旋转的性质知，．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质判断，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：
四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图：作出三角形和三角形两组对应点所连线段的垂直平分线的交点为旋转中心．
故选：．
根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
连接，易证≌，利用全等三角形的性质可得出，进而可得出，选项A正确；由三角形内角和定理结合，可得出，选项B正确；由≌可得出，结合图形可得出，选项D正确．综上，此题得解．
【解答】
解：连接，如图所示，
为等腰直角三角形，点为的中点，
，，．
，，
．
在和中，，
≌，
，
，选项A正确；
，，，
，选项B正确；
≌，
，
，选项D正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质，考查了图形的旋转，旋转不改变图形的大小和性质，所得图形与原图形全等，根据全等三角形的性质，即可得到相应线段的长． 要注意，解题的关键是：旋转前后线段的长度不变．
【解答】
解：直线与轴，轴分别交于，两点．
旋转前后三角形全等．
由图易知点的纵坐标为长，即为，
横坐标为．
则的坐标为，
故选D．
9.【答案】
【解析】解：过作轴于，
轴于点，点的纵坐标为，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
由勾股定理得，，
，，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，，，
轴，
在中，由勾股定理得：，
点的横坐标是，纵坐标是，
即点的坐标为
故选：．
解直角三角形求出和，根据旋转的性质得出，，求出轴，求出，即可求出答案．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出、的长是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，，
是等边三角形，又
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，，，得出是等边三角形，，进而得出，即可求出的长．
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，熟练掌握以上性质是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是解答本题的关键，根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为
【解答】解：，
，
，
又，
为等边三角形，
，
在和中，
≌，
，
．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，关键是推出根据旋转的性质得出，代入求出即可．
【解答】
解：将绕点按逆时针方向旋转至，
，
，
故选：．
13.【答案】

【解析】【分析】
本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于填空题中的压轴题．
如图，以为边向右作等边，连接利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，如图中，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】
解：如图，以为边向右作等边，连接．
是等边三角形，
，，，
，
在和中，
≌，
，
点在射线上运动，
如图中，设交于点，
当点落在上时，点与重合，此时，
当时，的长最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的定义，三角形的内角和的定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据旋转的性质可得，然后判断出三角形是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义可得，再根据三角形的内角和求出，然后根据旋转的性质可得，
【解答】
解：直角三角形绕直角顶点顺时针旋转得到，
，，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
，
，
由旋转的性质得．
故答案为：．
15.【答案】或
【解析】【分析】本题主要考查了角的计算、旋转的性质、垂线的性质、三角形的内角和定理、分类讨论的思想等知识点，理清定义是解答本题的关键．
分两种情况讨论：当时，当时，分别求出的度数，再利用，即可求解．
【解答】
解：分两种情况讨论：
如图，当时，
，
，
，
，
；
如图，当时，
，
，
，
，
综上，或．
故答案为或．
16.【答案】
【解析】【分析】利用旋转的性质可得，，由题意可得阴影部分的面积，过点作，利用含直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，
阴影部分的面积
过点作，如下图：

，即阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
17.【答案】【小题】
四边形是正方形，理由如下：
绕点逆时针旋转得到，
≌，，，又，，在四边形中，，四边形是矩形．又，矩形是正方形．
【小题】
设，则由以及题意可知，，，，，即，解得，由知，≌，，．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】
【解析】略
19.【答案】解：理由如下：在上截取，连接交于点．
，，
≌，
，，
，
，
，
，
．
，，
≌，
，
，
，
．

【解析】见答案
20.【答案】解：证明：由题可知，，，，
．
．
当旋转角时，四边形是菱形．
理由：，
．
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
又，
平行四边形是菱形．

【解析】见答案
21.【答案】【小题】
点在直线上，理由：，，，，即，线段绕点逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．
【小题】
如图，作于点，，，，，，，，，即以，为邻边的正方形的面积为．

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】【小题】
由题意，得，如图，过点作轴的垂线，垂足为，则旋转角为，在中，易得点的坐标为
【小题】
如图，连接，过点作轴于点在正方形中，，旋转角为，，，易得在中，点的坐标为

【解析】 见答案
见答案
23.【答案】【小题】
由旋转，可知，，，即平分
【小题】
由旋转，可知，，，，易得，，，

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】【小题】
在中，，，由旋转，可知，
【小题】
在中，，由旋转，可知，

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】【小题】
【小题】
如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接由旋转，可知≌，，，，在和中，≌，在中，由勾股定理，得，

【解析】 略
见答案
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