24.1圆的有关性质 人教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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24.1圆的有关性质人教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法，正确的有( ) 圆绕圆心旋转，不与原来的圆重合；顶点在圆心的角是圆心角；等弧对等弦；同圆的两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角不相等，所对的弦也不相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. ≌ D.
3.如图，是的直径，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形内接于，若，则的大小为( )
A. B. C. D. 或
5.如图，是直径，，则为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，是的直径，于点，若，，则的半径为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，是直径，点，将分成相等的三段弧，点在上．已知点在上且，则点所在的弧是( )
A. B. C. D.
9.如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，四边形内接于，，，的大小为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，弦、点是圆上一点且，则的直径为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，为的直径，弦于点，于点，，则为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，内接于，，的角平分线交于若，，则的长为 ．
14.已知下列五个命题：圆内接等腰三角形是等边三角形；圆内接平行四边形是矩形；圆内接矩形是正方形；圆内接菱形是正方形；每一个圆都有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都有外接圆．其中正确的命题有 填序号．
15.如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为 ．
16.已知的半径为，弦，，，则和的距离为____．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，为圆内接三角形的外角的平分线，它与交于点．
求证：；
若，，求的度数．
18.本小题分
如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
求证：点为的中点；
若，，求的长；
若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
19.本小题分
请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
在图中，为的弦，点在上，点在上，，画一个内角为的直角三角形；
在图中，为的直径，是内一点，画的高．
20.本小题分
请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
在图中，为的弦，画一条与长度相等的弦；
在图中，为的直径，弦，在上画点，使四边形为平行四边形．
21.本小题分
请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
在图中，，是的弦，，分别画，的中点，；
在图中，是中的中点，是上一点，过点画弦，使．
22.本小题分
请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
在图中，，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，，作出该圆的直径；
在图中，为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心．
23.本小题分
如图，在中，，以为直径的半圆交于点，交于点，延长至点，使，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求半圆和菱形的面积．
24.本小题分
如图，在圆内接四边形中，，为延长线上的一点．求证：平分．
25.本小题分
如图，等边三角形的顶点都在上，连接，．
求的度数；
若，求的半径．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项A成立；
，选项B成立；
，选项D成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项C不成立．
故选C．
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，以及角的平分线．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据圆周角定理可进行求解．
本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
【解答】
解： 是 的直径，
，
，
，
，
；
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
利用同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可求解．
【解答】
解：与都对，，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据圆周角定理得出
解答．
【解答】解：
对的圆心角是，对的圆周角是，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：设的半径为，
是的直径，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径为，
故选：．
由垂径定理得，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：和都是所对的圆周角，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】
【解析】解：，
所对应优弧，
根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为，
则劣弧所对应圆心角，
、为的三等分点，
故应位于上，
故选：．
根据找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角，进而找到的度数即可确定所在位置．
本题考查圆周角定理，注意区分优弧和劣弧在圆上对应不同的圆周角以及圆心角是解题关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，进而求出，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：连接，
，，
，
，
是劣弧的中点，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．首先证明，再利用等腰三角形的性质求出，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
，
在中，
，，
由勾股定理得：．
则的直径为．
故选：．
根据圆周角定理可得，在等腰直角三角形中，应用勾股定理进行计算即可得出的长度，从而得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧是解此题的关键．
求出的度数，求出的度数，根据垂径定理求出，再求出答案即可．
【分析】
解：，
．
，
，
的度数是，
弦，为的直径，
，
的度数是，
．
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
连接，根据是的角平分线可知，故可得出，再由是的直径可知是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理可得出的长．
【解答】
解：连接，
，
是的直径．
的角平分线交于，
，
．
是的直径，
是等腰直角三角形，
．
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
当、在圆心的两侧时，如图，
过作于，延长交于，连接、，
，
，
，，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
；
当、在圆心的同侧时，如图，
同理得：，
综上所述，和的距离为或．
故答案为：或．
分两种情况：当、在圆心的两侧时，如图，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出和的长，再利用勾股定理计算出和的长，相加即可求出距离的长；
当、在圆心的同侧时，如图，同理求得距离的长．
本题考查了垂径定理和两平行线的距离，熟练掌握垂径定理，应用了垂直弦的直径平分这条弦，恰当地作辅助线构建半径和弦心距，这是圆中常作的辅助线，要熟练掌握；本题还采作了分类讨论的思想．
17.【答案】【小题】
四边形内接于，而，又是的平分线，，．
【小题】
连接，，，，，，为等边三角形，，，，，．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点；
解：，
，
而，
为的中位线，
，
；
解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，如图，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
证明为的中位线得到，然后计算即可；
作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
19.【答案】【小题】
【小题】

【解析】 略
见答案
20.【答案】【小题】
【小题】

【解析】 略
见答案
21.【答案】【小题】
【小题】

【解析】 略
略
22.【答案】【小题】
【小题】

【解析】 略
见答案
23.【答案】【小题】
是直径，，，，四边形是平行四边形．又，四边形是菱形．
【小题】
设连接，是直径，，，，解得或舍去，，，．

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】四边形是圆内接四边形，，，又，，即平分
【解析】见答案
25.【答案】【小题】
连接为等边三角形，
【小题】
过点作于点由，易得，，在中，由勾股定理，得，即，解得负值舍去的半径为

【解析】 见答案
见答案
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