2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 133.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-25 17:59:34 | ||
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文档简介
教学设计
课 题 直线的倾斜角与斜率
课时安排 1 课前准备 Ppt和几何画板
教材内容 分 析 （1）内容的本质 倾斜角和斜率分别是刻画直线倾斜程度的几何模型与代数模型. 沟通两者的桥梁是正切函数值，斜率是解析几何的重要概念之一. 正因为两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. （2）内容蕴含的数学思想和方法 “坐标法”和数形结合思想是本单元内容蕴含的主要思想方法. 同时，在探究倾斜角的和直线斜率的概念中渗透了分类讨论的思想. 将“两条直线平行和垂直的位置关系”转化为“斜率之间的关系”，此过程又体现了转化与化归的思想. （3）知识的上下位关系 直线倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何表示与代数表达，是用坐标法研究直线及其几何性质的基础．同学们在初中已经学习了一次函数图象、坡比、简单的三角函数知识以及“两点确定一条直线”的公理，为该块内容的学习奠定了一定的基础. 同时，该块内容中所蕴含的“几何问题代数化”思想是后继学习平面直角坐标系内“几何要素代数化”的开端，为学习下一章《圆锥曲线的方程》奠定基础. （4）内容的育人价值 学生在概念的建立和公式的推导中体会数形结合的思想，培养严谨的科学态度和求实的精神. 在探究两条直线平行或垂直的斜率关系过程中，认识知识之间的普遍联系和互相转化，用联系的观点看问题，体会数学文化的价值.
设计理念 建议从技术融合创新的思路上表达，描述整节课中期望利用何种技术，在教学教研、课堂应用、学生评价、有效反馈等哪个方面进行创新突破。 数学是研究数量关系和空间形式的科学,对直线的特征的探究大致也包括“数”和“形”两个方面。从“形”的方面说,可让学生通过充分观察、测量、计算、交流,了解直线的构图特点,梳理总结直线的构图规律,掌握辨表示直线的方法,并借助作图工具画不同类型的直线。从“数”的方面说,则可以提出一些问题让学生探究,也可以让学生自己提出问题进行探究,锻炼学生的探究能力及发现和提出问题的能力。本节课利用PPT和几何画板能很好地展现直线在“形”方面的特征，同时几何画板利用坐标系来构图，有能很好的直观反映直线的“数”的特征。结合几何画板和多媒体，让学生能体会数形结合的思想，让学生从直观认识到理性认识得到很好的过渡，数学思想和方法渗透的过程非常深入。学生不仅掌握了本节的基本知识点，同时对解析法处理几何问题的思想和方法有了深入的了解。 借助多媒体技术和现实生活中的实例，学生能够直观明确地对“数”与“形”产生初步体会. 同时，激励学生由探究入手，讲练结合、直观演示，增加教学的生动性和趣味性.
学情分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 由于学生首次接触解析几何的内容及研究方法，感动很陌生，所以采用启发、引导、发现探究式教学法，通过引导、启发学生，设置小梯度，大密度的问题串，逐一解决，循序渐进，使学生很自然，很容易达到本节课的学习目标，掌握平面解析几何的学习方法，通过结合利用几何画板软件的动态演示，激发学生的学习数学的学习兴趣和求知欲。 在此同时，引入解析几何创立的历史知识，讲解解析几何的开端，阐明解决几何问题的另一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。
教学目标 教学目标 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； （3）能根据斜率判定两直线平行或垂直. 目标解析 达成上述目标的标志是：（1）知道确定直线位置的几何要素是直线上的一点及其方向；（2）正确理解直线的倾斜角是指平面直角坐标系中以x轴为基准，直线与x轴相交时，x轴正方向与直线向上方向的夹角，理解直线的斜率就是直线倾斜角的正切值；（3）能够根据直线的倾斜角求出对应直线的斜率. 反之，能根据已知直线的斜率求出其对应倾斜角.同时，能够判断直线倾斜角变化情况与直线斜率变化情况之间的关系；（4）在具体问题情境中，根据直线上两点的坐标，利用直线的斜率公式，求出直线的斜率，并能够判断出直线倾斜角是锐角还是钝角；（5）理解两条直线平行和垂直的条件，会利用斜率判定两条直线平行或垂直.
教学重难点 知识重点：倾斜角和斜率的概念、斜率公式、两条直线平行和垂直的判定. 数学思想重点：数学结合思想的渗透. 数学方法重点：坐标法的应用 难点：斜率与倾斜角之间关系的突破
教学过程
教学环节（一） 师生活动 （一）知识背景 引入解析几何创立的历史知识，讲解解析几何的开端，阐明解决几何问题的另一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。
设计意图 设计在该环节里的技术应用的教研与技术融合的目的是否达到。如：“采用展示 石拱桥的图片导课”，让学生从实际生活中的几何图形中观察几何。 引入数学文化，利用短视频对数学史进行一个简单的讲解，使学生了解新内容特点和研究方法，发挥先行组织者的作用，揭示本课时的研究方法。
教学环节（二） 师生活动 （二）问题提出 1.直线的确定 问题1直线l过原点，并且与x轴的正方向所成的角等于30°，这样直线在平面直角坐标系中的位置就确定了. 2.直线的倾斜角 问题2 结合图象，在平面直角坐标系中，怎样刻画直线的方向呢？ 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角. 当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围为.
设计意图 设计在该环节的技术应用是否合理。同样需要考虑到技术应用是否能满足教学、是否能创新教学环节、是否符合学生学情等一些列问题。 从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法 在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过几何画板直观的，动态的反映各种类型的直线的倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，符合学生的认知规律，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。
教学环节 （三） 师生活动 （三）形成概念 在日常生活中，我们用坡角来刻画斜坡的倾斜程度，但我们也经常用坡度来刻画斜坡的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比. 首先考虑的直线的斜率. 观察右图，图中直线上的点O（0,0），P（1，k）,当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k,我们称k为这条直线的斜率. 再来考虑的直线的斜率. 观察右图中直线上的点O(0,0),P(1,k)(k<0), 当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k (k<0),我们称k为这条直线的斜率. 综上所述，对于过原点且不与x轴垂直的直线都可以用斜率来刻画它的方向，即. 问题3 对于不过原点且不与x轴垂直的直线是否都可以用斜率来刻画它的方向呢？ 结论：对于不与x轴垂直的任意直线都可以用斜率来刻画它的方向，它的斜率为. 交流总结： 前后同桌几人为一小组，讨论当斜率存在时，它是怎样随着倾斜角的变化而变化的？你是怎样验证得到的？ 结论：当倾斜角时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大.
设计意图 如上思考，建议要充分考虑到“恰当的时机使用恰当的技术”的问题。 通过生活的经验，引导学生利用斜率来刻画直线的倾斜程度，在探究的过程中不仅让学生利用生活经验来类比得到斜率的概念，也让学生通过几何画板直观体验，理解斜率的概念，突破本节重难点。
教学环节 （四） 师生活动 （四）深化理解 判断下列各题的对错. （1）任何一条直线的方向均可用直线的倾斜角刻画.（ ） （2）任何一条直线的方向均可用直线的斜率刻画. （ ） （3）直线的倾斜角越大，斜率就越大. （ ）
设计意图 加深理解倾斜角和斜率的概念。
教学环节 （五） 师生活动 （五）探究斜率公式，初步体会坐标法 问题4：已知直线将过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用点P1 、P2的坐标表示直线的斜率k？ 斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1 x2）的直线的斜率公式是：。
设计意图 将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。 同时通过几何画板平移直线，让学生能直观体会直线的平移不会改变直线的倾斜角和斜率。
板书设计 直线的确定； 一点一方向 直线的倾斜角； 利用角度来表示直线的方向 直线的斜率； 利用实数来表示直线的方向，更有利于几何的代数化 过两点直线斜率的计算公式.
教学反思 反思请多反思教学重难点用技术环境展示是否得到了优化、教学过程中的技术应用是否符合预期、学生互动是否满足效果、技术应用是否得到创新等问题。 本节课因为是解析几何的初始入门课， 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。在突破该难点的时候，几何画板同时具备数和形的特征，且能动态、直观的反映出直线的数与形之间的关系，因此这节课充分利用几何画板的优势，能让学生更好的突破该教学难点。通过几何画板的融合，这节课能很好的优化教学过程，降低对数学抽象的理解难度。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 如果本堂课上学生直接操作几何画板，体会直线数与形之间的联系，那效果会更好些.
课 题 直线的倾斜角与斜率
课时安排 1 课前准备 Ppt和几何画板
教材内容 分 析 （1）内容的本质 倾斜角和斜率分别是刻画直线倾斜程度的几何模型与代数模型. 沟通两者的桥梁是正切函数值，斜率是解析几何的重要概念之一. 正因为两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. （2）内容蕴含的数学思想和方法 “坐标法”和数形结合思想是本单元内容蕴含的主要思想方法. 同时，在探究倾斜角的和直线斜率的概念中渗透了分类讨论的思想. 将“两条直线平行和垂直的位置关系”转化为“斜率之间的关系”，此过程又体现了转化与化归的思想. （3）知识的上下位关系 直线倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何表示与代数表达，是用坐标法研究直线及其几何性质的基础．同学们在初中已经学习了一次函数图象、坡比、简单的三角函数知识以及“两点确定一条直线”的公理，为该块内容的学习奠定了一定的基础. 同时，该块内容中所蕴含的“几何问题代数化”思想是后继学习平面直角坐标系内“几何要素代数化”的开端，为学习下一章《圆锥曲线的方程》奠定基础. （4）内容的育人价值 学生在概念的建立和公式的推导中体会数形结合的思想，培养严谨的科学态度和求实的精神. 在探究两条直线平行或垂直的斜率关系过程中，认识知识之间的普遍联系和互相转化，用联系的观点看问题，体会数学文化的价值.
设计理念 建议从技术融合创新的思路上表达，描述整节课中期望利用何种技术，在教学教研、课堂应用、学生评价、有效反馈等哪个方面进行创新突破。 数学是研究数量关系和空间形式的科学,对直线的特征的探究大致也包括“数”和“形”两个方面。从“形”的方面说,可让学生通过充分观察、测量、计算、交流,了解直线的构图特点,梳理总结直线的构图规律,掌握辨表示直线的方法,并借助作图工具画不同类型的直线。从“数”的方面说,则可以提出一些问题让学生探究,也可以让学生自己提出问题进行探究,锻炼学生的探究能力及发现和提出问题的能力。本节课利用PPT和几何画板能很好地展现直线在“形”方面的特征，同时几何画板利用坐标系来构图，有能很好的直观反映直线的“数”的特征。结合几何画板和多媒体，让学生能体会数形结合的思想，让学生从直观认识到理性认识得到很好的过渡，数学思想和方法渗透的过程非常深入。学生不仅掌握了本节的基本知识点，同时对解析法处理几何问题的思想和方法有了深入的了解。 借助多媒体技术和现实生活中的实例，学生能够直观明确地对“数”与“形”产生初步体会. 同时，激励学生由探究入手，讲练结合、直观演示，增加教学的生动性和趣味性.
学情分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 由于学生首次接触解析几何的内容及研究方法，感动很陌生，所以采用启发、引导、发现探究式教学法，通过引导、启发学生，设置小梯度，大密度的问题串，逐一解决，循序渐进，使学生很自然，很容易达到本节课的学习目标，掌握平面解析几何的学习方法，通过结合利用几何画板软件的动态演示，激发学生的学习数学的学习兴趣和求知欲。 在此同时，引入解析几何创立的历史知识，讲解解析几何的开端，阐明解决几何问题的另一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。
教学目标 教学目标 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； （3）能根据斜率判定两直线平行或垂直. 目标解析 达成上述目标的标志是：（1）知道确定直线位置的几何要素是直线上的一点及其方向；（2）正确理解直线的倾斜角是指平面直角坐标系中以x轴为基准，直线与x轴相交时，x轴正方向与直线向上方向的夹角，理解直线的斜率就是直线倾斜角的正切值；（3）能够根据直线的倾斜角求出对应直线的斜率. 反之，能根据已知直线的斜率求出其对应倾斜角.同时，能够判断直线倾斜角变化情况与直线斜率变化情况之间的关系；（4）在具体问题情境中，根据直线上两点的坐标，利用直线的斜率公式，求出直线的斜率，并能够判断出直线倾斜角是锐角还是钝角；（5）理解两条直线平行和垂直的条件，会利用斜率判定两条直线平行或垂直.
教学重难点 知识重点：倾斜角和斜率的概念、斜率公式、两条直线平行和垂直的判定. 数学思想重点：数学结合思想的渗透. 数学方法重点：坐标法的应用 难点：斜率与倾斜角之间关系的突破
教学过程
教学环节（一） 师生活动 （一）知识背景 引入解析几何创立的历史知识，讲解解析几何的开端，阐明解决几何问题的另一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。
设计意图 设计在该环节里的技术应用的教研与技术融合的目的是否达到。如：“采用展示 石拱桥的图片导课”，让学生从实际生活中的几何图形中观察几何。 引入数学文化，利用短视频对数学史进行一个简单的讲解，使学生了解新内容特点和研究方法，发挥先行组织者的作用，揭示本课时的研究方法。
教学环节（二） 师生活动 （二）问题提出 1.直线的确定 问题1直线l过原点，并且与x轴的正方向所成的角等于30°，这样直线在平面直角坐标系中的位置就确定了. 2.直线的倾斜角 问题2 结合图象，在平面直角坐标系中，怎样刻画直线的方向呢？ 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角. 当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围为.
设计意图 设计在该环节的技术应用是否合理。同样需要考虑到技术应用是否能满足教学、是否能创新教学环节、是否符合学生学情等一些列问题。 从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法 在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过几何画板直观的，动态的反映各种类型的直线的倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，符合学生的认知规律，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。
教学环节 （三） 师生活动 （三）形成概念 在日常生活中，我们用坡角来刻画斜坡的倾斜程度，但我们也经常用坡度来刻画斜坡的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比. 首先考虑的直线的斜率. 观察右图，图中直线上的点O（0,0），P（1，k）,当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k,我们称k为这条直线的斜率. 再来考虑的直线的斜率. 观察右图中直线上的点O(0,0),P(1,k)(k<0), 当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k (k<0),我们称k为这条直线的斜率. 综上所述，对于过原点且不与x轴垂直的直线都可以用斜率来刻画它的方向，即. 问题3 对于不过原点且不与x轴垂直的直线是否都可以用斜率来刻画它的方向呢？ 结论：对于不与x轴垂直的任意直线都可以用斜率来刻画它的方向，它的斜率为. 交流总结： 前后同桌几人为一小组，讨论当斜率存在时，它是怎样随着倾斜角的变化而变化的？你是怎样验证得到的？ 结论：当倾斜角时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大.
设计意图 如上思考，建议要充分考虑到“恰当的时机使用恰当的技术”的问题。 通过生活的经验，引导学生利用斜率来刻画直线的倾斜程度，在探究的过程中不仅让学生利用生活经验来类比得到斜率的概念，也让学生通过几何画板直观体验，理解斜率的概念，突破本节重难点。
教学环节 （四） 师生活动 （四）深化理解 判断下列各题的对错. （1）任何一条直线的方向均可用直线的倾斜角刻画.（ ） （2）任何一条直线的方向均可用直线的斜率刻画. （ ） （3）直线的倾斜角越大，斜率就越大. （ ）
设计意图 加深理解倾斜角和斜率的概念。
教学环节 （五） 师生活动 （五）探究斜率公式，初步体会坐标法 问题4：已知直线将过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用点P1 、P2的坐标表示直线的斜率k？ 斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1 x2）的直线的斜率公式是：。
设计意图 将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。 同时通过几何画板平移直线，让学生能直观体会直线的平移不会改变直线的倾斜角和斜率。
板书设计 直线的确定； 一点一方向 直线的倾斜角； 利用角度来表示直线的方向 直线的斜率； 利用实数来表示直线的方向，更有利于几何的代数化 过两点直线斜率的计算公式.
教学反思 反思请多反思教学重难点用技术环境展示是否得到了优化、教学过程中的技术应用是否符合预期、学生互动是否满足效果、技术应用是否得到创新等问题。 本节课因为是解析几何的初始入门课， 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。在突破该难点的时候，几何画板同时具备数和形的特征，且能动态、直观的反映出直线的数与形之间的关系，因此这节课充分利用几何画板的优势，能让学生更好的突破该教学难点。通过几何画板的融合，这节课能很好的优化教学过程，降低对数学抽象的理解难度。 倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。 如果本堂课上学生直接操作几何画板，体会直线数与形之间的联系，那效果会更好些.