【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册 2.2基本不等式（含答案）

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【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册
2.2基本不等式
一、单选题
1．已知两个正数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．若正数 满足 ，则 的最小值是（　　）
A．24 B．28 C．30 D．25
3．已知，则的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．下列结论中，错用基本不等式做依据的是（　　）
A．a，b均为负数，则． B．．
C．． D．．
5．若，，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，，且，则的最小值为（　　）
A． B． C．9 D．7
二、多选题
7．下列四个结论中，正确的是（　　）
A．当时，函数的最小值为3
B．若，y>1，x+y=4，则函数的最小值为4
C．当时，函数有最小值为
D．当时，函数的是大值为0
8．若a，，，则下列说法正确的有（　　）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值是
三、填空题
9．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为　 　.
10．已知，则的值　 　0（选填“>，<，≥，≤”）．
11．已知 ， ，若函数 过点 ，则 的最小值是　 　.
12．若x＞﹣3，则 的最小值为　 　．
13．已知 ，若 ，则 的最小值为　 　．
14．已知a，b均为正数，且，则的最小值为　 　．
四、解答题
15．已知 ， ，求证：
（1） ；
（2） .
16．已知 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
17．已知，，且，证明.
（1）；
（2）
18．设 均为正数，且 求：
（1） 的最大值；
（2） 的最小值.
19．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数R，且的解集为[-1，1].
（1）求m的值；
（2）若，且，求证：
20．甲、乙两同学探讨了一个问题：已知正实数满足，求的最小值.
（1）甲给出的解法：由，得，所以.所以的最小值为.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
（2）结合上述问题探讨，试求函数的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
2．【答案】D
【知识点】基本不等式
3．【答案】D
【知识点】基本不等式
4．【答案】C
【知识点】基本不等式
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】≤
【知识点】基本不等式
11．【答案】
【知识点】基本不等式
12．【答案】
【知识点】基本不等式
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】（1）∵ ，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立，
∴ ；
（2）由基本不等式 ，
∴ ，同理 ， ，
∴ ，当且仅当a=b=c等号成立
∴ ．
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
16．【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为9．
（2）解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
因为 恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
17．【答案】（1）证明：，
因为，，则，则，当时等号成立，
所以；
（2）证明：
而，当时等号成立，
所以
【知识点】基本不等式
18．【答案】（1）解：由
得
由已知得
即 当且仅当 等号成立
的最大值为
（2）解：因为 当且仅当 等号成立
所以
即 ， 的最小值为1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】（1）解：不等式即，即，解得，
又的解集是，所以，综上，；
（2）解：由(1)知，，
所以，
.
当且仅当即时等号成立.
综上，.
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）解：第一次取等条件是，第二次取等条件是，两次取等条件不一致，所以错误.
正确解法如下：
==
因为均为正实数，所以，
由基本不等式得
当且仅当，即时取等.
故当时取得最小值，为.
（2）解：令，则由得，且
由及可知
由基本不等式得
当且仅当即时取等.
故当时，取得最小值，为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
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