【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册 3.1函数的概念及其表示（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册
3.1函数的概念及其表示
一、单选题
1．函数y= 的值域是（　　）
A． B．（﹣∞，2] C． D．[0， ]
2．函数y= 的定义域为（　　）
A．（﹣2，1） B．[﹣2，1] C．（0，1） D．（0，1]
3．设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t（）
A．若t确定，则唯一确定 B．若t确定，则+2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则+a唯一确定
4．函数 的定义域是 （　　）
A． B．
C． D．
5．函数 的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数 （ 是自然对数的底数）.若 ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．有以下判断，其中是正确判断的有（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝表示同一函数
B．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．f（x）＝x2﹣2x+1与g（t）＝t2﹣2t+1是同一函数
D．若f（x）＝|x﹣1|﹣x，则f（f（））＝0
8．若函数的定义域为D，若对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（　　）
A．函数是“Ⅰ型函数”
B．函数是“Ⅰ型函数”
C．若函数是“Ⅰ型函数”，则函数也是“Ⅰ型函数”
D．已知，若，是“Ⅰ型函数”，则
三、填空题
9．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是　 　．
10．函数的定义域是　 　.
11．已知 ，则函数 的解析式为　 　．
12．函数 的定义域是　 　．
13．已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是　 　.
14．已知定义在上的函数，其中，如果函数与函数的值域相同，则的取值范围是　 　.
四、解答题
15．已知函数 满足 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的值域.
16．函数 满足
（1）求 的解析式
（2）集合A= ，写出集合A的所有子集
17．已知函数f（x）满足2f（1﹣x）﹣f（x﹣1）=x2﹣5x+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a∈R，设P：M={x|x＜a}，N={x|﹣1＜x＜1}，且M∪（ RN）=R；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数，如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩ RB（其中R为全集）
18．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D再回到A，设x表示P点的行程，f（x）表示PA的长，g（x）表示△ABP的面积．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）的表达式并作出g（x）的简图．
19．已知函数f（x）= 的值域为[0．+∞），求实数m的取值范围．
20．取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：
设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
（1）直接写出和的值；
（2）设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
（3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的值域
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
3．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
4．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
5．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化
6．【答案】C
【知识点】函数的值域
7．【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数的概念及其构成要素
9．【答案】（0,1）
【知识点】函数的定义域及其求法
10．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
11．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
13．【答案】
【知识点】函数的值域
14．【答案】
【知识点】函数的值域
15．【答案】（1）解：令 ,则 ,
则 .
因为 ,所以 ,解得 .
故 的解析式为 .
（2）由（1）知, 在 上为增函数.
因为 , ,
所以 在 上的值域为
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
16．【答案】（1）解：令 ，所以 ，所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以 ，所以集合 的所有子集为： .
【知识点】子集与真子集；函数解析式的求解及常用方法
17．【答案】（1）解：令x﹣1=t，则1﹣x=﹣t，x=t+1，
由2f（1﹣x）﹣f（x﹣1）=x2﹣5x+2，
得：2f（﹣t）﹣f（t）=（t+1）2﹣5（t+1）+2=t2﹣3t﹣2，①，
令﹣t=t，则2f（t）﹣f（﹣t）=t2+3t﹣2，②，
结合①②解得：f（t）=t2+t﹣2，
故f（x）=x2+x﹣2
（2）解：∵M={x|x＜a}，N={x|﹣1＜x＜1}，且M∪（ RN）=R，
∴a≥1；故A=[1，+∞），
由Q：∵g（x）=x 2+（1﹣a）x﹣2
∴ ≥2或 ≤﹣2，
∴B={a|a≥5或a≤﹣3}，CRB=（﹣3，5）
∴A∩CRB=[1，5）
【知识点】交、并、补集的混合运算；函数解析式的求解及常用方法
18．【答案】（1）解：如原题图，当P在AB上运动时，PA=x；
当P点在BC上运动时，由Rt△ABD?可得PA=
当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=
当P点在DA上运动时，PA=4﹣x，
故f（x）的表达式为：
f（x）=
（2）解：g（x）的简图：
由于P点在折线ABCD上不同位置时，如原题图，
当P在线段AB上时，即0≤x＜1时，S△ABP的面积S=0；
当P在线段BC上时，即1＜x≤2时，S△ABP= AB BP= （x﹣1）；
当P在线段CD上时，即2＜x≤3时，S△ABP= 1 1=
当P在线段DA上时，即3＜x≤4时，S△ABP= （4﹣x）
故g（x）= ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
19．【答案】解：由题意：函数f（x）= 是一个复合函数，设f（x）= （u≥0）值域为[0．+∞），则u=（m2﹣1）x2﹣（1﹣m）x+1的值域能取到[0．+∞）即umin≤0可满足题意．
∴m2﹣1＞0．解得：m＞1或m＜﹣1．
∵u=（m2﹣1）x2﹣（1﹣m）x+1，开口向上，对称轴x= ，
那么： ≤0
整理得：3m2+8m+5≤0
解得：﹣ ≤m≤﹣1
当m=﹣1时，u=（m2﹣1）x2﹣（1﹣m）x+1=﹣2x+1，值域能取到[0．+∞），故m=﹣1成立．
所以：﹣ ≤m≤﹣1．
故实数m的取值范围为[﹣ ，﹣1]
【知识点】函数的值域
20．【答案】（1）解：由，故，故，
；
（2）证明：因为，等式两边同时乘b，得．
因为a，b都为整数，所以也为整数，
又，所以．所以，得证．
假设b，，…，都小于等于a，因为，
所以，所以．
因为，所以，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为．
（3），将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．
对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
将这些数都提取出来，此时p的倍数中还有可以提取出的数，
注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来；
同理，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
依此这样进行下去，则质因数的指数，得证．
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的表示方法
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)