【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册 3.1函数的基本性质（含答案）

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【高中数学人教A版（2019）同步练习】必修第一册
3.1函数的基本性质
一、单选题
1．下列函数是奇函数的是（　　）
A．y=x﹣1 B．y=2x2﹣3 C．y=x3 D．y=2x
2．已知函数，则是（　　）
A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于（　　）
A．x＋x4 B．－x－x4 C．－x＋x4 D．x－x4
4．下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．设奇函数 在 上是增函数，且 ，若对所有的 及任意的 都满足 ，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．函数 （　　）
A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数
C．既是偶函数又是奇函数 D．既不是偶函数也不是奇函数
二、多选题
7．已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数 与 （ 且 ）的图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值可以是下列数据中的（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数 在定义域上是奇函数，则实数a的值为　 　．
10．若函数为奇函数，则　 　．
11．函数在上的单调递增区间为　 　．
12．已知偶函数 在 ， 上单调递减，且 （2） ，则不等式 的解集为　 　.
13．已知定义在 上的偶函数满足 ，若 ，则实数 的取值范围是　 　．
14．已知存在 ，不等式 成立，则实数a的取值范围是　 　.
四、解答题
15．已知 ．
①若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围；
②若函数f（x）在区间（﹣∞，1﹣ ）上是增函数，求实数m的取值范围．
16．设函数 ，且 .
（1）判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数 在区间 上单调递增.
17．已知函数 是定义域 上的奇函数.
（1）确定 的解析式；
（2）用定义证明： 在区间 上是减函数；
（3）解不等式 .
18．在①使“”是“”的充分不必要条件，②使“”是“”的必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
定义在R上的函数满足：对任意的，有，．集合．
请写出一个非空集合B，____________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）在R上的单调性并证明；
（2）设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同，当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），若对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数.
（1）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围；
（2）当时，求证：对于定义域内的实数，都有.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】奇函数
2．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
3．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数
4．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
5．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
7．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明
8．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质
9．【答案】±1
【知识点】奇函数
10．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
11．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
12．【答案】 ， ，
【知识点】奇偶性与单调性的综合
13．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
15．【答案】解：①∵f（x）值域为R，令g（x）=x2﹣mx﹣m，
则g（x）取遍所有的正数
即△=m2+4m≥0
∴m≥0或m≤﹣4；
②由题意知
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
16．【答案】（1）解：由 ，得 ，则 ，所以 .
为奇函数.
理由如下：
的定义域为 ， .
（2）证明：设 ， 且 ，
则 .
因为 ，所以 ， .
所以 ，故 在区间 上单调递增.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
17．【答案】（1）解：由于函数 是定义域 上的奇函数，则 ，
即 ，化简得 ，因此，
（2）解：任取 、 ，且 ，即 ，
则 ，
， ， ， ， ， ， .
， ，因此，函数 在区间 上是减函数；
（3）解：由（2）可知，函数 是定义域为 的减函数，且为奇函数，
由 得 ，所以 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合
18．【答案】解：由题意可知定义在R上的函数 满足：对任意的 ，有 ，
则 为单调递增函数，令函数 ，
则该函数也单调递增， 由 ，
因为 ，则 ，
故 的解集为 ，
则 ；
若选①，则A B，B可以为 ； 若选②，则B A，B可以为 ；
【知识点】集合间关系的判断；函数单调性的判断与证明
19．【答案】（1）解：由题意：函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ），令x=y=0，可得f（0）=0．设x1＞x2，令x=x1，y=x2，
则 ，
可得：则 ，即 ＞0．
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
（2）解：令x=0，y=2x，
可得：f（0）=0=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x）．
∴f（x）是奇函数，故得g（x）也是奇函数．
当x≥0时，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），
即g（x）=
当x＜0时，g（x）的最大值为m．
对任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，
只需要：1≥3m﹣（﹣2m），
解得： ．
∵m＞0
故得实数m的取值范围是（0， ]．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
20．【答案】（1）解：由于，
而不等式的解集即为函数的图象位于的图象上方对应的的范围.画出对应的图象，如图所示.若，则，从而.故实数的取值范围为.
（2）证明：，则问题等价于：对任意的，，恒有
当时，关于单调递增，从而
由于，则（端点为方程的两根.）
当时，，则设，则，显然当时，，成立.
当时，，则设，则，显然当时，，成立.
综合上述，对于定义域内的实数，都有.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质
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