准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期末质量检测
数 学 试 卷
（考试时间：120 分钟；总分：150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1+2i3
1．复数 = （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
1 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某校运动会，一位射击运动员 10 次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则
下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的平均数为 8 B．这组数据的众数为 7
C．这组数据的极差为 4 D．这组数据的第 80 百分位数为 9
→ →
3．已知向量 , 的夹角为45°, = 1, = 2，则 2 =（ ）
A． 5 B． 7 C． 13 D．5
4π
4．已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
3
A．6π B．8π C．10π D．12π
5．已知非零向量 ， 满足 2 + ⊥ 2 ，且向量 3在向量 上的投影向量是 ，则 与 的角是（ ）
4
π π π 5π
A． B． C． D．
6 3 2 6
6．学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，
第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次
没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则
直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线
3 3
处投篮命中率为 ，在三分线处投篮命中率为 ，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三
4 5
次就结束考试得概率为（ ）
27 33 9 3
A． B． C． D．
80 80 50 40
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7．故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图 1，它是
由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体
如图 2所示.已知三楼柱 和 是两个完全
相同的直三棱柱，侧棱 与 互相垂直平分， , 交于点 I，
= = ， ⊥ ，则点 到平面 的距离是（ ）
A 3． B 1． C 2． D 2．
3 2 2 4
8．如图，直线 1// 2，点 是 1， 2之间的一个定点，点 到 1， 2的距离分别为 2
和 6．点 是直线 2上一个动点，过点 作 ⊥ ，点 , 在线段 上运动（包
括端点）且 = 1，若△ 的面积为 2 3．则 的最小值为（ ）
11 3 2 7
A. 3 B． C． D．
4 2 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若 ， 是共线的单位向量，则 = B．若 ， 是相反向量，则 =
C．若 + = 0 ，则向量 ， 共线 D．若 // ，则点 ， ， ， 必在同一条直线上
10．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设 5个盒子分别被断开为事件 A，B，C，D，E. 盒中所
示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ）
1
A．A，B 两个盒子串联后畅通的概率为
3
1
B．D，E 两个盒子并联后畅通的概率为
30
5
C．A，B，C 三个盒子混联后畅通的概率为
6
29
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
36
11．如图，已知二面角 的棱 上有 , 两点， ∈ , ⊥ , ∈ , ⊥ ，且 = = ，
则（ ）
3
A．当 ⊥ 时，直线 与平面 所成角的正弦值为
3
B．当二面角 的大小为60 时，直线 与 所成角为45
5 5π
C．若 = 2 = 2，则三棱锥 的外接球的体积为
3
2 7
D．若 = 2 ，则二面角 的余弦值为
7
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．若复数 满足 = i2020 + i2021，则复数 = ．
1+i
13．为深入贯彻落实习近平总书记对福建平潭工作“三个着力”重要
要求，福建平潭持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显
著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央
文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从
本次问卷中随机抽取了 50 名居民的问卷结果，统计其得分数据，将
所得 50 份数据的得分结果分为 6组：
40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100
并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第 70 百分位数为 .
14．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，
将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，
且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角
形的四面体）.在如图所示的堑堵 1 1 1中， 1 = =
2 3, = 2, = 4,且有鳖臑 C1-ABB1和鳖臑 1 ，现将鳖臑 1
沿线 BC1翻折，使点 C与点 B1重合，则鳖臑 1 经翻折后，与鳖
臑 1 1拼接成的几何体的外接球的表面积是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）设锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 2 sin .
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3 3， = 5，求 .
16．（15 分）如图，在三棱锥 中， , , 分别是棱 , , 的中点， = = = = 2，
= = 2.
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥平面 ；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值.
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17.（15 分）2023 年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随
机抽取了 80 名，统计他们的成绩（满分 100 分），其中成绩不低于 80 分的学生被评为“航天达人”，
将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)若该中学参加这次竞赛的共有 3000 名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的上四分位数；
(3)若在抽取的 80 名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于 70 分的学生中随机抽取 6人，再
从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
18．（17 分）如图①所示，在 Rt △ 中，∠ = 90°，D，E分别是 AC，AB 上的点，且 // , = 2 =
3 = 6．将△ 沿 DE 折起到△ 1 的位置，使 1 ⊥ ，如图②所示．M是线段 1 的中点，P是
1 上的点， //平面 1 ．
1
(1)求 的值．
1
(2)证明：平面 ⊥平面 1 ．
(3)求点 P到平面 的距离．
19．（17 分）如图，在四棱台 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，底面 为平行四边形， ⊥ 1 ，
且 , , 分别为线段 1, 1 , 的中点.
(1)证明： 1 = 1 .
(2)证明：平面 ∥平面 1 .
π
(3)若 = 2 1 1, 1 = 1,∠ = ，当 1 与平面 1 所成的角最大时，求四棱台 3
1 1 1 1的体积 .
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2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期末质量检测
草 稿 纸
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数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A A A B B B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项
中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0 分。
注意：全部选对的得 6 分，第 9 题选对其中一个选项得 3 分，第 10、11 题选对
其中一个选项得 2 分。有错选的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
100
12．2i 13．84.55 14．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分）
解：（1）∵ = 2 sin ，
由正弦定理可得 = ，则 sin = 2sin sin ，
sin sin
又在△ 中，sin ≠ 0，∴ sin = 1，
2
又△ 为锐角三角形，∴ = 30°．
（2）在△ 中， = 3 3， = 5，
3
由（1）知，cos = cos30° = ，
2
∴由余弦定理， 2 = 2 + 2
2
2 cos = 3 3 + 52 2 × 3 3 × 5 × 3 = 27 + 25
2
45 = 7，则 = 7．
16．（本题满分 15分，第一小题 5分，第二小题 5分，第三小题 5分）
解：（1）由已知得 // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 ；
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（2）连接 .
∵ = , = , ∴ ⊥ ，
∵ = , = , ∴ ⊥ ，
在△ 中，由已知可得 = 1, = 3，而 = 2,
∴ 2 + 2 = 2, ∴ ∠ = 90 ,即 ⊥ ，
∵ ∩ = , 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
（3）连结 , ，由 为 的中点知 ∥ , ∥ ，
∴直线 与 所成的锐角就是异面直线 与 所成的角.
在△ 1 2中， = = , = 1 = 1,
2 2 2
∵ 1是直角△ 斜边 AC 上的中线，∴ = = 1,
2
2 + 2 2 2
∴ cos∠ = 2 = ,4
∴ 2异面直线 与 所成角的所成角的余弦值是 .
4
17．（本题满分 15分，第一小题 5分，第二小题 5分，第三小题 5分）
解：（1）由频率分布直方图可知，
成绩在[80,100]内的频率为 0.020 × 10 + 0.010 × 10 = 0.3，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为 3000 × 0.3 = 900人；
（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40,50)内的频率为 0.005 × 10 = 0.05，
成绩在[50,60)内的频率为 0.015 × 10 = 0.15，
成绩在[60,70)内的频率为 0.020 × 10 = 0.2，
成绩在[70,80)内的频率为 0.030 × 10 = 0.3，
成绩在[80,90)内的频率为 0.020 × 10 = 0.2，
所以成绩在 80分以下的学生所占的比例为 0.05 + 0.15 + 0.2 + 0.3 = 70%，
成绩在 90分以下的学生所占的比例为 0.05 + 0.15 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 90%，
0.75 0.7
所以成绩的上四分位数一定在[80,90)内，即 80 + 10 × = 82.5，
0.2
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的 75%分位数为 82.5；
（3）因为 6 × 0.3 = 3，6 × 0.2 = 2，6 × 0.1 = 1，
0.3+0.2+0.1 0.3+0.2+0.1 0.3+0.2+0.1
所以从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]内的学生中分别抽取了 3人，2人，1人，
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其中有 3人为航天达人，设为 , , ，
有 3人不是航天达人，设为 , , ，
则从 6人中选择 2人作为学生代表，
有 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ，
, , , , , 共 15种，
其中 2人均为航天达人为 , , , , , 共 3种，
3 1
所以被选中的 2人均为航天达人的概率为 = ．
15 5
18．（本题满分 17分，第一小题 5分，第二小题 5分，第三小题 7分）
解：（1）令平面 交棱 1 于点 ，连接 , ，由 // ， 平面 1 ，
平面 1 ，
则 //平面 1 ，而平面 ∩平面 1 = ， 平面 ，于是 // ，
又 //平面 1 ，平面 ∩平面 1 = ， 平面 ，于是 // ，
因此四边形 是平行四边形， = ，而 = 3, = 2， // ，
1 = 所以 = 2.
1 3
（2）在图①的 Rt △ 中，由 // , = 2 = 3 = 6，得 = 4, = 2，
于是 1 = 4, = 2，而 1 ⊥ ，则 2 21 = 1 = 2 3，∠ 1 = 30 ，
又 M 是线段 1 的中点，则 = 1，∠ 1 = ∠ 1 = 30 ，
1 1 = = 2由（ ）得 ，则 4 3 2 3
3 1
= , = ，tan∠ = = 3，
1 3 3
则有∠ = 60 ，∠ + ∠ = 90 ，因此 ⊥ ，
显然 ⊥ , ⊥ 1 ， ∩ 1 = , , 1 平面 1 ，则 ⊥平面 1 ，
而 // ，因此 ⊥平面 1 ，又 平面 1 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，从而 ⊥平面 ，又 // ，
则 ⊥平面 ，而 平面 1 ，
所以平面 ⊥平面 1 .
（3）由（1）知 // ，又 平面 ， 平面 ，则 //平面 ，
即点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 = sin30 = 1 × 2 3 = 3，
2 3 3
所以点 P 到平面 3的距离为 .
3
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19．（本题满分 17分，第一小题 5分，第二小题 12分）
（1）证明：如图，连接 ，与 交于点 ，
因为 1 ⊥平面 , 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ 1 , 1 ∩ 1 = 1，所以 ⊥平面 1 ，
因为 平面 1 ，所以 ⊥ ，
因为四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形，则 = ，
因为 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ , 1 ⊥ ，
所以 21 =
2 2 2
1 + = 1 +
2 = 21 ，即 1 = 1 .
（2）证明：延长 交 1于点 ，连接 ，
由中位线性质可得 ∥ 1 1，因为 1 1 ∥ ∥ ，所以 ∥ ，
因为 平面 1 , 平面 1 ，
所以 ∥平面 1 ，所以 为 1的中点，则 ∥ 1 ，
因为 平面 1 , 1 平面 1 ，所以 ∥平面 1 ，
因为 ∩ = ，所以平面 ∥平面 1 .
（3）设 = , > 0.因为∠ = π，所以 = = = ，则 1 = 2 + 1，3
1 = 1 = 2 + 1,
1 2 1 2 1 3 4 2
△ 1 = + 1 = + .2 4 2 4
设点 到平面 1 的距离为 , 1 与平面 1 所成的角为 ，则 sin = = ， 1 2+1
1 1 1 3 3
因为 2 2 1 = 1 △ = △ = × = ，3 3 3 4 12
1 1 = △ 1 =
1 1 3 4 + 2，
3 3 2 4
1 1 3所以 4 + 2 = 3 2，得 = 3 ，
3 2 4 12 3 2+4
3
2
所以 sin = 3 +4 = 3 ≤ 3 = 3 = 2 3 3，
2+1 3 2+ 4 +7 2 12+7 2+ 3
2
4 = 4 2 = 2 3当且仅当 ，即 时，等号成立，此时
3 3 1
与平面 1 所成的角最大，
1 3 1 31 1 1 1的体积 = × 1 × 2 × 2 + 2 × × 2 +3 4 4 4
2 × 3 2 × 2 × 1 × 3 2 = 1 3 × 2 3 + 1 × 3 × 2 3 + 3 × 2 3 × 1 × 3 × 2 3
4 4 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3
7
= .
12
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