浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2024高一下·浙江期中）在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·浙江期中）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024高一下·浙江期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，
D．，，，
4．（2024高一下·浙江期中）在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ）
A．30° B．45° C．135° D．90°
5．（2024高一下·浙江期中）在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．（2024高一下·浙江期中）已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·浙江期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·浙江期中）折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．若，则
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高一下·浙江期中）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·浙江期中）对于，有如下判断，其中正确的是
A．若，则为等腰三角形（ ）
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若，则
11．（2024高一下·浙江期中）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为
B．球内接圆柱的侧面积的最大值为
C．球在正方体外部的体积小于
D．球在正方体外部的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·浙江期中）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 .
13．（2024高一下·浙江期中）已知平面向量，，不共线，且两两所成角相等，若，，，则的值为 .
14．（2024高一下·浙江期中）如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·浙江期中）已知复数，，是虚数单位.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
16．（2024高一下·浙江期中）如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
17．（2024高一下·浙江期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.
（1）试用向量，表示，；
（2）若，，求向量，夹角的余弦值.
18．（2024高一下·浙江期中）在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面.
（1）当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面；
（2）当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值.
19．（2024高一下·浙江期中）在中，角，，的对边分别为，，.若，.
（1）若为锐角三角形时，求边的取值范围；
（2）求面积的最大值；
（3）在（1）的条件下，若，分别为，的中点，连接，交于点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，在复平面对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：平面向量，，若，则，
即，解得.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由图可知：
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，，，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据点、线、面位置关系的符号表示判断即可.
4．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，，由正弦定理，可得，解得，因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据正弦定理求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：由题意可得：；
.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的加法法则求解即可.
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设圆台上、下底面圆心分别为，如图所示：
则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，所以，
所以，所以与全等，
所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，则，，
又，所以，解得，
所以该球的表面积为.
故答案为：B.
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，再代入球表面积公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【解答】解：因为是边上的中线，所以，
则，
由正弦定理得，解得，，
则，
，
，
则
，
又因为为锐角三角形，，所以，即，
所以，所以，
所以当时，取得最大值，的最小值为，
所以的最大值为，最小值为，即中线的取值范围为．
故答案为：B．
【分析】由题意，利用向量加法运算及向量的数量积模的运算，推出，再利用正弦定理与三角恒等变换，将表示为角的三角函数，最后根据正弦函数的性质算出的取值范围即可．
8．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、若，则，两边平方可得，
即，解得，所以，则，故A正确；
B、，故B正确；
C、取的中点，连接，如图所示：
则，在，易得，则，
故，故C正确
D、若，，故D错误.
故答案为：D.
【分析】若，可得，两边平方可求得即可判断A；利用，计算即可判断B；取的中点，连接，利用，计算即可判断C；，计算即可判断D.
9．【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；单位向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、因为，为单位向量，所以，方向不确定，故A错误；
B、向量，是单位向量，夹角不一定为直角，故B错误；
C、因为，时单位向量，所以，故C正确；
D、只有单位向量，相等时，，即不一定成立，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据单位向量的定义、向量垂直以及向量的数量积定义逐项分析判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、若，则，即为等腰三角形，故A正确；
B、 若，则或，即或，
则为等腰或直角三角形，故B正确；
C、在中，，因为在上单调递减，所以，故C正确；
D、当为钝角，为锐角时，满足，但，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据正弦定理即可判断A；根据正弦函数的性质即可判断B；根据余弦函数的单调性即可判断C；取特殊值即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、易知正方体的棱切球的半径为，则球的体积为，故A错误；
B、记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为，
则内接圆柱的侧面积为：，
当且仅当时等号成立，则球的内接圆柱的侧面积最大值为，故B正确；
C、球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，
即，故C正确；
D、球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，
每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，
则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：，
得内接圆锥的侧面积为：，
所以6个球冠的表面积大于，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，可得正方体的棱切球的半径为，再逐项分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，
则复数的共轭复数.
故答案为：.
【分析】先根据复数的除法运算化简求得复数z，再求共轭复数即可.
13．【答案】6
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为平面向量，，不共线，且两两所成角相等，所以，， 两两成120°角，
由，，设，，，则，，可得.
故答案为：6.
【分析】由题意，可得向量，， 两两所成夹角，结合题意，设向量，， 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设孔明灯的高度，由题意可得：，，，
由基线上靠近的四等分点处有一点，且，则，
由余弦定理得：，
，
又因为，所以，
即，解得，因为，所以.
故答案为：.
【分析】设孔明灯的高度，由题意，可得，，，再利用余弦定理求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，解得.
（2）解：因为，所以，解得，即的范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可；
（2）由复数的几何意义列不等式求解即可.
16．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为，平面，平面，所以平面.
（2）解：由（1），因为，所以即为直线与直线所成角，
设正方体棱长为2，在中，，，
，所以，即直线与直线所成角的余弦值为 .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由（1）结合题意可得为直线与直线所成角，设正方体的棱长，在中，计算即可.
17．【答案】（1）解：，
.
（2）解：建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
故.
【知识点】平面向量加法运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量加法的三角形法则化简即可；
（2）建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量夹角公式求解即可.
18．【答案】（1）解：因为，分别是线段，的中点，所以，
又，从而，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，又平面，，
，平面，所以平面平面.
（2）解：过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，，，平面，所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
设，，则，，又棱长为2，
则，在梯形中，，
，
当时，线段的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由，分别是线段，的中点，推得，根据线面平行判定推出平面，再根据面面平行的性质证明即可；
（2）由题意，根据线面平行的判定以及面面平行的性质推出平面平面，设，在梯形中，可得的表达式，利用二次函数的性质求最小值即可.
19．【答案】（1）解：因为，，，所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
（2）解：由余弦定理
又，，所以，
从而，
，所以，当时，.
（3）解：因为，，
所以，
又因为，，
所以，
令，则，
【知识点】函数单调性的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，根据锐角三角形的性质列式求解即可；
（2）由题意，利用余弦定理求得，结合同角三角函数基本关系求得，代入三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可；
（3）根据向量的中线表示，可得，的夹角的余弦值的表达式，利用二次函数的性质求的取值范围即可.
1 / 1浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2024高一下·浙江期中）在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，在复平面对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
2．（2024高一下·浙江期中）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：平面向量，，若，则，
即，解得.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
3．（2024高一下·浙江期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，
D．，，，
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由图可知：
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，，，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据点、线、面位置关系的符号表示判断即可.
4．（2024高一下·浙江期中）在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ）
A．30° B．45° C．135° D．90°
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，，由正弦定理，可得，解得，因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据正弦定理求解即可.
5．（2024高一下·浙江期中）在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：由题意可得：；
.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的加法法则求解即可.
6．（2024高一下·浙江期中）已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：设圆台上、下底面圆心分别为，如图所示：
则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，所以，
所以，所以与全等，
所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，则，，
又，所以，解得，
所以该球的表面积为.
故答案为：B.
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，再代入球表面积公式求解即可.
7．（2024高一下·浙江期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；正弦定理
【解析】【解答】解：因为是边上的中线，所以，
则，
由正弦定理得，解得，，
则，
，
，
则
，
又因为为锐角三角形，，所以，即，
所以，所以，
所以当时，取得最大值，的最小值为，
所以的最大值为，最小值为，即中线的取值范围为．
故答案为：B．
【分析】由题意，利用向量加法运算及向量的数量积模的运算，推出，再利用正弦定理与三角恒等变换，将表示为角的三角函数，最后根据正弦函数的性质算出的取值范围即可．
8．（2024高一下·浙江期中）折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．若，则
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、若，则，两边平方可得，
即，解得，所以，则，故A正确；
B、，故B正确；
C、取的中点，连接，如图所示：
则，在，易得，则，
故，故C正确
D、若，，故D错误.
故答案为：D.
【分析】若，可得，两边平方可求得即可判断A；利用，计算即可判断B；取的中点，连接，利用，计算即可判断C；，计算即可判断D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高一下·浙江期中）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】向量的模；单位向量；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、因为，为单位向量，所以，方向不确定，故A错误；
B、向量，是单位向量，夹角不一定为直角，故B错误；
C、因为，时单位向量，所以，故C正确；
D、只有单位向量，相等时，，即不一定成立，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据单位向量的定义、向量垂直以及向量的数量积定义逐项分析判断即可.
10．（2024高一下·浙江期中）对于，有如下判断，其中正确的是
A．若，则为等腰三角形（ ）
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、若，则，即为等腰三角形，故A正确；
B、 若，则或，即或，
则为等腰或直角三角形，故B正确；
C、在中，，因为在上单调递减，所以，故C正确；
D、当为钝角，为锐角时，满足，但，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据正弦定理即可判断A；根据正弦函数的性质即可判断B；根据余弦函数的单调性即可判断C；取特殊值即可判断D.
11．（2024高一下·浙江期中）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为
B．球内接圆柱的侧面积的最大值为
C．球在正方体外部的体积小于
D．球在正方体外部的面积大于
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、易知正方体的棱切球的半径为，则球的体积为，故A错误；
B、记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为，
则内接圆柱的侧面积为：，
当且仅当时等号成立，则球的内接圆柱的侧面积最大值为，故B正确；
C、球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，
即，故C正确；
D、球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，
每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，
则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：，
得内接圆锥的侧面积为：，
所以6个球冠的表面积大于，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，可得正方体的棱切球的半径为，再逐项分析判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·浙江期中）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，可得，
则复数的共轭复数.
故答案为：.
【分析】先根据复数的除法运算化简求得复数z，再求共轭复数即可.
13．（2024高一下·浙江期中）已知平面向量，，不共线，且两两所成角相等，若，，，则的值为 .
【答案】6
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为平面向量，，不共线，且两两所成角相等，所以，， 两两成120°角，
由，，设，，，则，，可得.
故答案为：6.
【分析】由题意，可得向量，， 两两所成夹角，结合题意，设向量，， 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算求解即可.
14．（2024高一下·浙江期中）如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 .
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设孔明灯的高度，由题意可得：，，，
由基线上靠近的四等分点处有一点，且，则，
由余弦定理得：，
，
又因为，所以，
即，解得，因为，所以.
故答案为：.
【分析】设孔明灯的高度，由题意，可得，，，再利用余弦定理求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·浙江期中）已知复数，，是虚数单位.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，解得.
（2）解：因为，所以，解得，即的范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可；
（2）由复数的几何意义列不等式求解即可.
16．（2024高一下·浙江期中）如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为，平面，平面，所以平面.
（2）解：由（1），因为，所以即为直线与直线所成角，
设正方体棱长为2，在中，，，
，所以，即直线与直线所成角的余弦值为 .
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由（1）结合题意可得为直线与直线所成角，设正方体的棱长，在中，计算即可.
17．（2024高一下·浙江期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.
（1）试用向量，表示，；
（2）若，，求向量，夹角的余弦值.
【答案】（1）解：，
.
（2）解：建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
故.
【知识点】平面向量加法运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量加法的三角形法则化简即可；
（2）建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量夹角公式求解即可.
18．（2024高一下·浙江期中）在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面.
（1）当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面；
（2）当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值.
【答案】（1）解：因为，分别是线段，的中点，所以，
又，从而，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，又平面，，
，平面，所以平面平面.
（2）解：过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，，，平面，所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
设，，则，，又棱长为2，
则，在梯形中，，
，
当时，线段的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由，分别是线段，的中点，推得，根据线面平行判定推出平面，再根据面面平行的性质证明即可；
（2）由题意，根据线面平行的判定以及面面平行的性质推出平面平面，设，在梯形中，可得的表达式，利用二次函数的性质求最小值即可.
19．（2024高一下·浙江期中）在中，角，，的对边分别为，，.若，.
（1）若为锐角三角形时，求边的取值范围；
（2）求面积的最大值；
（3）在（1）的条件下，若，分别为，的中点，连接，交于点，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，，，所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
（2）解：由余弦定理
又，，所以，
从而，
，所以，当时，.
（3）解：因为，，
所以，
又因为，，
所以，
令，则，
【知识点】函数单调性的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，根据锐角三角形的性质列式求解即可；
（2）由题意，利用余弦定理求得，结合同角三角函数基本关系求得，代入三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可；
（3）根据向量的中线表示，可得，的夹角的余弦值的表达式，利用二次函数的性质求的取值范围即可.
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