广西重点高中联考2023-2024学年高二下学期五月联合调研测试数学试卷(含答案)

广西重点高中联考2023-2024学年高二下学期五月联合调研测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．已知向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若m，n是两条不同的异面直线，，，，，则
D.若，，则m与所成的角和n与所成的角互余
4．已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为8，则等于( )
A. B. C. D.
5．已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6．某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为；选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为( )
A. B. C. D.
7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，的平分线AD的长为，则BC边上的高AH的长为( )
A. B. C. D.
8．已知点，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的( )
A.众数为12 B.平均数为14
C.中位数为14.5 D.第25百分位数为12
10．将函数向右平移个单位，得到函数，下列关于的说法一定正确的是( )
A.当时，关于对称
B.关于对称
C.当时，在上单调递增
D.若在上有3个零点，则的取值范围为
11．已知定义域为R的函数，满足，且，，则( )
A. B.是奇函数
C. D.
三、填空题
12．文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为（用数字作答）________.
13．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为________.
14．已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知为正项数列的前n项和，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：.
16．2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差.
附：，.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．四棱锥中，平面平面，，，，，，，M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点.
(1)证明：A、B、M、N四点共面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积比.
18．已知函数，其中.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若函数存在两个极值点.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，求的取值范围.
19．已知定点，动点N在直线上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P、A、B是曲线C上的点，且.
（i）若点P的坐标为，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若，求面积的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，
需满足，解得.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为，以.
又，，所以.设与的夹角为.
则，所以，
即与的夹角为.
故选：C.
3．答案：C
解析：A.，，则，又，则，所以不正确，A不正确；
B.，，，则或，故B不正确；
C.若m，n是两条不同的异面直线，，，，，则，C正确.
D.由时，m，n与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与，所成的角相等，m与，所成的角相等，
因此m与所成的角和n与所成的角不一定互余，D不正确.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为与的等差中项为8，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，或，
又因为为递增的等比数列，则，则，
故选：D.
5．答案：B
解析：函数的定义域为R，
，即函数是偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
6．答案：A
解析：依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件M，
则，，，，
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率.
故选：A
7．答案：D
解析：由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，因为，
所以，
在中，由余弦定理得，所以，
则的面积为，
边上的高.
故选：D.
8．答案：D
解析：令，由，得，，
而A在y轴上，则，由双曲线定义得，
由，得，即，则有，
于是，，，，令双曲线的半焦距为c，
在中，由余弦定理得，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故选：D
9．答案：BCD
解析：对A，由题意可知，16出现的次数最多，则众数应为16，故A错误；
对B，平均数为，故B正确；
对C，中间两个数为13和16，则中位数为:，故C正确；
对D，，所以第25百分位数是从小到大排列后第三个数字，即为12，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：AC
解析：对A，，
当时，，1是函数的最大值，
所以关于对称，故选项A正确；
对B，当时，得，而不一定等于0，故选项B错误；
对C，当时，，得，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对D，由，得，由于在上有3个零点，
所以，所以，故选项D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：定义域为R的函数，满足，
对于A，令，则，A正确；
对于B，令，则，而，则，
令，则，即，
令，则，
令，则，因此，
函数是R上的偶函数，B错误；
对于C，令，则，
而，，，则，C正确；
对于D，由，得，函数的一个周期为8.
令，则，即有，
因函数是偶函数，故有，
由函数的一个周期为8，则，
而，
因此，
所以，D正确.
故选：ACD
12．答案：144
解析：由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法，
然后对教师节目进行插空有种排法，
所以满足题意的排法种数为种.
故答案为：144.
13．答案：/
解析：设圆锥的母线长为l，依题意，，解得，故圆锥的轴截面为正三角形.
因正方体在该圆锥内可以任意转动，故棱长最大的正方体的外接球是圆锥的内切球.
如图，作出圆锥和内切球的轴截面图，设内切球的半径为r，球的内接正方体的棱长为a.
由三角形面积相等可得，，解得，
又因，解得，即该正方体棱长的最大值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：设点，圆圆心，半径，
显然切点A，B在以线段为直径的圆上，
此圆方程为，
整理得，与圆C的方程相减得直线的方程，直线的方程为，即，
由，解得，，即直线恒过定点，
连接交于Q，由切线长定理得，且Q是线段的中点，
，
显然，当且仅当Q与D重合，且P是延长线与圆C的交点，
即点M，D，C，P共线，且圆心C在线段上时取等号，此时，，
所以.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)证明见解析.
解析：（1）正项数列的前n项和为，，当时，，
两式相减得，
显然，则，当时，，即，
又，则，而，解得，即，
从而，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
因此
，，，即，
又数列单调递增，，
所以.
16．答案：(1)列联表见解析，有关.
(2)分布列见解析，.
解析：（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以，.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）
如图，延长，交于点Q，
因且，故，，
连接，中，D，M分别是，的中点，
故，的交点为的重心，设为点G，则，
又N为PD靠近D的三等分点，故点G，N重合，
因点A，B，M，N都在平面内，故A、B、M、N四点共面；
（2）
如图，取中点O，连接，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
过点O在平面内作，分别取，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因，，故，，，，
则，
设平面的法向量为，则，故可取；
又，，
设平面的法向量为，则，故可取.
于是，，
因二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为；
（3）
如图，设平面ABMN截四棱锥所得的上、下几何体的体积分别为，，
依题，，
而，
则，
又，
故，
于是，.
18．答案：(1)；
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）当时，，求导得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）（i）函数的定义域为R，求导得，
依题意，有两个变号零点，令，求导得，
若，则，在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意，若，则当时，，当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
要有两个变号零点，必有，解得，
此时，即函数在上有唯一零点，
令，求出得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，即，
因此当时，，取，，
函数在上有唯一零点，
所以当时，函数存在两个极值点.
（ii）由（i）知，，，两式相除得，
令，则，，于是，
即，，因此，
令，求导得，
令，求导得，函数在上递增，
则，即，函数在上单调递增，
而，，则当时，，
所以的取值范围是.
19．答案：(1)；
(2)（i）过定点，定点坐标为，（ii）
解析：（1）由题意得动点T到点的距离与到直线的距离相等，
T的轨迹C是以F为焦点，以直线为准线的抛物线.
C的方程为:.
（2）（i）设直线轴，则直线与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，点，，
则且，(或)，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，，，
而，
整理得，解得或(舍).
故直线的方程为，
因此，直线过定点.
（ii）由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，
记线段的中点为点M，
①当时，则A、B关于y轴对称，此时线段的垂线为y轴，
因为，则点P为坐标原点，又因为，
则为等腰直角三角形.则的两腰所在直线的方程为，
联立解得或，
此时，，;
②当时，，，
即点，
因为，则，设点，其中且，
，，
由已知可得
所以，，则.
直线的斜率为，可得，.
所以，当时，等式不成立.
所以且，.
所以，，则
所以，
故
综上所述，.因此，面积的最小值为16.