江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期6月月考（创新部）数学试卷（含解析）

宜丰中学2023-2024学年高一下学期6月月考（创新部）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，下列说法正确的是( )
A.其中的次品数X服从超几何分布 B.其中的正品数Y服从二项分布
C.其中的次品数X的期望是1 D.其中的正品数Y的期望是5
2．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为( )
A. B. C. D.
3．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A. B. C. D.
4．某学校高一、高二、高三的学生人数之比为，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
6．某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线的右顶点为A，若直线与C的两条渐近线分别交于R，S两点，且满足，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知抛物线，圆，为圆M外一点，过点N作圆M的两条切线，，直线与抛物线E交于点，，直线与抛物线E交于点，，若，则( )
A.16 B.8 C.4 D.1
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14
B.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C.若样本数据,,,的平均数为10，则数据,,,的平均数为3
D.随机变量X服从二项分布，若方差，则
10．某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲 乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为，则下列说法一定正确的有( )
A.当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率
B.当时，打三局结束比赛的概率最大
C.当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率
D.当时，打三局结束比赛的概率最大
11．在正方体中，，P为的中点，Q是正方形内部一点（不含边界），则下列说法正确的是( )
A.平面平面
B.若直线与平面所成角为，则的取值范围是
C.若四棱锥的外接球的球心为O，则的取值范围是
D.以的边所在直线为旋转轴将旋转一周，则在旋转过程中，点到平面的距离的最小值是
三、填空题
12．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则________.
13．在中，已知，P为线段的中点，若，则________.
四、双空题
14．已知随机变量，其中，随机变量Y的分布列为________.
Y 0 1 2
P q
表中，则的最大值为.我们可以用来刻画X与Y的相似程度，则当Y，且取最大值时，________.
五、解答题
15．某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.
(1)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆
(2)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付款的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：
付款方式 一次性 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 1 1 3 2 3
若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.
16．在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.
(1)求角A；
(2)射线绕A点旋转交线段于点E，且，求的面积的最小值.
17．已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过的直线交C于A,B两点，使得，求证：直线l恒过一定点.
18．如图，在四棱锥中，，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，F为中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知点在抛物线的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，则每一次抽取的结果相互独立，故此题中的“正品数”和“次品数”都分别服从二项分布.
对于选项A，因次品数X服从二项分布，故选项A错误；
对于选项B，正品数X服从二项分布，故选项B正确；
对于选项C，因次品数X服从二项分布，即，则次品数X的期望是，故选项C错误；
对于选项D，因正品数X服从二项分布，即，则正品数Y的期望是，故选项D错误.
故选：B.
2．答案：C
解析：设男生人数为X，且，
，，,
则.
故选：C
3．答案：B
解析：由题意知，，
则，解得，
即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
故选：B.
4．答案：B
解析：设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件B为该学生是高二年级学生，则．
故选：B
5．答案：A
解析：已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能，
从而的展开式为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
故选：A.
6．答案：D
解析：因，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：D
7．答案：C
解析：易知双曲线的渐近线方程为，
联立，解得，即，联立，解得，即，因为，所以，即，因为，所以，解得，则双曲线C的离心率.
8．答案：C
解析：由题意，且,都与抛物线有两个不同的交点，所以，故设过点N且与圆M相切的切线方程为，即，由题意得，整理得，（*），设直线,的斜率分别为,，则,是方程（*）的两个实根，故,，由，得，因为，，，，所以,，所以.
9．答案：BC
解析：对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；
对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；
对C， 设数据,,,的平均数为x，
由平均值性质可知：样本数据,,,的平均数为，
解得，故C正确；
对D，由题意可知，解得或，
则或，故D错误.
故选：BC
10．答案：ACD
解析：当时，则甲输的概率为，打四局结束比赛的概率为，打五局结束比赛的概率为，打三局结束比赛的概率为，所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，打四局结束比赛的概率最大，故A正确，B错误；当时，则甲输的概率为，打四局结束比赛的概率为，打五局结束比赛的概率为，打三局结束比赛的概率为，所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，打三局结束比赛的概率最大，故CD正确.
11．答案：ABD
解析：对于A，如图，连结，则，因为平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理，且，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；对于B，将正方体中分离出四棱锥，如图，取的中点H，连结，，
因为平面，所以，，，，即，所以，故B正确；
对于C，如图，连结，，设，的交点为，
则平面，过O作，垂足为，连结，，
所以，，
又，所以，解得，所以，所以的长度小于，又，所以的取值范围是，故C错误；对于D，如图，
连结，交于点N，取的中点M，连结，，则点的运动轨迹是平面内以N为圆心，为半径的圆N，易知，由，知，，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面，，如图，与圆N的交点分别为R，S，
当点位于点S时，点到平面的距离取得最小值，
且距离的最小值为，故D正确.
12．答案：2或8
解析：根据题意，得，解得或．
故答案为：2或8.
13．答案：10
解析：根据题意，在中，已知，则，
由于P为线段的中点，
则，
又，、不共线，故，，
所以．
故答案为：10.
14．答案：
解析：由题意，可得，则，
因为，所以当时，取得最大值，又由，可得，解得，可得，又因为，
可得，所以.
15．答案：（1）；
（2）列联表见解析；
解析：（1）设销售价格提高了万元/辆，年利润为y万元.
则由题意得年销售量为，
.
故当时，y取最大值.此时售价为万元/辆.
所以当售价为万元/辆时，年利润最大.
（2）由图表可知，利润为2万元的有1辆，利润为2.5万元的有4辆，3万元的有5辆.
所以，，，
所以X的分布列为：
X 0 0.5 1
P
所以X的数学期望.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1），由正弦定理得，则，
即
则，且，，；
（2）由和，可知，
因为，所以，又因为，所以，即，又，
当且仅当，即，时，等号成立，所以，
所以，所以的面积的最小值为.
17．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由，可得，所以.又，故，所以，所以椭圆的方程为：.
（2）设，，由可得，
由，可得，则，.因为，所以直线与关于x轴对称，所以，即，
所以，
即，所以，可得，所以直线l的方程为，恒过定点.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）在中，由余弦定理，
，，，，，，，平面，又平面，平面平面.
（2）由，，，由余弦定理可知，，所以，，所以，又由(1)知平面平面，平面平面，平面平面，，又，，平面，平面，，又，
如图，以D为坐标原点，以，，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则：，，，，，F是中点，，，设为平面的一个法向量，，，，即，令得，设直线与平面所成角大小为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；
（ⅱ）
解析：（1）由题意可知的准线方程为：，即，所以.抛物线C的标准方程为
（2）设，，，（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，与抛物线方程联立，化简得：，根据韦达定理可得：即，，直线方程为，整理得：.又因为，即.将代入化简可得：，代入整理得：
故直线过定点
（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在，
由（ⅰ）知所以，又因为
即，化简得或又由，得：且，即或
综上所述，