人教版数学九年级上暑假预习课第七讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上暑假预习课第七讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-26 05:12:00 | ||
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文档简介
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人教版数学九年级上暑假预习课
第七讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c图像与几何变换
二次函数图像的平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
名师点拨
平移规律：上加下减，左加右减
典例剖析1
例1-1．把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A. y=3（x-2）2+1 B. y=3（x-2）2-1
C. y=3（x+2）2+1 D. y=3（x+2）2-1
例1-2．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位
B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位
C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位
D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位．
例1-3．将抛物线y=-2x2+4x+6绕它的顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式 _____．
针对训练1
1．将函数y=x2+2x-3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的是新函数y=|x2+2x-3|的图象，若该新函数图象与直线y=-x+b有两个交点，则b的取值范围为_____．
2．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
3．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
能力提升1
1．已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1（m是常数）与直线l：y=x-1．
（1）若抛物线的对称轴为x=1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 _____；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
2．如图，抛物线C1：y=x2+2x+c与抛物线C2：y=x2-4x+d相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标，并求线段AB的长；
（2）点P（-2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，则p_____q（填“＞”“＜”或“=”）；
（3）若点C（0，-1），求将抛物线C1平移到抛物线C2的最短距离．
3．已知二次函数y=ax2-2x-3的图象过点A（2，-3），顶点为C．
（1）求点C坐标；
（2）若A、B两点关于二次函数图象的对称轴对称，求△ABC的周长．
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 的三种形式
1.二次函数的一般式：
2.二次函数的顶点式：y=a（x-p）2 +k，其中（p,k）为顶点。
二次函数的交点式：
名师点拨
1.一般式 适用于已知三个普通点（或相类似条件）
2.顶点式 适用于知道顶点的相关条件，比如，对称轴，最值等
3.交点式 适用于知道与x轴的交点坐标等相关条件；
在一定的条件下，选用恰当形式的解析式，可以取到事半功倍的效果，大为简化计算过程，能更快，更好的使用题中条件
典例剖析2
例2-1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（-2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
例2-2．已知抛物线y=x2+（3m-1）x-3m（m＞0）的最低点的纵坐标为-4，则抛物线的表达式是（ ）
A. y=x2-6x+5 B. y=x2+2x-3 C. y=x2+5x-6 D. y=x2+4x-5
例3-3．已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，且经过（5，0）和（1，4）两点，则这个二次函数的解析式为 _____．
针对训练2
1．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
3．已知二次函数的图象经过（4，-3）和（6，-3）两点，与y轴交于（0，21），求此二次函数的解析式．
能力提升2
1．如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
2．二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（5，0），并且经过点C（0，-3），试求该函数表达式．
3．设二次函数y1=ax2+bx+a-5（a,b为常数，a≠0），已知2a+b=3．
（1）若该函数的对称轴为直线x=3，求该二次函数的表达式．
（2）无论a,b为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标．
（3）已知点P（x0，m）和Q（2，n）都在函数y1的图象上，若x0＜2，且m＞n,求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质
1.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
名师点拨
配方法把二次函数化为顶点式的一般步骤是：
一提（提取二次项系数）、二配（加上一次项系数一半的平方）三整理（整理成完全平方式）
典例剖析3
例3-1．二次函数y=（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
例3-2．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
例3-3．甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如y=ax2+bx的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点在第三象限；丙：经过点（-2，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都有可能
针对训练3
1．在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2=-4．
②y1+y2=4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，-1），则AN⊥BN．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．二次函数y=（x-1）2+2，当-3＜x＜2时，y的取值范围是 _____．
3．已知二次函数y=ax2-2ax-a2+4a-11（a是常数，且a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 _____；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 _____．
能力提升3
1．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
2．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
3．已知函数y=x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y=x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：_____；
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
知识点4 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与系数的关系
二次函数与系数a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
名师点拨
a决定了抛物线的开口方向，是否具有最大值，最小值，|a| 决定了抛物线开口大小。
b共同决定了抛物线的对称轴（同左异右）
C决定了抛物线与y轴交点位置。
b2-4ac＞0决定了抛物线与x轴交点个数
只含a、c 或b、c的式子正负可以综合特殊值与对称轴进行判断。
典例剖析4
例4-1．如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x=2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a-b+c＞0；
③方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=，x2=-；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例4-2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例4-3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），则下列结论，正确的有（ ）
①若（m-2，y1）、（m,y2）在该抛物线上，当y1＜y2时，m的取值范围是m≥2；
②若抛物线与y轴交于点C（0，-3），当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为或；
③平面直角坐标系内，线段MN的端点为M（4，2），N（7，2），当抛物线y=ax2+bx+c与线段MN有交点时，a的取值范围是；
④以AB为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
针对训练4
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a-2b+c＜0；
③3a+c=0；
④当-3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2．下列说法：①abc＜0；②c-3a＞0；③4a2-2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2，则m的取值范围为-5＜m＜-2，其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
能力提升4
1．已知二次函数y=x2-4mx-2m+3，当-1≤x≤0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A. -1＜m＜2 B. ＜m＜1
C. ＜m＜0 D. -1＜m＜
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
知识点5 二次函数y=ax2+bx+c 的最值
求y=ax +bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
名师点拨
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
典例剖析5
例5-1．已知抛物线y=（x-b）2+c经过A（1-n,y1），B（n,y2），C（n+3，y3）三点，y1=y3．当1-n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A. -5 B. 3
C. D. 4
例5-2．已知函数y1=ax2-2ax+c（a＞0），y2=-ax2+2ax+c,当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（ ）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 4
例5-3．已知二次函数y=（x-a）2+1，当-1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为（ ）
A. 0或1 B. 0或4 C. 1或4 D. 0或1或4
针对训练5
1．对于二次函数y=（x-1）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（1，1） D. 当x=1时，y有最大值是1
2．在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 _____；a的最小值为 _____．
3．如图，设定点A（1，-），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′．已知点B（2，0）、C（3，0）．
（1）若点P为（-5，），求旋转后得到的点P′的坐标为 _____．
（2）求△BCP′的面积最小值为 _____．
能力提升5
1．如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，矩形（阴影部分）EFGB的一边BG在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、CD上．
（1）当FG=5时，矩形EFGB的面积为 _____；
（2）矩形EFGB面积最大时，FG=_____，最大面积为 _____．
2．如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，∠B=60°．
（1）求AB的长；
（2）设AE=x,则DE=_____．EF=_____（用含x的表达式表示）．
（3）求矩形CDEF的面积的最大值．
3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标．
人教版数学九年级上暑假预习课
第七讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c图像与几何变换
二次函数图像的平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
名师点拨
平移规律：上加下减，左加右减
典例剖析1
例1-1．把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A. y=3（x-2）2+1 B. y=3（x-2）2-1
C. y=3（x+2）2+1 D. y=3（x+2）2-1
【答案】C
【解析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y=3（x+2）2+1．
故选：C．
例1-2．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位
B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位
C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位
D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位．
【答案】D
【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
解：抛物线的顶点坐标为：（0，），
∵，则顶点坐标为：（4，），
∴顶点由（0，）平移到（4，），需要向右平移4个单位，再向下平移5个单位，
故选择：D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
例1-3．将抛物线y=-2x2+4x+6绕它的顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式 _____．
【答案】y=2x2-4x+10
【解析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．
解：y=-2x2+4x+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8，
旋转后的抛物线的解析式为y=2（x-1）2+8，即y=2x2-4x+10．
故答案为：y=2x2-4x+10．
针对训练1
1．将函数y=x2+2x-3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的是新函数y=|x2+2x-3|的图象，若该新函数图象与直线y=-x+b有两个交点，则b的取值范围为_____．
【答案】b＞或-＜b＜
【解析】求出y=|x2+2x-3|的图象与x轴的交点为（-3，0），（1，0），画出函数图象，分别求出直线经过点（-3，0），（1，0）时b的值，再求出直线与y=-x2-2x+3有一个交点时b的值，结合函数图象与一次函数图象有两个交点时b的范围即可．
解：如图：
令y=0，x2+2x-3=0，
解得x=-3或x=1，
∴函数y=|x2+2x-3|的图象与x轴的交点为（-3，0），（1，0），
当直线y=-x+b经过点（-3，0）时，b=-，
此时直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|只有一个交点，
当直线y=-x+b经过点（1，0）时，b=，
此时直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有三个交点，
∴-＜b＜时，直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有两个交点；
当y=-x2-2x+3与y=-x+b有一个交点时，
即-x2-2x+3=-x+b,
∴b=，
此时此时直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有三个交点，
∴当b＞时，直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有两个交点；
综上所述：b＞或-＜b＜时，直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有两个交点；
故答案为b＞或-＜b＜．
2．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【解析】
先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
3．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
【解析】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断．
解：（1）∵y=x2-2x+4中，a=1＞0，
∴该抛物线的开口向上，
∵y=x2-2x+4=（x-1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y=（x-1+3）2+3-7，即y=（x+2）2-4，
当x=1时，y=（1+2）2-4=5≠-5，
∴新抛物线不过点P（1，-5）．
能力提升1
1．已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1（m是常数）与直线l：y=x-1．
（1）若抛物线的对称轴为x=1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 _____；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
【答案】（1，0）
【解析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后直接得到答案；
（2）将顶点P的坐标代入直线方程进行验证即可；
（3）联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式符号进行判断．
解：（1）∵y=x2-2mx+m2+m-1=（x-m）2+m-1，
∴对称轴是直线x=m.
又∵抛物线的对称轴为x=1，
∴m=1，
∴该抛物线解析式为：y=（x-1）2，
∴其顶点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）证明：∵y=x2-2mx+m2+m-1=（x-m）2+m-1，
∴点P的坐标为（m,m-1），
∵当x=m时，y=x-1=m-1，
∴点P在直线l上；
（3）设将抛物线向上平移n个单位后与直线l有唯一公共点，
则平移后的抛物线解析式为y=x2-2mx+m2+m-1+n,
与直线l：y=x-1联立，得，
消去y,并整理得，x2-（2m+1）x+m2+m+n=0，
由Δ=[-（2m+1）]2-4（m2+m+n）=0，
解得，n=，
∴将抛物线向上平移个单位后与直线l有唯一公共点．
2．如图，抛物线C1：y=x2+2x+c与抛物线C2：y=x2-4x+d相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标，并求线段AB的长；
（2）点P（-2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，则p_____q（填“＞”“＜”或“=”）；
（3）若点C（0，-1），求将抛物线C1平移到抛物线C2的最短距离．
【答案】＜
【解析】（1）根据，可求得对称轴为x=-1，再由点A与点T关于直线x=-1对称，即可求得点A的横坐标，根据函数的对称性可求解AB=6；
（2）先根据对称性可求出A点的横坐标和B点的横坐标，可知p＜q；
（3）根据点C坐标求出抛物线C1的解析式，再根据交点求出C2的解析式，根据两个抛物线的顶点坐标求出平移后的最短距离．
解：（1）抛物线C1的对称轴为，
∵T的横坐标为1，点A与点T关于直线x=-1对称，
∴，
解得：xA=-3，
∴点A的横坐标为-3，
∵抛物线C2的对称轴为，C1的对称轴为，
∴线段AB=AT+BT=2[2-（-1）]=6．
（2）∵点A与点T关于直线x=-1对称，点T的横坐标为1，根据中点坐标公式得，
解得：xA=-3，
∴A的横坐标为-3，
∵点B与点T关于直线x=2对称，点T的横坐标为1，根据中点坐标公式得，
解得：xB=3，
∴B的横坐标为3，
∴点P（-2，p）在抛物线C1上，在直线AB的下方，点Q（5，q）在抛物线C2上，在直线AB的上方，
∴p＜q.
故答案为：＜；
（3）将C（0，-1）代入y=x2+2x+c,得c=-1，
∴y=x2+2x-1，
∵T的横坐标为1，
∴y=12+2×1-1=2∴点T的坐标为（1，2）．
将（1，2）代入y=x2-4x+d中，得d=5，
抛物线C1：y=x2+2x-1=（x+1）2-2，其顶点坐标为（-1，-2），
抛物线C2：y=x2-4x+5=（x-2）2+1，其顶点坐标为（2，1），
∴将抛物线C1平移到抛物线C2的最短距离为．
3．已知二次函数y=ax2-2x-3的图象过点A（2，-3），顶点为C．
（1）求点C坐标；
（2）若A、B两点关于二次函数图象的对称轴对称，求△ABC的周长．
【解析】（1）把A点坐标代入y=ax2-2x-3得4a-4-3=-3，解方程求出a得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式，从而得到顶点C的坐标；
（2）利用抛物线的对称性得到B点坐标，则可得到AB的长，然后利用两点间的距离公式求出AC、BC，从而得到△ABC的周长．
解：（1）把A（2，-3）代入y=ax2-2x-3得4a-4-3=-3，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∵y=（x-1）2-4，
∴二次函数图像的顶点C坐标为（1，-4）；
（2）∵抛物线的对称轴是直线x=1，而A（2，-3），
∴点B（0，-3），
∵AC=BC==，AB=2，
∴△ABC的周长为2+2．
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 的三种形式
1.二次函数的一般式：
2.二次函数的顶点式：y=a（x-p）2 +k，其中（p,k）为顶点。
二次函数的交点式：
名师点拨
1.一般式 适用于已知三个普通点（或相类似条件）
2.顶点式 适用于知道顶点的相关条件，比如，对称轴，最值等
3.交点式 适用于知道与x轴的交点坐标等相关条件；
在一定的条件下，选用恰当形式的解析式，可以取到事半功倍的效果，大为简化计算过程，能更快，更好的使用题中条件
典例剖析2
例2-1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（-2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴a=，
∵顶点为（-2，1），
∴抛物线解析式为y=（x+2）2+1．
故选：C．
例2-2．已知抛物线y=x2+（3m-1）x-3m（m＞0）的最低点的纵坐标为-4，则抛物线的表达式是（ ）
A. y=x2-6x+5 B. y=x2+2x-3 C. y=x2+5x-6 D. y=x2+4x-5
【答案】B
【解析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可．
解：∵抛物线y=x2+（3m-1）x-3m（m＞0）的最低点的纵坐标为-4，
∴，
即，
∴（3m-1）2+12m=16，
（3m+1）2=16，
∴3m+1=±4，
解得：m1=1，，
当m=1时，抛物线为y=x2+2x-3．
故选：B．
例3-3．已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，且经过（5，0）和（1，4）两点，则这个二次函数的解析式为 _____．
【答案】y=-x2+2x+
【解析】利用抛物线对称轴公式列出关系式，把两点坐标代入列出关系式，联立求出a,b,c的值，即可确定出二次函数解析式．
解：根据题意得：，
解得：a=-，b=2，c=，
则这个二次函数解析式为y=-x2+2x+．
故答案为：y=-x2+2x+．
针对训练2
1．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=m2-1=0，得出：m2-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-1=x2-2x或y=（x+1）2-1=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=（x-m）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，-1）．
2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】（1）；
（2）
（3），
【解析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；
（3）由题意可得，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点、点代入抛物线解析式可得，解得，
即抛物线为．
设直线l的解析式为，
将点、点代入得解得，
即直线l的解析式为；
【小问2详解】
解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，
则，所以，
点，，点．
连接，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
化简可得：，解得，（舍去），
即，四边形是平行四边形；
【小问3详解】
连接、，如图：
由题意可得：
，
∴，
∵，开口向下，对称轴，
∴当时，面积最大，．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．
3．已知二次函数的图象经过（4，-3）和（6，-3）两点，与y轴交于（0，21），求此二次函数的解析式．
【解析】利用待定系数法即可求解．
解：二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
∵二次函数的图象经过（4，-3）和（6，-3）两点，与y轴交于（0，21），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2-10x+21．
能力提升2
1．如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）
（2）2；P（-1，0）
【解析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【小问1详解】
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
2．二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（5，0），并且经过点C（0，-3），试求该函数表达式．
【解析】设这个二次函数的表达式为y=a（x+3）（x-5），再将点C（0，-3）代入求解即可得．
解：由题意，设这个二次函数的表达式为y=a（x+3）（x-5），
将点C（0，-3）代入得：（0+3）×（0-5）a=-3，
解得，
则，即，
故该函数表达式为．
3．设二次函数y1=ax2+bx+a-5（a,b为常数，a≠0），已知2a+b=3．
（1）若该函数的对称轴为直线x=3，求该二次函数的表达式．
（2）无论a,b为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标．
（3）已知点P（x0，m）和Q（2，n）都在函数y1的图象上，若x0＜2，且m＞n,求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．
【解析】（1）利用待定系数法求解求得该二次函数的表达式
（2）将2a+b=3代入二次函数y=ax2+bx+a-5（a,b为常数，a≠0）中，整理得y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2，可知恒过点（1，2）；
（3）通过y=ax2+（3-2a）x+a-5，可求得对称轴为x=-，因为x0＜2，且m＞n,所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围．
解：（1）∵函数y=ax2+bx+a-5的函数的对称轴为直线x=3，
∴-=3，
∴b=-6a,
∵2a+b=3，
∴2a-6a=3，
∴a=-，b=，
∴二次函数的解析式为y=-x2+x-；
（2）∵2a+b=3，
∴二次函数y=ax2+bx+a-5=ax2+（3-2a）x+a-5，
整理得，y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2
∴当x=1时，y=-2，
∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，-2）；
（3）∵y=ax2+（3-2a）x+a-5，
∴对称轴为x=-，
∵x0＜2，且m＞n,
∴当a＞0时，对称轴x=-＞2-，
解得：x0＜-，
当a＜0时，对称轴x=-＜2-，
解得：x0＞-（不符合题意，故x0不存在），
故x0的取值范围为：x0＜-．
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质
1.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
名师点拨
配方法把二次函数化为顶点式的一般步骤是：
一提（提取二次项系数）、二配（加上一次项系数一半的平方）三整理（整理成完全平方式）
典例剖析3
例3-1．二次函数y=（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
例3-2．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】由二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜-1，然后根据m的取值判定m+1，m-1的取值即可．
解：∵二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
例3-3．甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如y=ax2+bx的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点在第三象限；丙：经过点（-2，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都有可能
【答案】A
【解析】由于抛物线y=ax2+bx经过原点，若开口向下，则顶点不可能在第三象限，于是可判断甲、乙的解析式不同；若开口向下，抛物线过点（-2，0），（0，0），则可判断抛物线不经过第一象限，不可能经过（1，3），则可判断甲、丙的解析式不同．
解：∵抛物线y=ax2+bx经过原点，
∴当开口向下，顶点不可能在第三象限，所以甲、乙的解析式不同；
当开口向下，过点（-2，0），（0，0），则抛物线不可能经过（1，3），所以甲、丙的解析式不同，
∴抽到与其他两人解析式不同的是甲．
故选：A．
针对训练3
1．在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2=-4．
②y1+y2=4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，-1），则AN⊥BN．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
解：由题意得x1，x2满足方程x2-kx-1=0；y1，y2满足方程y2-（2+4k2）y+1=0．
依据根与系数的关系得，x1+x2=4k,x1 x2=-4，y1+y2=4k2+2，y1 y2=1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB===4（k2+1）．
∴当k=0时，AB最小值为4．
∴S△AOB=×1×AB=2．
∴③正确．
由题意，kAN=，kBN=，
∴kAN kBN= ===-k2-1．
∴当k=0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
2．二次函数y=（x-1）2+2，当-3＜x＜2时，y的取值范围是 _____．
【答案】2≤y＜18
【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
解：∵y=（x-1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），
将x=-3代入y=（x-1）2+2得y=16+2=18，
∴当-3＜x＜2时，2≤y＜18，
故答案为：2≤y＜18．
3．已知二次函数y=ax2-2ax-a2+4a-11（a是常数，且a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 _____；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 _____．
【答案】(1)直线x=1;(2)-7;
【解析】（1）利用对称轴公式进行求解即可；
（2）求出图象与y轴的纵坐标，转化为二次函数求最值即可．
解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当x=0时，y=-a2+4a-11=-（a2-4a+4-4）-11=-（a-2）2-7，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当a=2时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
能力提升3
1．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
【解析】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断．
解：（1）∵y=x2-2x+4中，a=1＞0，
∴该抛物线的开口向上，
∵y=x2-2x+4=（x-1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y=（x-1+3）2+3-7，即y=（x+2）2-4，
当x=1时，y=（1+2）2-4=5≠-5，
∴新抛物线不过点P（1，-5）．
2．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=m2-1=0，得出：m2-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-1=x2-2x或y=（x+1）2-1=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=（x-m）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，-1）．
3．已知函数y=x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y=x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：_____；
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
【答案】抛物线关于点（2，1）成中心对称
【解析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；
（3）根据图象求整点坐标即可．
解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：，
解得，
∴y=x2+bx+c（x≥2）的解析式为y=x2-6x+9；
（2）如图所示：
①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，
故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；
②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；
（3）如图：
由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，0），（1，1）．
知识点4 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与系数的关系
二次函数与系数a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
名师点拨
a决定了抛物线的开口方向，是否具有最大值，最小值，|a| 决定了抛物线开口大小。
b共同决定了抛物线的对称轴（同左异右）
C决定了抛物线与y轴交点位置。
b2-4ac＞0决定了抛物线与x轴交点个数
只含a、c 或b、c的式子正负可以综合特殊值与对称轴进行判断。
典例剖析4
例4-1．如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x=2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a-b+c＞0；
③方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=，x2=-；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵-＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=2，x=5时，y＞0，
∴x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，故②正确；
由cx2+bx+a=0可得方程的解x1+x2=-，x1x2=，
∵的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（-2，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为-2，6，
∴-=4，=-12，
∴-==-，=-
而若方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=，x2=-，则-==，=）=-，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，
∴y1＞y2，故不正确．
故选：B．
例4-2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②当x=2时，y=4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），
∴-，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x=0时，y=c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x=-是抛物线的对称轴，
∴-，
∴，
∴a=b,
由图象可得：x=1时，y=a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x=-是抛物线的对称轴，
设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，
∴Δ=b2-4a（c-3）＜0，
∴b2-4ac+12a＜0，
∴b2-4ac＜-12a,
∴4ac-b2＞12a,
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
例4-3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），则下列结论，正确的有（ ）
①若（m-2，y1）、（m,y2）在该抛物线上，当y1＜y2时，m的取值范围是m≥2；
②若抛物线与y轴交于点C（0，-3），当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为或；
③平面直角坐标系内，线段MN的端点为M（4，2），N（7，2），当抛物线y=ax2+bx+c与线段MN有交点时，a的取值范围是；
④以AB为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】根据抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），对称轴为x=1，当m=2时，两点为（0，y1），（2，y2），两点关于x=1对称，即可判断①；由y=a（x+1）（x-3）过点C（0，-3）得抛物线解析式，根据n＞1时二次函数的最值问题可判断②；分别求出抛物线过点M、N时a的值即可判断③；根据抛物线与x轴交点即可判断④．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），
∴y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a,对称轴为x=1，
当m=2时，两点为（0，y1），（2，y2），两点关于x=1对称，
此时y1=y2，故①不成立；
∵y=a（x+1）（x-3）过点C（0，-3），
∴a=1，
∴y=x2-2x-3，
当x=4时，y=5，
当n＞1时，则y随x的增大而增大，
这时在x=n处取最小值5-6=-1，
∴n2-2n-3=-1，
∴n=1±（负值舍去），
∴n=1+，
当n＞1时，y=x2-2x-3在x=1处取最小值，这时最大值不小于5，这时两者之差不是6，
∴n=1+，故②不成立；
当y=a（x+1）（x-3）过点M时，5a=2，
∴a=，
当y=a（x+1）（x-3）过点N时，32a=2，
∴a=，
∴当抛物线y=a（x+1）（x-3）过点M、N时，，故③成立；
当a＜0时，抛物线开口向下，这时以AB为直径的圆与抛物线在x轴下方无交点，
∴不成立，故④不成立，
所以正确的结论只有1个，
故选：A．
针对训练4
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a-2b+c＜0；
③3a+c=0；
④当-3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a,b,c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（-2，4a-2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数图象的顶点在第四象限，
∴，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y=ax2+bx+c,当x=-2时，y=4a-2b+c,
∴点（-2，4a-2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（-3，0），
∴点（-2，4a-2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a-2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（-3，0），
∴，消去b得：3a+c=0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（-3，0）
∴当-3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2．下列说法：①abc＜0；②c-3a＞0；③4a2-2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2，则m的取值范围为-5＜m＜-2，其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x=-2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c-3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x=-2，
∴-=-2，整理得：b=4a,即a、b同号．
由图象可知，当x=4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x=-2，可知：当x=0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b=4a.
代入原解析式得：y=ax2+4ax+c；
由图象可知，当x=-1时，y＞0．
即：a （-1）2+4a （-1）+c＞0，
整理得：c-3a＞0，故②正确．
③由①得：b=4a.
不等式4a2-2ab≥at（at+b），
等价于4a2-2a 4a≥at（at+4a），
整得：（t+2）2≤0，
∵t为全体实数，
∴（t+2）2≥0，故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c-y1=0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x=-2对称，
∴当且仅当m＜-2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2，
即当-5＜m＜-2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【答案】D
【解析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与y轴交点的位置即可判断B；根据图象从左往右的趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D．
解：A、∵抛物线抛物线开口方向向下，
∴a＜0，故本选项结论错误；
B、∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，则另一交点坐标是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
能力提升4
1．已知二次函数y=x2-4mx-2m+3，当-1≤x≤0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A. -1＜m＜2 B. ＜m＜1
C. ＜m＜0 D. -1＜m＜
【答案】B
【解析】分别对①当抛物线的对称轴x=2m≤-1时，②当抛物线的对称轴x=2m≥0时，即m≥0时，③当抛物线的对称轴x=2m在区间-1＜x＜0时，进行分析得出m的取值范围即可．
解：y=x2-4mx-2m+3=（x-2m） 2-4m2-2m+3，对称轴x=2m,开口向上．
当x=2m≤-1时，x=-1，y=1+4m-2m+3＞1即可，∴m＞，∴＜m≤-；
当-1＜2m＜0时，y=-4m2-2m+3＞1即可，-1＜m＜，∴-＜m＜0；
当x=2m≥0时，x=0，y=-2m+3＞1即可，
∴0≤m＜1．
综上，＜m＜1．
故选：B．
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴-=1，b=-2a,
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1=a 22+2b+c,即4a+2b+c=1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt-（a+b）
=at2-2at-a+2a
=at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
=a（t-1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b,则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：C．
3．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
知识点5
求y=ax +bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
名师点拨
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
典例剖析5
例5-1．已知抛物线y=（x-b）2+c经过A（1-n,y1），B（n,y2），C（n+3，y3）三点，y1=y3．当1-n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A. -5 B. 3
C. D. 4
【答案】B
【解析】根据y1=y3，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为y=（x-2）2+c,再由1-n≤x≤n,可得点B在点A的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：∵y1=y3，
∴A，C两点关于对称轴对称．
∴，
即抛物线解析式为y=（x-2）2+c.
∵1-n≤x≤n,
∴点B在点A的右侧，且有1-n≤n,
∴．
情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；
当x=1-n时，二次函数取到最大值为y=（1-n-2）2+c=（n+1）2+c；
当x=n时，二次函数取到最小值为y=（n-2）2+c,
∴（n+1）2+c-（n-2）2-c=16，解得（舍去）．
情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2-（1-n）=1+n.B到对称轴的距离为n-2，当x=1-n时，二次函数取到最大值为y=（1-n-2）2+c=（n+1）2+c；
当x=2时，二次函数取到最小值为y=c,
∴（n+1）2+c-c=16，解得n=3或-5（舍）．
综上，n=3．
故选：B．
例5-2．已知函数y1=ax2-2ax+c（a＞0），y2=-ax2+2ax+c,当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（ ）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】由0≤x≤2时，2≤y1≤3，求出a、c的值，即可求解．
解：由题意得：当0≤x≤2时，函数y1在对称轴x=1时取得最小值，即y1=a-2a+c=2①，
函数y1在x=2时，取得最大值，即y1=4a-4a+c=3②，
联立①②并解得：，
故y2=-ax2+2ax+c=-x2+2x+3，
当0≤x≤2时，y2在对称轴处取得最大值，
∴当x=1时，y=4，
故最大值是4，
故选：D．
例5-3．已知二次函数y=（x-a）2+1，当-1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为（ ）
A. 0或1 B. 0或4 C. 1或4 D. 0或1或4
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得a的值．
解：∵二次函数y=（x-a）2+1，
∴当x=a时，该函数取得最小值1，
∵当-1≤x≤2时，y的最小值为a+1，
∴当a＜-1时，x=-1时取得最小值，此时（-1-a）2+1=a+1，该方程无解；
当-1≤a≤2时，x=a时取得最小值，此时1=a+1，得a=0；
当a＞2时，当x=2时取得最小值，此时（2-a）2+1=a+1，得a=4；
故选：B．
针对训练5
1．对于二次函数y=（x-1）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（1，1） D. 当x=1时，y有最大值是1
【答案】C
【解析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
解：由y=（x-1）2+1得，开口向上，
故选项A不符合题意；
对称轴为直线x=1，
故选项B不符合题意；
顶点坐标为（1，1），
故选项C符合题意；
当x=1时，y有最小值为1，
故选项D不符合题意，
故选：C．
2．在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 _____；a的最小值为 _____．
【答案】(1)0;(2);
【解析】用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解．
解：当抛物线经过A（0，2），B（1，0），C（3，1）三点时，
得，
解得，；
当抛物线经过A（0，2），B（1，0），D（2，3）三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过A（0，2），D（2，3）三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过B（1，0），D（2，3）三点时，
得，
解得，
∴，
∵
∴a的值最大是，a的值最小是，
∴．
故答案为：0，．
3．如图，设定点A（1，-），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′．已知点B（2，0）、C（3，0）．
（1）若点P为（-5，），求旋转后得到的点P′的坐标为 _____．
（2）求△BCP′的面积最小值为 _____．
【答案】(1)（1，3）;(2)-;
【解析】（1）过P作PD∥x轴，过A作AD∥y轴，两平行线交点为D，由A（1，-），P（-5，），可得AD=AP，∠PAD=60°，即知P'在直线AD上，从而P'（1，3）；
（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，连接C′O，作C′G⊥y轴于G，由A（1，-），B（2，0），C（3，0），可得△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，可求得C′（，），OC′的函数表达式为：y=x,设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+b,由旋转性质知，S△BCP′=S△B′C′P，当直线l与抛物线相切时取最小值，故x+b=（x+5）2+有两个相等的实数解，有（5-）2-4×（+-b）=0，解得b=6-，可得T（0，6-），从而S△B'C'P=S△B'C'T=OT C'G=-，即可得答案．
解：（1）过P作PD∥x轴，过A作AD∥y轴，两平行线交点为D，如图：
∵A（1，-），P（-5，），
∴PD=6，AD=2，AP=4，
∴AD=AP，
∴∠APD=30°，∠PAD=60°，
∵将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′，
∴P'在直线AD上，且AP'=AP=4，
∴P'（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，连接C′O，作C′G⊥y轴于G，如图：
∵A（1，-），B（2，0），C（3，0），
∴OH=BH=1，BC=1，
∴OA=AB=OB=2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
由旋转的旋转可知C′O=CB=1，∠C′OA=∠CBA=120°，
∴∠C'OH=∠C'OA-∠BOA=120°-60°=60°，
在Rt△C′GO中，∠C′OG=90°-∠C′OH=30°，
∴C′G=OC′=，
∴OG=，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y=x,
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+b,
由旋转性质知，△B'C'P≌△BCP'，
∴S△BCP′=S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
∴x+b=（x+5）2+有两个相等的实数解，
即x2+（5-）x++-b=0有两个相等的实数解，
∴（5-）2-4×（+-b）=0，
解得b=6-，
∴过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+6-，
在y=x+6-中，令x=0得y=6-，
∴T（0，6-），
∴S△B'C'P=S△B'C'T=OT C'G=×（6-）×=-，
∴△BCP′的面积最小值为-．
故答案为：-．
能力提升5
1．如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，矩形（阴影部分）EFGB的一边BG在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、CD上．
（1）当FG=5时，矩形EFGB的面积为 _____；
（2）矩形EFGB面积最大时，FG=_____，最大面积为 _____．
【答案】(1)100;(2)15;(3)180;
【解析】（1）作DM⊥BC于点M，证明△FGC∽△DMC，得=，即可求出BG=20，再计算面积即可；
（2）设FG=x,矩形EFGB面积为y,由（1）得=，所以GC=x,BG=24-x,得y=（24-x）x=-x2+24x,当x=-=15时，y有最大值为180，即可求出答案．
解：（1）如图，作DM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∴BM=AD=8，DM=AB=20，
∴MC=BC-BM=16，
∴CD===4，
∵FG∥DM，
∴△FGC∽△DMC，
∴=，
∴=，
∴GC=4，
∴BG=20，
∴矩形EFGB的面积为20×5=100；
故答案为：100；
（2）设FG=x,矩形EFGB面积为y,
由（1）得=，
∴GC=x,
∴BG=24-x,
∴y=（24-x）x=-x2+24x,
∴当x=-=15时，y有最大值为180，
∴矩形EFGB面积最大时，FG=15，最大面积为180．
故答案为：15，180．
2．如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，∠B=60°．
（1）求AB的长；
（2）设AE=x,则DE=_____．EF=_____（用含x的表达式表示）．
（3）求矩形CDEF的面积的最大值．
【答案】(1);(2)6-x;
【解析】（1）利用已知条件首先求出∠A，然后解直角三角形即可求解；
（2）首先利用已知条件求出DE，然后利用矩形的性质和三角函数即可求出EF的长度；
（3）首先利用矩形的面积公式建立函数关系式，然后利用二次函数即可求解．
解：（1）在Rt△ABC中，BC=6，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=2×6=12；
（2）在Rt△ADE中，∠A=30°，
∵AE=x,
∴DE=，AD=x,
∴CD=AC-AD=12×sin60°-x=6-x,
而四边形CDEF为矩形，
∴EF=CD=6-x.
故答案为：，6-x；
（3）∵S矩形CDEF=DE×EF
=x（6-x）
=，
∴当x=6时，矩形CDEF的面积取得最大值，为．
3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）根据点A、C的坐标，直接利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线AC的解析式为y=-x+4，由题意可得∠OAC=45°，由PQ∥y轴得∠PQH=45°，则PH=QH=PQ，设P（t,t2-5t+4），则Q（t,-t+4），以此得到△PHQ周长=，再用含t的代数式表示出PQ=-t2+4t,根据二次函数的性质可求出PQ的最大值以及P点坐标，再算出此时△PHQ的周长即可．
解：（1）∵点A（0，4），点C（4，0）在抛物线y=x2+bx+c上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4；
（2）设直线AC的解析式y=kx+b,
∵直线AC过点A（0，4），点C（4，0），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式y=-x+4，
由题意可知，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQH=45°，
∵PH⊥AC，
∴PH=QH=PQ，
∴，
要求△PHQ周长的最大值，即求PQ的最大值，
设P（t,t2-5t+4），则Q（t,-t+4），
∴PQ=-t+4-（t2-5t+4）=-t2+4t,
∵-1＜0，
∴当时，PQ有最大值，最大值为：-22+4×2=4，
此时P（2，-2），△PHQ的周长为：，
∴△PHQ周长的最大值为，此时点P的坐标为（2，-2）．
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人教版数学九年级上暑假预习课
第七讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c图像与几何变换
二次函数图像的平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
名师点拨
平移规律：上加下减，左加右减
典例剖析1
例1-1．把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A. y=3（x-2）2+1 B. y=3（x-2）2-1
C. y=3（x+2）2+1 D. y=3（x+2）2-1
例1-2．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位
B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位
C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位
D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位．
例1-3．将抛物线y=-2x2+4x+6绕它的顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式 _____．
针对训练1
1．将函数y=x2+2x-3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的是新函数y=|x2+2x-3|的图象，若该新函数图象与直线y=-x+b有两个交点，则b的取值范围为_____．
2．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
3．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
能力提升1
1．已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1（m是常数）与直线l：y=x-1．
（1）若抛物线的对称轴为x=1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 _____；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
2．如图，抛物线C1：y=x2+2x+c与抛物线C2：y=x2-4x+d相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标，并求线段AB的长；
（2）点P（-2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，则p_____q（填“＞”“＜”或“=”）；
（3）若点C（0，-1），求将抛物线C1平移到抛物线C2的最短距离．
3．已知二次函数y=ax2-2x-3的图象过点A（2，-3），顶点为C．
（1）求点C坐标；
（2）若A、B两点关于二次函数图象的对称轴对称，求△ABC的周长．
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 的三种形式
1.二次函数的一般式：
2.二次函数的顶点式：y=a（x-p）2 +k，其中（p,k）为顶点。
二次函数的交点式：
名师点拨
1.一般式 适用于已知三个普通点（或相类似条件）
2.顶点式 适用于知道顶点的相关条件，比如，对称轴，最值等
3.交点式 适用于知道与x轴的交点坐标等相关条件；
在一定的条件下，选用恰当形式的解析式，可以取到事半功倍的效果，大为简化计算过程，能更快，更好的使用题中条件
典例剖析2
例2-1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（-2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
例2-2．已知抛物线y=x2+（3m-1）x-3m（m＞0）的最低点的纵坐标为-4，则抛物线的表达式是（ ）
A. y=x2-6x+5 B. y=x2+2x-3 C. y=x2+5x-6 D. y=x2+4x-5
例3-3．已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，且经过（5，0）和（1，4）两点，则这个二次函数的解析式为 _____．
针对训练2
1．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
3．已知二次函数的图象经过（4，-3）和（6，-3）两点，与y轴交于（0，21），求此二次函数的解析式．
能力提升2
1．如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
2．二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（5，0），并且经过点C（0，-3），试求该函数表达式．
3．设二次函数y1=ax2+bx+a-5（a,b为常数，a≠0），已知2a+b=3．
（1）若该函数的对称轴为直线x=3，求该二次函数的表达式．
（2）无论a,b为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标．
（3）已知点P（x0，m）和Q（2，n）都在函数y1的图象上，若x0＜2，且m＞n,求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质
1.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
名师点拨
配方法把二次函数化为顶点式的一般步骤是：
一提（提取二次项系数）、二配（加上一次项系数一半的平方）三整理（整理成完全平方式）
典例剖析3
例3-1．二次函数y=（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
例3-2．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
例3-3．甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如y=ax2+bx的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点在第三象限；丙：经过点（-2，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都有可能
针对训练3
1．在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2=-4．
②y1+y2=4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，-1），则AN⊥BN．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．二次函数y=（x-1）2+2，当-3＜x＜2时，y的取值范围是 _____．
3．已知二次函数y=ax2-2ax-a2+4a-11（a是常数，且a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 _____；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 _____．
能力提升3
1．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
2．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
3．已知函数y=x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y=x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：_____；
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
知识点4 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与系数的关系
二次函数与系数a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
名师点拨
a决定了抛物线的开口方向，是否具有最大值，最小值，|a| 决定了抛物线开口大小。
b共同决定了抛物线的对称轴（同左异右）
C决定了抛物线与y轴交点位置。
b2-4ac＞0决定了抛物线与x轴交点个数
只含a、c 或b、c的式子正负可以综合特殊值与对称轴进行判断。
典例剖析4
例4-1．如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x=2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a-b+c＞0；
③方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=，x2=-；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例4-2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例4-3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），则下列结论，正确的有（ ）
①若（m-2，y1）、（m,y2）在该抛物线上，当y1＜y2时，m的取值范围是m≥2；
②若抛物线与y轴交于点C（0，-3），当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为或；
③平面直角坐标系内，线段MN的端点为M（4，2），N（7，2），当抛物线y=ax2+bx+c与线段MN有交点时，a的取值范围是；
④以AB为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
针对训练4
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a-2b+c＜0；
③3a+c=0；
④当-3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2．下列说法：①abc＜0；②c-3a＞0；③4a2-2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2，则m的取值范围为-5＜m＜-2，其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
能力提升4
1．已知二次函数y=x2-4mx-2m+3，当-1≤x≤0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A. -1＜m＜2 B. ＜m＜1
C. ＜m＜0 D. -1＜m＜
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
知识点5 二次函数y=ax2+bx+c 的最值
求y=ax +bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
名师点拨
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
典例剖析5
例5-1．已知抛物线y=（x-b）2+c经过A（1-n,y1），B（n,y2），C（n+3，y3）三点，y1=y3．当1-n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A. -5 B. 3
C. D. 4
例5-2．已知函数y1=ax2-2ax+c（a＞0），y2=-ax2+2ax+c,当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（ ）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 4
例5-3．已知二次函数y=（x-a）2+1，当-1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为（ ）
A. 0或1 B. 0或4 C. 1或4 D. 0或1或4
针对训练5
1．对于二次函数y=（x-1）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（1，1） D. 当x=1时，y有最大值是1
2．在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 _____；a的最小值为 _____．
3．如图，设定点A（1，-），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′．已知点B（2，0）、C（3，0）．
（1）若点P为（-5，），求旋转后得到的点P′的坐标为 _____．
（2）求△BCP′的面积最小值为 _____．
能力提升5
1．如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，矩形（阴影部分）EFGB的一边BG在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、CD上．
（1）当FG=5时，矩形EFGB的面积为 _____；
（2）矩形EFGB面积最大时，FG=_____，最大面积为 _____．
2．如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，∠B=60°．
（1）求AB的长；
（2）设AE=x,则DE=_____．EF=_____（用含x的表达式表示）．
（3）求矩形CDEF的面积的最大值．
3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标．
人教版数学九年级上暑假预习课
第七讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c图像与几何变换
二次函数图像的平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
名师点拨
平移规律：上加下减，左加右减
典例剖析1
例1-1．把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（ ）
A. y=3（x-2）2+1 B. y=3（x-2）2-1
C. y=3（x+2）2+1 D. y=3（x+2）2-1
【答案】C
【解析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位y=3（x+2）2+1．
故选：C．
例1-2．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位
B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位
C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位
D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位．
【答案】D
【解析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
解：抛物线的顶点坐标为：（0，），
∵，则顶点坐标为：（4，），
∴顶点由（0，）平移到（4，），需要向右平移4个单位，再向下平移5个单位，
故选择：D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
例1-3．将抛物线y=-2x2+4x+6绕它的顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式 _____．
【答案】y=2x2-4x+10
【解析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．
解：y=-2x2+4x+6=-2（x2-2x+1-1）+6=-2（x-1）2+8，
旋转后的抛物线的解析式为y=2（x-1）2+8，即y=2x2-4x+10．
故答案为：y=2x2-4x+10．
针对训练1
1．将函数y=x2+2x-3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的是新函数y=|x2+2x-3|的图象，若该新函数图象与直线y=-x+b有两个交点，则b的取值范围为_____．
【答案】b＞或-＜b＜
【解析】求出y=|x2+2x-3|的图象与x轴的交点为（-3，0），（1，0），画出函数图象，分别求出直线经过点（-3，0），（1，0）时b的值，再求出直线与y=-x2-2x+3有一个交点时b的值，结合函数图象与一次函数图象有两个交点时b的范围即可．
解：如图：
令y=0，x2+2x-3=0，
解得x=-3或x=1，
∴函数y=|x2+2x-3|的图象与x轴的交点为（-3，0），（1，0），
当直线y=-x+b经过点（-3，0）时，b=-，
此时直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|只有一个交点，
当直线y=-x+b经过点（1，0）时，b=，
此时直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有三个交点，
∴-＜b＜时，直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有两个交点；
当y=-x2-2x+3与y=-x+b有一个交点时，
即-x2-2x+3=-x+b,
∴b=，
此时此时直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有三个交点，
∴当b＞时，直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有两个交点；
综上所述：b＞或-＜b＜时，直线y=-x+b与y=|x2+2x-3|有两个交点；
故答案为b＞或-＜b＜．
2．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【解析】
先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
3．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
【解析】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断．
解：（1）∵y=x2-2x+4中，a=1＞0，
∴该抛物线的开口向上，
∵y=x2-2x+4=（x-1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y=（x-1+3）2+3-7，即y=（x+2）2-4，
当x=1时，y=（1+2）2-4=5≠-5，
∴新抛物线不过点P（1，-5）．
能力提升1
1．已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1（m是常数）与直线l：y=x-1．
（1）若抛物线的对称轴为x=1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 _____；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
【答案】（1，0）
【解析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后直接得到答案；
（2）将顶点P的坐标代入直线方程进行验证即可；
（3）联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式符号进行判断．
解：（1）∵y=x2-2mx+m2+m-1=（x-m）2+m-1，
∴对称轴是直线x=m.
又∵抛物线的对称轴为x=1，
∴m=1，
∴该抛物线解析式为：y=（x-1）2，
∴其顶点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）证明：∵y=x2-2mx+m2+m-1=（x-m）2+m-1，
∴点P的坐标为（m,m-1），
∵当x=m时，y=x-1=m-1，
∴点P在直线l上；
（3）设将抛物线向上平移n个单位后与直线l有唯一公共点，
则平移后的抛物线解析式为y=x2-2mx+m2+m-1+n,
与直线l：y=x-1联立，得，
消去y,并整理得，x2-（2m+1）x+m2+m+n=0，
由Δ=[-（2m+1）]2-4（m2+m+n）=0，
解得，n=，
∴将抛物线向上平移个单位后与直线l有唯一公共点．
2．如图，抛物线C1：y=x2+2x+c与抛物线C2：y=x2-4x+d相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标，并求线段AB的长；
（2）点P（-2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，则p_____q（填“＞”“＜”或“=”）；
（3）若点C（0，-1），求将抛物线C1平移到抛物线C2的最短距离．
【答案】＜
【解析】（1）根据，可求得对称轴为x=-1，再由点A与点T关于直线x=-1对称，即可求得点A的横坐标，根据函数的对称性可求解AB=6；
（2）先根据对称性可求出A点的横坐标和B点的横坐标，可知p＜q；
（3）根据点C坐标求出抛物线C1的解析式，再根据交点求出C2的解析式，根据两个抛物线的顶点坐标求出平移后的最短距离．
解：（1）抛物线C1的对称轴为，
∵T的横坐标为1，点A与点T关于直线x=-1对称，
∴，
解得：xA=-3，
∴点A的横坐标为-3，
∵抛物线C2的对称轴为，C1的对称轴为，
∴线段AB=AT+BT=2[2-（-1）]=6．
（2）∵点A与点T关于直线x=-1对称，点T的横坐标为1，根据中点坐标公式得，
解得：xA=-3，
∴A的横坐标为-3，
∵点B与点T关于直线x=2对称，点T的横坐标为1，根据中点坐标公式得，
解得：xB=3，
∴B的横坐标为3，
∴点P（-2，p）在抛物线C1上，在直线AB的下方，点Q（5，q）在抛物线C2上，在直线AB的上方，
∴p＜q.
故答案为：＜；
（3）将C（0，-1）代入y=x2+2x+c,得c=-1，
∴y=x2+2x-1，
∵T的横坐标为1，
∴y=12+2×1-1=2∴点T的坐标为（1，2）．
将（1，2）代入y=x2-4x+d中，得d=5，
抛物线C1：y=x2+2x-1=（x+1）2-2，其顶点坐标为（-1，-2），
抛物线C2：y=x2-4x+5=（x-2）2+1，其顶点坐标为（2，1），
∴将抛物线C1平移到抛物线C2的最短距离为．
3．已知二次函数y=ax2-2x-3的图象过点A（2，-3），顶点为C．
（1）求点C坐标；
（2）若A、B两点关于二次函数图象的对称轴对称，求△ABC的周长．
【解析】（1）把A点坐标代入y=ax2-2x-3得4a-4-3=-3，解方程求出a得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式，从而得到顶点C的坐标；
（2）利用抛物线的对称性得到B点坐标，则可得到AB的长，然后利用两点间的距离公式求出AC、BC，从而得到△ABC的周长．
解：（1）把A（2，-3）代入y=ax2-2x-3得4a-4-3=-3，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∵y=（x-1）2-4，
∴二次函数图像的顶点C坐标为（1，-4）；
（2）∵抛物线的对称轴是直线x=1，而A（2，-3），
∴点B（0，-3），
∵AC=BC==，AB=2，
∴△ABC的周长为2+2．
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 的三种形式
1.二次函数的一般式：
2.二次函数的顶点式：y=a（x-p）2 +k，其中（p,k）为顶点。
二次函数的交点式：
名师点拨
1.一般式 适用于已知三个普通点（或相类似条件）
2.顶点式 适用于知道顶点的相关条件，比如，对称轴，最值等
3.交点式 适用于知道与x轴的交点坐标等相关条件；
在一定的条件下，选用恰当形式的解析式，可以取到事半功倍的效果，大为简化计算过程，能更快，更好的使用题中条件
典例剖析2
例2-1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（-2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴a=，
∵顶点为（-2，1），
∴抛物线解析式为y=（x+2）2+1．
故选：C．
例2-2．已知抛物线y=x2+（3m-1）x-3m（m＞0）的最低点的纵坐标为-4，则抛物线的表达式是（ ）
A. y=x2-6x+5 B. y=x2+2x-3 C. y=x2+5x-6 D. y=x2+4x-5
【答案】B
【解析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可．
解：∵抛物线y=x2+（3m-1）x-3m（m＞0）的最低点的纵坐标为-4，
∴，
即，
∴（3m-1）2+12m=16，
（3m+1）2=16，
∴3m+1=±4，
解得：m1=1，，
当m=1时，抛物线为y=x2+2x-3．
故选：B．
例3-3．已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，且经过（5，0）和（1，4）两点，则这个二次函数的解析式为 _____．
【答案】y=-x2+2x+
【解析】利用抛物线对称轴公式列出关系式，把两点坐标代入列出关系式，联立求出a,b,c的值，即可确定出二次函数解析式．
解：根据题意得：，
解得：a=-，b=2，c=，
则这个二次函数解析式为y=-x2+2x+．
故答案为：y=-x2+2x+．
针对训练2
1．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=m2-1=0，得出：m2-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-1=x2-2x或y=（x+1）2-1=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=（x-m）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，-1）．
2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】（1）；
（2）
（3），
【解析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；
（3）由题意可得，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点、点代入抛物线解析式可得，解得，
即抛物线为．
设直线l的解析式为，
将点、点代入得解得，
即直线l的解析式为；
【小问2详解】
解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，
则，所以，
点，，点．
连接，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
化简可得：，解得，（舍去），
即，四边形是平行四边形；
【小问3详解】
连接、，如图：
由题意可得：
，
∴，
∵，开口向下，对称轴，
∴当时，面积最大，．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．
3．已知二次函数的图象经过（4，-3）和（6，-3）两点，与y轴交于（0，21），求此二次函数的解析式．
【解析】利用待定系数法即可求解．
解：二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
∵二次函数的图象经过（4，-3）和（6，-3）两点，与y轴交于（0，21），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2-10x+21．
能力提升2
1．如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）
（2）2；P（-1，0）
【解析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【小问1详解】
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
2．二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（5，0），并且经过点C（0，-3），试求该函数表达式．
【解析】设这个二次函数的表达式为y=a（x+3）（x-5），再将点C（0，-3）代入求解即可得．
解：由题意，设这个二次函数的表达式为y=a（x+3）（x-5），
将点C（0，-3）代入得：（0+3）×（0-5）a=-3，
解得，
则，即，
故该函数表达式为．
3．设二次函数y1=ax2+bx+a-5（a,b为常数，a≠0），已知2a+b=3．
（1）若该函数的对称轴为直线x=3，求该二次函数的表达式．
（2）无论a,b为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标．
（3）已知点P（x0，m）和Q（2，n）都在函数y1的图象上，若x0＜2，且m＞n,求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．
【解析】（1）利用待定系数法求解求得该二次函数的表达式
（2）将2a+b=3代入二次函数y=ax2+bx+a-5（a,b为常数，a≠0）中，整理得y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2，可知恒过点（1，2）；
（3）通过y=ax2+（3-2a）x+a-5，可求得对称轴为x=-，因为x0＜2，且m＞n,所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围．
解：（1）∵函数y=ax2+bx+a-5的函数的对称轴为直线x=3，
∴-=3，
∴b=-6a,
∵2a+b=3，
∴2a-6a=3，
∴a=-，b=，
∴二次函数的解析式为y=-x2+x-；
（2）∵2a+b=3，
∴二次函数y=ax2+bx+a-5=ax2+（3-2a）x+a-5，
整理得，y=[ax2+（3-2a）x+a-3]-2=（ax-a+3）（x-1）-2
∴当x=1时，y=-2，
∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，-2）；
（3）∵y=ax2+（3-2a）x+a-5，
∴对称轴为x=-，
∵x0＜2，且m＞n,
∴当a＞0时，对称轴x=-＞2-，
解得：x0＜-，
当a＜0时，对称轴x=-＜2-，
解得：x0＞-（不符合题意，故x0不存在），
故x0的取值范围为：x0＜-．
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图像性质
1.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
2.二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
名师点拨
配方法把二次函数化为顶点式的一般步骤是：
一提（提取二次项系数）、二配（加上一次项系数一半的平方）三整理（整理成完全平方式）
典例剖析3
例3-1．二次函数y=（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
例3-2．若函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】由二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，可知Δ＜0，得出m＜-1，然后根据m的取值判定m+1，m-1的取值即可．
解：∵二次函数y=x2-2x-m与x轴没有交点，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
例3-3．甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如y=ax2+bx的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点在第三象限；丙：经过点（-2，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都有可能
【答案】A
【解析】由于抛物线y=ax2+bx经过原点，若开口向下，则顶点不可能在第三象限，于是可判断甲、乙的解析式不同；若开口向下，抛物线过点（-2，0），（0，0），则可判断抛物线不经过第一象限，不可能经过（1，3），则可判断甲、丙的解析式不同．
解：∵抛物线y=ax2+bx经过原点，
∴当开口向下，顶点不可能在第三象限，所以甲、乙的解析式不同；
当开口向下，过点（-2，0），（0，0），则抛物线不可能经过（1，3），所以甲、丙的解析式不同，
∴抽到与其他两人解析式不同的是甲．
故选：A．
针对训练3
1．在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2=-4．
②y1+y2=4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，-1），则AN⊥BN．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
解：由题意得x1，x2满足方程x2-kx-1=0；y1，y2满足方程y2-（2+4k2）y+1=0．
依据根与系数的关系得，x1+x2=4k,x1 x2=-4，y1+y2=4k2+2，y1 y2=1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB===4（k2+1）．
∴当k=0时，AB最小值为4．
∴S△AOB=×1×AB=2．
∴③正确．
由题意，kAN=，kBN=，
∴kAN kBN= ===-k2-1．
∴当k=0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
2．二次函数y=（x-1）2+2，当-3＜x＜2时，y的取值范围是 _____．
【答案】2≤y＜18
【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
解：∵y=（x-1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），
将x=-3代入y=（x-1）2+2得y=16+2=18，
∴当-3＜x＜2时，2≤y＜18，
故答案为：2≤y＜18．
3．已知二次函数y=ax2-2ax-a2+4a-11（a是常数，且a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 _____；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 _____．
【答案】(1)直线x=1;(2)-7;
【解析】（1）利用对称轴公式进行求解即可；
（2）求出图象与y轴的纵坐标，转化为二次函数求最值即可．
解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当x=0时，y=-a2+4a-11=-（a2-4a+4-4）-11=-（a-2）2-7，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当a=2时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
能力提升3
1．已知二次函数y=x2-2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由．
【解析】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断．
解：（1）∵y=x2-2x+4中，a=1＞0，
∴该抛物线的开口向上，
∵y=x2-2x+4=（x-1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y=（x-1+3）2+3-7，即y=（x+2）2-4，
当x=1时，y=（1+2）2-4=5≠-5，
∴新抛物线不过点P（1，-5）．
2．已知二次函数y=（x-m）2-1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．
【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y=m2-1=0，得出：m2-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-1=x2-2x或y=（x+1）2-1=x2+2x；
（2）∵m=2，
∴二次函数y=（x-m）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3，
∴抛物线的顶点为：D（2，-1），
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴C（0，3）、D（2，-1）．
3．已知函数y=x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y=x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：_____；
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
【答案】抛物线关于点（2，1）成中心对称
【解析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；
（3）根据图象求整点坐标即可．
解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：，
解得，
∴y=x2+bx+c（x≥2）的解析式为y=x2-6x+9；
（2）如图所示：
①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，
故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；
②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；
（3）如图：
由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，0），（1，1）．
知识点4 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与系数的关系
二次函数与系数a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
名师点拨
a决定了抛物线的开口方向，是否具有最大值，最小值，|a| 决定了抛物线开口大小。
b共同决定了抛物线的对称轴（同左异右）
C决定了抛物线与y轴交点位置。
b2-4ac＞0决定了抛物线与x轴交点个数
只含a、c 或b、c的式子正负可以综合特殊值与对称轴进行判断。
典例剖析4
例4-1．如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x=2．则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②a-b+c＞0；
③方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=，x2=-；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵-＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=2，x=5时，y＞0，
∴x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，故②正确；
由cx2+bx+a=0可得方程的解x1+x2=-，x1x2=，
∵的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（-2，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为-2，6，
∴-=4，=-12，
∴-==-，=-
而若方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=，x2=-，则-==，=）=-，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，
∴y1＞y2，故不正确．
故选：B．
例4-2．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（-3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②当x=2时，y=4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为（-，m），
∴-，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x=0时，y=c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x=-是抛物线的对称轴，
∴-，
∴，
∴a=b,
由图象可得：x=1时，y=a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x=-是抛物线的对称轴，
设（-3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根，
∴Δ=b2-4a（c-3）＜0，
∴b2-4ac+12a＜0，
∴b2-4ac＜-12a,
∴4ac-b2＞12a,
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
例4-3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），则下列结论，正确的有（ ）
①若（m-2，y1）、（m,y2）在该抛物线上，当y1＜y2时，m的取值范围是m≥2；
②若抛物线与y轴交于点C（0，-3），当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为或；
③平面直角坐标系内，线段MN的端点为M（4，2），N（7，2），当抛物线y=ax2+bx+c与线段MN有交点时，a的取值范围是；
④以AB为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】根据抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），对称轴为x=1，当m=2时，两点为（0，y1），（2，y2），两点关于x=1对称，即可判断①；由y=a（x+1）（x-3）过点C（0，-3）得抛物线解析式，根据n＞1时二次函数的最值问题可判断②；分别求出抛物线过点M、N时a的值即可判断③；根据抛物线与x轴交点即可判断④．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），
∴y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a,对称轴为x=1，
当m=2时，两点为（0，y1），（2，y2），两点关于x=1对称，
此时y1=y2，故①不成立；
∵y=a（x+1）（x-3）过点C（0，-3），
∴a=1，
∴y=x2-2x-3，
当x=4时，y=5，
当n＞1时，则y随x的增大而增大，
这时在x=n处取最小值5-6=-1，
∴n2-2n-3=-1，
∴n=1±（负值舍去），
∴n=1+，
当n＞1时，y=x2-2x-3在x=1处取最小值，这时最大值不小于5，这时两者之差不是6，
∴n=1+，故②不成立；
当y=a（x+1）（x-3）过点M时，5a=2，
∴a=，
当y=a（x+1）（x-3）过点N时，32a=2，
∴a=，
∴当抛物线y=a（x+1）（x-3）过点M、N时，，故③成立；
当a＜0时，抛物线开口向下，这时以AB为直径的圆与抛物线在x轴下方无交点，
∴不成立，故④不成立，
所以正确的结论只有1个，
故选：A．
针对训练4
1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a-2b+c＜0；
③3a+c=0；
④当-3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a,b,c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（-2，4a-2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．
解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数图象的顶点在第四象限，
∴，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y=ax2+bx+c,当x=-2时，y=4a-2b+c,
∴点（-2，4a-2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（-3，0），
∴点（-2，4a-2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a-2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（-3，0），
∴，消去b得：3a+c=0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（-3，0）
∴当-3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2．下列说法：①abc＜0；②c-3a＞0；③4a2-2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2，则m的取值范围为-5＜m＜-2，其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x=-2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c-3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x=-2，
∴-=-2，整理得：b=4a,即a、b同号．
由图象可知，当x=4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x=-2，可知：当x=0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b=4a.
代入原解析式得：y=ax2+4ax+c；
由图象可知，当x=-1时，y＞0．
即：a （-1）2+4a （-1）+c＞0，
整理得：c-3a＞0，故②正确．
③由①得：b=4a.
不等式4a2-2ab≥at（at+b），
等价于4a2-2a 4a≥at（at+4a），
整得：（t+2）2≤0，
∵t为全体实数，
∴（t+2）2≥0，故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c-y1=0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x=-2对称，
∴当且仅当m＜-2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1=y2，
即当-5＜m＜-2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. c＜0
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大
D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【答案】D
【解析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与y轴交点的位置即可判断B；根据图象从左往右的趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D．
解：A、∵抛物线抛物线开口方向向下，
∴a＜0，故本选项结论错误；
B、∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，
∴c＞0，故本选项结论错误；
C、∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，则另一交点坐标是（3，0），
∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
能力提升4
1．已知二次函数y=x2-4mx-2m+3，当-1≤x≤0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A. -1＜m＜2 B. ＜m＜1
C. ＜m＜0 D. -1＜m＜
【答案】B
【解析】分别对①当抛物线的对称轴x=2m≤-1时，②当抛物线的对称轴x=2m≥0时，即m≥0时，③当抛物线的对称轴x=2m在区间-1＜x＜0时，进行分析得出m的取值范围即可．
解：y=x2-4mx-2m+3=（x-2m） 2-4m2-2m+3，对称轴x=2m,开口向上．
当x=2m≤-1时，x=-1，y=1+4m-2m+3＞1即可，∴m＞，∴＜m≤-；
当-1＜2m＜0时，y=-4m2-2m+3＞1即可，-1＜m＜，∴-＜m＜0；
当x=2m≥0时，x=0，y=-2m+3＞1即可，
∴0≤m＜1．
综上，＜m＜1．
故选：B．
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴-=1，b=-2a,
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1=a 22+2b+c,即4a+2b+c=1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt-（a+b）
=at2-2at-a+2a
=at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
=a（t-1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b,则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：C．
3．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
知识点5
求y=ax +bx+c（a≠0）的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
名师点拨
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
典例剖析5
例5-1．已知抛物线y=（x-b）2+c经过A（1-n,y1），B（n,y2），C（n+3，y3）三点，y1=y3．当1-n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A. -5 B. 3
C. D. 4
【答案】B
【解析】根据y1=y3，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为y=（x-2）2+c,再由1-n≤x≤n,可得点B在点A的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：∵y1=y3，
∴A，C两点关于对称轴对称．
∴，
即抛物线解析式为y=（x-2）2+c.
∵1-n≤x≤n,
∴点B在点A的右侧，且有1-n≤n,
∴．
情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；
当x=1-n时，二次函数取到最大值为y=（1-n-2）2+c=（n+1）2+c；
当x=n时，二次函数取到最小值为y=（n-2）2+c,
∴（n+1）2+c-（n-2）2-c=16，解得（舍去）．
情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2-（1-n）=1+n.B到对称轴的距离为n-2，当x=1-n时，二次函数取到最大值为y=（1-n-2）2+c=（n+1）2+c；
当x=2时，二次函数取到最小值为y=c,
∴（n+1）2+c-c=16，解得n=3或-5（舍）．
综上，n=3．
故选：B．
例5-2．已知函数y1=ax2-2ax+c（a＞0），y2=-ax2+2ax+c,当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（ ）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】由0≤x≤2时，2≤y1≤3，求出a、c的值，即可求解．
解：由题意得：当0≤x≤2时，函数y1在对称轴x=1时取得最小值，即y1=a-2a+c=2①，
函数y1在x=2时，取得最大值，即y1=4a-4a+c=3②，
联立①②并解得：，
故y2=-ax2+2ax+c=-x2+2x+3，
当0≤x≤2时，y2在对称轴处取得最大值，
∴当x=1时，y=4，
故最大值是4，
故选：D．
例5-3．已知二次函数y=（x-a）2+1，当-1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为（ ）
A. 0或1 B. 0或4 C. 1或4 D. 0或1或4
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得a的值．
解：∵二次函数y=（x-a）2+1，
∴当x=a时，该函数取得最小值1，
∵当-1≤x≤2时，y的最小值为a+1，
∴当a＜-1时，x=-1时取得最小值，此时（-1-a）2+1=a+1，该方程无解；
当-1≤a≤2时，x=a时取得最小值，此时1=a+1，得a=0；
当a＞2时，当x=2时取得最小值，此时（2-a）2+1=a+1，得a=4；
故选：B．
针对训练5
1．对于二次函数y=（x-1）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1
C. 顶点坐标是（1，1） D. 当x=1时，y有最大值是1
【答案】C
【解析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
解：由y=（x-1）2+1得，开口向上，
故选项A不符合题意；
对称轴为直线x=1，
故选项B不符合题意；
顶点坐标为（1，1），
故选项C符合题意；
当x=1时，y有最小值为1，
故选项D不符合题意，
故选：C．
2．在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 _____；a的最小值为 _____．
【答案】(1)0;(2);
【解析】用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解．
解：当抛物线经过A（0，2），B（1，0），C（3，1）三点时，
得，
解得，；
当抛物线经过A（0，2），B（1，0），D（2，3）三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过A（0，2），D（2，3）三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过B（1，0），D（2，3）三点时，
得，
解得，
∴，
∵
∴a的值最大是，a的值最小是，
∴．
故答案为：0，．
3．如图，设定点A（1，-），点P是二次函数图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′．已知点B（2，0）、C（3，0）．
（1）若点P为（-5，），求旋转后得到的点P′的坐标为 _____．
（2）求△BCP′的面积最小值为 _____．
【答案】(1)（1，3）;(2)-;
【解析】（1）过P作PD∥x轴，过A作AD∥y轴，两平行线交点为D，由A（1，-），P（-5，），可得AD=AP，∠PAD=60°，即知P'在直线AD上，从而P'（1，3）；
（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，连接C′O，作C′G⊥y轴于G，由A（1，-），B（2，0），C（3，0），可得△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，可求得C′（，），OC′的函数表达式为：y=x,设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+b,由旋转性质知，S△BCP′=S△B′C′P，当直线l与抛物线相切时取最小值，故x+b=（x+5）2+有两个相等的实数解，有（5-）2-4×（+-b）=0，解得b=6-，可得T（0，6-），从而S△B'C'P=S△B'C'T=OT C'G=-，即可得答案．
解：（1）过P作PD∥x轴，过A作AD∥y轴，两平行线交点为D，如图：
∵A（1，-），P（-5，），
∴PD=6，AD=2，AP=4，
∴AD=AP，
∴∠APD=30°，∠PAD=60°，
∵将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′，
∴P'在直线AD上，且AP'=AP=4，
∴P'（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（2）连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，连接C′O，作C′G⊥y轴于G，如图：
∵A（1，-），B（2，0），C（3，0），
∴OH=BH=1，BC=1，
∴OA=AB=OB=2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
由旋转的旋转可知C′O=CB=1，∠C′OA=∠CBA=120°，
∴∠C'OH=∠C'OA-∠BOA=120°-60°=60°，
在Rt△C′GO中，∠C′OG=90°-∠C′OH=30°，
∴C′G=OC′=，
∴OG=，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y=x,
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+b,
由旋转性质知，△B'C'P≌△BCP'，
∴S△BCP′=S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
∴x+b=（x+5）2+有两个相等的实数解，
即x2+（5-）x++-b=0有两个相等的实数解，
∴（5-）2-4×（+-b）=0，
解得b=6-，
∴过P且与B′C′平行的直线l解析式为y=x+6-，
在y=x+6-中，令x=0得y=6-，
∴T（0，6-），
∴S△B'C'P=S△B'C'T=OT C'G=×（6-）×=-，
∴△BCP′的面积最小值为-．
故答案为：-．
能力提升5
1．如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，矩形（阴影部分）EFGB的一边BG在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、CD上．
（1）当FG=5时，矩形EFGB的面积为 _____；
（2）矩形EFGB面积最大时，FG=_____，最大面积为 _____．
【答案】(1)100;(2)15;(3)180;
【解析】（1）作DM⊥BC于点M，证明△FGC∽△DMC，得=，即可求出BG=20，再计算面积即可；
（2）设FG=x,矩形EFGB面积为y,由（1）得=，所以GC=x,BG=24-x,得y=（24-x）x=-x2+24x,当x=-=15时，y有最大值为180，即可求出答案．
解：（1）如图，作DM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，
∴四边形ABMD为矩形，
∴BM=AD=8，DM=AB=20，
∴MC=BC-BM=16，
∴CD===4，
∵FG∥DM，
∴△FGC∽△DMC，
∴=，
∴=，
∴GC=4，
∴BG=20，
∴矩形EFGB的面积为20×5=100；
故答案为：100；
（2）设FG=x,矩形EFGB面积为y,
由（1）得=，
∴GC=x,
∴BG=24-x,
∴y=（24-x）x=-x2+24x,
∴当x=-=15时，y有最大值为180，
∴矩形EFGB面积最大时，FG=15，最大面积为180．
故答案为：15，180．
2．如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，∠B=60°．
（1）求AB的长；
（2）设AE=x,则DE=_____．EF=_____（用含x的表达式表示）．
（3）求矩形CDEF的面积的最大值．
【答案】(1);(2)6-x;
【解析】（1）利用已知条件首先求出∠A，然后解直角三角形即可求解；
（2）首先利用已知条件求出DE，然后利用矩形的性质和三角函数即可求出EF的长度；
（3）首先利用矩形的面积公式建立函数关系式，然后利用二次函数即可求解．
解：（1）在Rt△ABC中，BC=6，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=2×6=12；
（2）在Rt△ADE中，∠A=30°，
∵AE=x,
∴DE=，AD=x,
∴CD=AC-AD=12×sin60°-x=6-x,
而四边形CDEF为矩形，
∴EF=CD=6-x.
故答案为：，6-x；
（3）∵S矩形CDEF=DE×EF
=x（6-x）
=，
∴当x=6时，矩形CDEF的面积取得最大值，为．
3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）根据点A、C的坐标，直接利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线AC的解析式为y=-x+4，由题意可得∠OAC=45°，由PQ∥y轴得∠PQH=45°，则PH=QH=PQ，设P（t,t2-5t+4），则Q（t,-t+4），以此得到△PHQ周长=，再用含t的代数式表示出PQ=-t2+4t,根据二次函数的性质可求出PQ的最大值以及P点坐标，再算出此时△PHQ的周长即可．
解：（1）∵点A（0，4），点C（4，0）在抛物线y=x2+bx+c上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4；
（2）设直线AC的解析式y=kx+b,
∵直线AC过点A（0，4），点C（4，0），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式y=-x+4，
由题意可知，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQH=45°，
∵PH⊥AC，
∴PH=QH=PQ，
∴，
要求△PHQ周长的最大值，即求PQ的最大值，
设P（t,t2-5t+4），则Q（t,-t+4），
∴PQ=-t+4-（t2-5t+4）=-t2+4t,
∵-1＜0，
∴当时，PQ有最大值，最大值为：-22+4×2=4，
此时P（2，-2），△PHQ的周长为：，
∴△PHQ周长的最大值为，此时点P的坐标为（2，-2）．
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