数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 课件（共22张ppt）

(共22张PPT)
1.2 空间向量基本定理
l
A
P
平面向量的正交分解及坐标表示
x
y
o
复习平面向量基本定理
如果两向量，不共线，那么对平面任一向量a ，均存在有序实数组{}，使得a= + .
当时，这种分解叫做平面向量的正交分解.
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量基本定理
（一般到特殊）
（特殊到一般）
空间向量的正交分解
空间向量基本定理
空间向量的坐标表示
（类比）
类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗？
探究
设, 是空间中三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于任意一个空间向量=，设 为为在所确定的平面的投影向量.
x
z
Q
P
i
j
k
O
y
x
z
Q
P
y
i
j
k
O
由平面向量基本定理可知，在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk.
在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OQ=xi+yj.
x
z
Q
y
i
j
k
O
x
z
Q
P
y
i
j
k
O
OP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk
空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项”.
注意
如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p=xi+yj+zk.称 xi, yj, zk为向量 p在 i, j , k上的分向量.
空间向量的正交分解
类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？
探究
O
A
B
C
A'
B'
P'
P
设a,b,c不共面，过点O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；过P作直线PP'平行于OC，交平面OAB与点P'；在平面OAB中，过点P'作直线P'A'//OB，P'B'//OA.
于是存在三个实数x,y,z，使
OA'=xOA=xa,OB'=yOB=yb,P'P=zOC=zc,
OP=OA'+OB'+P'P=xOA+yOB+zOC.
所以，p=xa+yb+zc.
空间向量的基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得
p=xa+yb+zc.
注意
空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组{a,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的.
如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.
c
b
a
基底和基向量
集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}可以看作是由向量a,b,c生成的.
{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量（base vector）.
注意
对于基底{a,b,c}需要明确以下几点：
1.向量a,b,c不共面；
2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；
3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
正交分解
(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为____，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{,}表示.
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量x，y，zk，使______________.像这样，把一个空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量正交分解.
两两垂直
1
＝x＋y＋z
两两垂直
A
B
C
O
M
N
Q
P
练习：如下图，M,N分别为四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC表示OP和OQ.
A
B
C
O
M
N
Q
P
课本P12页1-3题
例2　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
求证：MN⊥AC1.
例3　如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．
(1) 求证： EF∥AC；
(2) 求CE与AG所成角的余弦值．
课本P14页1-3题
1.空间向量基本定理.
在空间，具有大小和方向的量如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc.
2.基底与基向量.
空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
3.空间向量的正交分解.