2023-2024学年广东省佛山市高明区高一下学期5月月考数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省佛山市高明区高一下学期5月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.要得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形中最长的边长是( )
A. B. C. D.
5.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
6.在正方形中，点满足，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.( )
A. B. C. D.
8.如图，在圆锥的底面圆中，为直径，为圆心，点在圆上，且，为线段上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递减 D. 是偶函数
10.关于复数，下面是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则( )
A. 平面
B. 直线共面
C. 过四点的球的表面积是
D. 过三点的平面截正方体所得截面的周长是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期是
13.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环如图后，制成了简易笔筒如图的侧面，已知，则制成的简易笔筒的体积为 ．
14.在中，角的对边分别是，已知，点在边上，是内角的角平分线，且，则面积的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，．
证明：平面平面．
若是棱的中点，证明：．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求在的值域；
求不等式的解集．
18.本小题分
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体，如图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．如图，某半正多面体的表面由个全等的正方形和个全等的正三角形构成，该半正多面体的所有顶点都在同一个棱长为的正方体的表面上．
求该半正多面体的表面积；
求该半正多面体的体积．
19.本小题分
对任意两个非零向量，定义新运算：．
若向量，求的值；
若非零向量满足，且，求的取值范围；
已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为，
由正弦定理可得：，
且，可得，
且，可知，可得．
由可知：，，则，
因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为．
16.解：
由，得，而平面，平面平面，则平面，
由，平面，平面，得平面，
又平面，所以平面平面．
延长与的延长线分别交于点，
由，，得，由，是棱的中点，得，
因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面，
由知，平面平面，所以．
17.解：
由题意可得，
可得，解得，
而，可得，，又，
可得，
又，可得，解得，
所以；
当，可得，
所以，
所以，
即函数在的值域为；
由，可得，
可得，，
可得，，
所以不等式的解集为，．
18.解：
依题意该半正多面体补形后为棱长为的正方体，
设个全等的正方形和个全等的正三角的边长均为，
则，，
该半正多面体的表面积；
如图所示：
根据分割补形法可得：
该半正多面体的体积为：棱长为的大正方体的体积减去个直三棱柱与个倍的棱长为的小正方体的体积，
故所求体积为：．

19.解：
向量，则，，
于是，而，则，
所以．
由，，得，则，
所以
依题意，，而，，则，，
于是，显然存在，，则，因此，
即，则，显然，即，从而，
因此，又存在，使得，即，
解得，则，
所以的取值集合．
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