冀教版九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系单元复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 冀教版九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 742.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-26 07:52:21 | ||
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文档简介
冀教版九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系单元复习题
一、单选题
1． 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内
3．在平面直角坐标系中，点M(2，0)，⊙M的半径为4，那么点P(-2，3)与⊙M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
4．已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
5．⊙O的半径为5㎝，点A到圆心的距离OA=3㎝，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
6． 从一个半径为 10 的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
7．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
8．已知⊙O的半径为3，OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
9．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知⊙C的圆心的坐标是（4，0），半径为2，过点A（0，3）作⊙C的切线AB，点B为切点，则线段AB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
12．如图，直线 与 相切于点 ， 、 是 的两条弦，且 ．若 的半径为5， ，则弦 的长为 ．
13．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是 ．
14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
三、解答题
15．如图，、、、是直线上的四点，．
（1）求证：；
（2）点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是____．
16．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使CD=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：AB=AC．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
17．如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
18．如图，圆O是三角形ABC的内切圆，求证：AB+CF=AC+BF．
四、综合题
19．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E.
（1）求证：直线CE与⊙O相切；
（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长.
20．如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
21．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过点D作 ，垂足为点E．
（1）求证： ；
（2）判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆O；
②在AB的延长线上作一点D，使得CD与⊙O相切；
（2）综合与运用：在你所作的图中，若AC=6，则由线段CD，BD及 所围成图形的面积为 ．
23．如图矩形ABCO，点A，C分别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为(6，4)，点D(0，1)，点P为边AB上一个动点，过点D，P的圆⊙M与AB相切，⊙M交x轴于点E，连接AM．
（1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径；
（2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径；
（3）是否存在一点P使⊙M与矩形ABCO的另一条边也相切，若存在求出所有符合条件的点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC=AP=6，BP=BD
∴BD=BP=AB-AP=4
故答案为：B
【分析】根据切线性质即可求出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OP=5>3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故答案为：B．
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵M（2，0），P（-2，3），
∴MP==5＞4，
∴点P在⊙M外，
故答案为：C.
【分析】MP＜r，点在圆内；MP=r，点在圆上；MP＞r，点在圆外；根据题意求得MP长，再与⊙M半径比较大小即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8.
故答案为：A.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外，据此解答.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】若果一个点到圆心的距离小于该圆的半径，则该点在此圆内部；若果一个点到圆心的距离大于该圆的半径，则该点在此圆外部；若果一个点到圆心的距离等于该圆的半径，则该点在此圆上，根据点和圆的位置关系即可一一判断得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D
∵圆内接正六边形
∴∠AOB==60°，OA=OB
∴∠AOB=∠AOB=×60°=30°
在Rt△AOD中，OD==OA×cos∠AOB=OA×cos30°=10×=
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，根据正六边形的性质可求出∠AOB的度数；再依据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，然后解直角三角形求出OD的长。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接OD，根据切线的性质得出∠ADO＝90°，然后根据直角三角形的性质求出∠AOD，最后利用三角形的外角性质求∠AFD即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OP=5＞3，
∴点P与圆O的位置关系是点在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心O的距离为d，圆的半径为r，若d>r，则点在圆外；若d=r，则点在圆上；若d9．【答案】A
【解析】【解答】∵圆O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴ ，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180° (∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC= (AB+AC+BC) EO= AC BC，
∴EO= 1，
∴AE2=AO2+EO2=12+( 1)2=4 2 ，
∴扇形EAB的面积= = ，△ABE的面积= AB EO= 1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积 △ABE的面积= ，
∴阴影部分的面积= 圆O的面积 弓形AB的面积= ( )= 4，
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，根据等弧所对的弦相等得出AC=BC，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠CAB=∠CBA=45°，根据角平分线的定义得出∠EAB=∠EBA=22.5°，根据三角形的内角和得出∠AEB的度数；连接EO，根据等角对等边得出EA=EB，根据等腰三角形的三线合一得出EO⊥AB，进而得出EO为Rt△ABC内切圆半径，根据三角形的内心到三边的距离相等，进而得出S△ABC= (AB+AC+BC) EO，从而得出OE的长，由勾股定理算出AE的长，最后根据阴影部分的面积= 圆O的面积 弓形AB的面积= 圆O的面积-(扇形EAB的面积 △ABE的面积)即可算出答案。
10．【答案】C
【解析】【解答】连接CB，
∵AB为⊙C的切线，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得，AC＝ ＝5，
∴AB＝ ，
由切线长定理得，AB′＝AB＝ ，
故答案为：C.
【分析】连接BC，由切线的性质可得∠ABC＝90°，在直角三角形OAC中，用勾股定理可求得AC的值，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的值，然后根据切线长定理即可求解。
11．【答案】2
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接OC，
∵AB是⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OA⊥CD，
∴CE=DE= CD=4，
在Rt△CEO中，EO= ，
∴AE=AO+EO=8，
在Rt△ACE中，AC= ，
故答案为： .
【分析】由题意可求出OA⊥CD，根据垂径定理求出CE=DE= CD=4，根据勾股定理求出EO的值，再根据勾股定理求出AC的长。
13．【答案】
【解析】【解答】解：
当有最大值时，即tan∠MOP有最大值，
也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，
此时tan∠MOP=，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM===1，
则tan∠MOP====，
故答案为：．
【分析】当有最大值时，得出tan∠MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，根据解直角三角形得出tan∠MOP=，由勾股定理求出OM，代入求出即可．
14．【答案】54°．
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
【分析】连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．
15．【答案】（1）证明：∵，，，
∴．
在和中
∴；
（2）解：①如图，点Q即为所求；
②PQ//BE，PQ=BE.
【解析】【解答】解：（2）②PQ与BE的关系为：PQ∥BE，PQ=BE，理由如下：如图，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∵点P、Q分别是△ABC与△DEF的内心，
∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，BP=BG，EQ=EH，
∴∠PBE=∠ABC，∠QEC=∠DEF，
∴∠PBC=∠QEC，
∴BP∥EQ，
在△BCG与△EFH中，
∵∠ACB=∠DFE，BC=EF，∠PBC=∠QEC，
∴△BCG≌△EFH（ASA），
∴BG=EH，
∴BP=EQ，
∴四边形BEQP是平行四边形，
∴PQ∥BE，PQ=BE.
故答案为：PQ∥BE，PQ=BE.
【分析】（1）由BE=CF，根据等式性质可推出BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF；
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作∠DEF，∠DFE的角平分线，其交点即为点Q；
②由△ABC≌△DEF，得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，由三角形内心定义可得BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，BP=BG，EQ=EH，结合角平分线的定义得∠PBC=∠QEC，推出BP∥EQ，由ASA证△BCG≌△EFH，得BG=EH，则BP=EQ，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEQP是平行四边形，进而根据平行四边形的对边平行且相等可得PQ∥BE，PQ=BE.
16．【答案】（1）解：连接AD，如图．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADC=∠ADB=90°．
又∵AD=AD，CD= BD，
∴△ADC≌△ADB，
∴AB= AC．
（2）证明：连接OD，如图．
∵OA=OB，CD= BD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，证明 △ADC≌△ADB， 根据全等的性质证明.
（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，结合已知 DE⊥AC， 得到DE⊥OD，从而得证.
17．【答案】（1）证明：如图：连接OD．
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半径，
∴直线是的切线．
（2）解：
①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵与都是所对的圆周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴当达到最大长度时，达到最大长度．
∵的最大长度为2，
∴的最大长度为．
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角与圆心角、等腰三角形、勾股定理等知识。
（1）同圆中，两条半径有等腰，根据OA=OD得∠A=∠ODA，由直径AB得∠ADB=∠ODA+∠ODB=90°，等量代换，可得∠ODC=90°可得结论；
（2）如图所示：
① 由∠ABD=2∠A和直角三角形ABD得∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠APD； ②由PD⊥DQ得∠PDQ=90°，得∠Q=30°，则PQ=2PD，DQ=DP，则DP最长，DQ最长可得答案。
18．【答案】证明：∵圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③，
∴①+②+③得，AD+BD+CF=AE+BF+CE，
∴AB+CF=AC+BF．
【解析】【分析】根据切线长定理整理即可得出AB+CF=AC+BF．
19．【答案】（1）解：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠DCO＝∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠DCO＝∠D，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CE，
∴直线CE与⊙O相切
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6，
∵直线CE与⊙O相切，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝ .
【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，推出∠DCO＝∠D，得到OC∥DE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠BCE＝∠BAC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.
20．【答案】（1）解：连接BD，则∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1．
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=AD=1．∴AD=2．
（2）解：BC为⊙O的切线．证明如下：
连接OB，
∵BC∥OD，BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形．
∵AD为⊙O的切线，
∴OD⊥AD．
∴四边形BCDO为矩形．
∴OB⊥BC．
∵OB是⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）连接BD，则∠DBE=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=AD=1，所以AD=2；
（2）连接OB，先证明四边形BCDO为平行四边形，再结合OD⊥AD，可得四边形BCDO为矩形，所以OB⊥BC，再结合OB是⊙O的半径，即可得到BC为⊙O的切线。
21．【答案】（1）解：∵AB为 的直径
∴
在 和 中
∴ （HL）
（2）解：直线 与 相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
由 知： ，
又∵OA=OB
∴OD为 的中位线
∴
∵
∴
∵OD为 的半径
∴DE与 相切．
【解析】【分析】（1）AB为 的直径得 ，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；（2）由 得BD=BC，结合AO=BO得OD为 的中位线，由 得 ，可得直线DE为 切线．
22．【答案】（1）解：①作线段AB的垂直平分线EF交AB于O，以O为圆心OA为半径作⊙O，
⊙O即为所求．
②过点C作OC的垂线，交AB的延长线于D，
直线CD即为所求．
（2）6 ﹣2π
【解析】【解答】解：（2）线段CD，BD及 弧BC所围成图形的面积=S△DOC﹣S扇形O﹣BC= 6﹣ =6 ﹣2π．
【分析】（1）直角三角形的外接圆圆心就是斜边中点，半径就是斜边的一半；若CD和圆相切，则CD和OC垂直，因此过C作OC的垂线即可；（2）不规则图形面积可转化为规则图形面积的和或差，即线段CD，BD及弧BC 所围成图形的面积=S△DOC﹣S扇形OBC.
23．【答案】（1）解：如图，连结PM并延长交DE于点H，
∵⊙M与AB相切，
∴PH⊥AB，
∴PH⊥DE
当P为AB的中点时，OH=AP=3，
∴DH=2，
∴DE=4；
设⊙M的半径为R，在Rt△DHM中，
由勾股定理可以求得R=2.5．
（2）解：当AM⊥DP时，∵PM=DM，可得AM是DP的中垂线．
连结AD，则AD=AP，
在Rt△AOD中，由勾股定理可以求得AD= ．
∴AP= ．
∴P( ，4)
由AM⊥DP，可以求得△APM∽△PHD， ，
∴
∴R=
（3）解：①如图①，当⊙M与OC相切时：
AP=OD=1，∴P(1，4)
②如图②，当⊙M与AO相切时：
可以得到：AP=R，
DH=R－1，
MH=4－R，
DM=R，
在Rt△DHM中，
由勾股定理可以求得R= ．
∴P( ，4)
③如图③，当⊙M与CB相切时：
可以得到：BP=R， CH=R，
DH=5－R，
MH=4－R，
DM=R，
在Rt△DHM中，
由勾股定理求得R= ．
∴P( ，4) ．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得PH⊥AB，PH⊥CD，再在 Rt△DHM中，由勾股定理即可得R=2.5；
（2）
易得 AM是DP的中垂线，在Rt△AOD中，由勾股定理可以求得AD，即可得到AP，写出P点坐标。再得到△APM∽△PHD，利用相似三角形的性质即可求出R；
（3）假设存在，分别就⊙M与OC相切，⊙M与AO相切，
⊙M与CB相切进行讨论计算即可。
一、单选题
1． 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内
3．在平面直角坐标系中，点M(2，0)，⊙M的半径为4，那么点P(-2，3)与⊙M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
4．已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
5．⊙O的半径为5㎝，点A到圆心的距离OA=3㎝，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
6． 从一个半径为 10 的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
7．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
8．已知⊙O的半径为3，OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
9．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知⊙C的圆心的坐标是（4，0），半径为2，过点A（0，3）作⊙C的切线AB，点B为切点，则线段AB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
12．如图，直线 与 相切于点 ， 、 是 的两条弦，且 ．若 的半径为5， ，则弦 的长为 ．
13．如图，以点P（2，0）为圆心，为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则的最大值是 ．
14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
三、解答题
15．如图，、、、是直线上的四点，．
（1）求证：；
（2）点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是____．
16．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使CD=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：AB=AC．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
17．如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
18．如图，圆O是三角形ABC的内切圆，求证：AB+CF=AC+BF．
四、综合题
19．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E.
（1）求证：直线CE与⊙O相切；
（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长.
20．如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
21．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过点D作 ，垂足为点E．
（1）求证： ；
（2）判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆O；
②在AB的延长线上作一点D，使得CD与⊙O相切；
（2）综合与运用：在你所作的图中，若AC=6，则由线段CD，BD及 所围成图形的面积为 ．
23．如图矩形ABCO，点A，C分别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为(6，4)，点D(0，1)，点P为边AB上一个动点，过点D，P的圆⊙M与AB相切，⊙M交x轴于点E，连接AM．
（1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径；
（2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径；
（3）是否存在一点P使⊙M与矩形ABCO的另一条边也相切，若存在求出所有符合条件的点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC=AP=6，BP=BD
∴BD=BP=AB-AP=4
故答案为：B
【分析】根据切线性质即可求出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵OP=5>3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故答案为：B．
【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵M（2，0），P（-2，3），
∴MP==5＞4，
∴点P在⊙M外，
故答案为：C.
【分析】MP＜r，点在圆内；MP=r，点在圆上；MP＞r，点在圆外；根据题意求得MP长，再与⊙M半径比较大小即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8.
故答案为：A.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外，据此解答.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】若果一个点到圆心的距离小于该圆的半径，则该点在此圆内部；若果一个点到圆心的距离大于该圆的半径，则该点在此圆外部；若果一个点到圆心的距离等于该圆的半径，则该点在此圆上，根据点和圆的位置关系即可一一判断得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D
∵圆内接正六边形
∴∠AOB==60°，OA=OB
∴∠AOB=∠AOB=×60°=30°
在Rt△AOD中，OD==OA×cos∠AOB=OA×cos30°=10×=
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，根据正六边形的性质可求出∠AOB的度数；再依据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，然后解直角三角形求出OD的长。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接OD，根据切线的性质得出∠ADO＝90°，然后根据直角三角形的性质求出∠AOD，最后利用三角形的外角性质求∠AFD即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OP=5＞3，
∴点P与圆O的位置关系是点在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心O的距离为d，圆的半径为r，若d>r，则点在圆外；若d=r，则点在圆上；若d
【解析】【解答】∵圆O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴ ，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180° (∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC= (AB+AC+BC) EO= AC BC，
∴EO= 1，
∴AE2=AO2+EO2=12+( 1)2=4 2 ，
∴扇形EAB的面积= = ，△ABE的面积= AB EO= 1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积 △ABE的面积= ，
∴阴影部分的面积= 圆O的面积 弓形AB的面积= ( )= 4，
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，根据等弧所对的弦相等得出AC=BC，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠CAB=∠CBA=45°，根据角平分线的定义得出∠EAB=∠EBA=22.5°，根据三角形的内角和得出∠AEB的度数；连接EO，根据等角对等边得出EA=EB，根据等腰三角形的三线合一得出EO⊥AB，进而得出EO为Rt△ABC内切圆半径，根据三角形的内心到三边的距离相等，进而得出S△ABC= (AB+AC+BC) EO，从而得出OE的长，由勾股定理算出AE的长，最后根据阴影部分的面积= 圆O的面积 弓形AB的面积= 圆O的面积-(扇形EAB的面积 △ABE的面积)即可算出答案。
10．【答案】C
【解析】【解答】连接CB，
∵AB为⊙C的切线，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得，AC＝ ＝5，
∴AB＝ ，
由切线长定理得，AB′＝AB＝ ，
故答案为：C.
【分析】连接BC，由切线的性质可得∠ABC＝90°，在直角三角形OAC中，用勾股定理可求得AC的值，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的值，然后根据切线长定理即可求解。
11．【答案】2
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接OC，
∵AB是⊙O切线，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OA⊥CD，
∴CE=DE= CD=4，
在Rt△CEO中，EO= ，
∴AE=AO+EO=8，
在Rt△ACE中，AC= ，
故答案为： .
【分析】由题意可求出OA⊥CD，根据垂径定理求出CE=DE= CD=4，根据勾股定理求出EO的值，再根据勾股定理求出AC的长。
13．【答案】
【解析】【解答】解：
当有最大值时，即tan∠MOP有最大值，
也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，
此时tan∠MOP=，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM===1，
则tan∠MOP====，
故答案为：．
【分析】当有最大值时，得出tan∠MOP有最大值，推出当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，根据解直角三角形得出tan∠MOP=，由勾股定理求出OM，代入求出即可．
14．【答案】54°．
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
【分析】连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．
15．【答案】（1）证明：∵，，，
∴．
在和中
∴；
（2）解：①如图，点Q即为所求；
②PQ//BE，PQ=BE.
【解析】【解答】解：（2）②PQ与BE的关系为：PQ∥BE，PQ=BE，理由如下：如图，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∵点P、Q分别是△ABC与△DEF的内心，
∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，BP=BG，EQ=EH，
∴∠PBE=∠ABC，∠QEC=∠DEF，
∴∠PBC=∠QEC，
∴BP∥EQ，
在△BCG与△EFH中，
∵∠ACB=∠DFE，BC=EF，∠PBC=∠QEC，
∴△BCG≌△EFH（ASA），
∴BG=EH，
∴BP=EQ，
∴四边形BEQP是平行四边形，
∴PQ∥BE，PQ=BE.
故答案为：PQ∥BE，PQ=BE.
【分析】（1）由BE=CF，根据等式性质可推出BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF；
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作∠DEF，∠DFE的角平分线，其交点即为点Q；
②由△ABC≌△DEF，得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，由三角形内心定义可得BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，BP=BG，EQ=EH，结合角平分线的定义得∠PBC=∠QEC，推出BP∥EQ，由ASA证△BCG≌△EFH，得BG=EH，则BP=EQ，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEQP是平行四边形，进而根据平行四边形的对边平行且相等可得PQ∥BE，PQ=BE.
16．【答案】（1）解：连接AD，如图．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADC=∠ADB=90°．
又∵AD=AD，CD= BD，
∴△ADC≌△ADB，
∴AB= AC．
（2）证明：连接OD，如图．
∵OA=OB，CD= BD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，证明 △ADC≌△ADB， 根据全等的性质证明.
（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，结合已知 DE⊥AC， 得到DE⊥OD，从而得证.
17．【答案】（1）证明：如图：连接OD．
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半径，
∴直线是的切线．
（2）解：
①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵与都是所对的圆周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴当达到最大长度时，达到最大长度．
∵的最大长度为2，
∴的最大长度为．
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角与圆心角、等腰三角形、勾股定理等知识。
（1）同圆中，两条半径有等腰，根据OA=OD得∠A=∠ODA，由直径AB得∠ADB=∠ODA+∠ODB=90°，等量代换，可得∠ODC=90°可得结论；
（2）如图所示：
① 由∠ABD=2∠A和直角三角形ABD得∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠APD； ②由PD⊥DQ得∠PDQ=90°，得∠Q=30°，则PQ=2PD，DQ=DP，则DP最长，DQ最长可得答案。
18．【答案】证明：∵圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③，
∴①+②+③得，AD+BD+CF=AE+BF+CE，
∴AB+CF=AC+BF．
【解析】【分析】根据切线长定理整理即可得出AB+CF=AC+BF．
19．【答案】（1）解：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠ACD＝2∠A，
∴∠DCO＝∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠DCO＝∠D，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CE，
∴直线CE与⊙O相切
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6，
∵直线CE与⊙O相切，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝ .
【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，推出∠DCO＝∠D，得到OC∥DE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠BCE＝∠BAC，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.
20．【答案】（1）解：连接BD，则∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1．
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=AD=1．∴AD=2．
（2）解：BC为⊙O的切线．证明如下：
连接OB，
∵BC∥OD，BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形．
∵AD为⊙O的切线，
∴OD⊥AD．
∴四边形BCDO为矩形．
∴OB⊥BC．
∵OB是⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）连接BD，则∠DBE=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=AD=1，所以AD=2；
（2）连接OB，先证明四边形BCDO为平行四边形，再结合OD⊥AD，可得四边形BCDO为矩形，所以OB⊥BC，再结合OB是⊙O的半径，即可得到BC为⊙O的切线。
21．【答案】（1）解：∵AB为 的直径
∴
在 和 中
∴ （HL）
（2）解：直线 与 相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
由 知： ，
又∵OA=OB
∴OD为 的中位线
∴
∵
∴
∵OD为 的半径
∴DE与 相切．
【解析】【分析】（1）AB为 的直径得 ，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；（2）由 得BD=BC，结合AO=BO得OD为 的中位线，由 得 ，可得直线DE为 切线．
22．【答案】（1）解：①作线段AB的垂直平分线EF交AB于O，以O为圆心OA为半径作⊙O，
⊙O即为所求．
②过点C作OC的垂线，交AB的延长线于D，
直线CD即为所求．
（2）6 ﹣2π
【解析】【解答】解：（2）线段CD，BD及 弧BC所围成图形的面积=S△DOC﹣S扇形O﹣BC= 6﹣ =6 ﹣2π．
【分析】（1）直角三角形的外接圆圆心就是斜边中点，半径就是斜边的一半；若CD和圆相切，则CD和OC垂直，因此过C作OC的垂线即可；（2）不规则图形面积可转化为规则图形面积的和或差，即线段CD，BD及弧BC 所围成图形的面积=S△DOC﹣S扇形OBC.
23．【答案】（1）解：如图，连结PM并延长交DE于点H，
∵⊙M与AB相切，
∴PH⊥AB，
∴PH⊥DE
当P为AB的中点时，OH=AP=3，
∴DH=2，
∴DE=4；
设⊙M的半径为R，在Rt△DHM中，
由勾股定理可以求得R=2.5．
（2）解：当AM⊥DP时，∵PM=DM，可得AM是DP的中垂线．
连结AD，则AD=AP，
在Rt△AOD中，由勾股定理可以求得AD= ．
∴AP= ．
∴P( ，4)
由AM⊥DP，可以求得△APM∽△PHD， ，
∴
∴R=
（3）解：①如图①，当⊙M与OC相切时：
AP=OD=1，∴P(1，4)
②如图②，当⊙M与AO相切时：
可以得到：AP=R，
DH=R－1，
MH=4－R，
DM=R，
在Rt△DHM中，
由勾股定理可以求得R= ．
∴P( ，4)
③如图③，当⊙M与CB相切时：
可以得到：BP=R， CH=R，
DH=5－R，
MH=4－R，
DM=R，
在Rt△DHM中，
由勾股定理求得R= ．
∴P( ，4) ．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得PH⊥AB，PH⊥CD，再在 Rt△DHM中，由勾股定理即可得R=2.5；
（2）
易得 AM是DP的中垂线，在Rt△AOD中，由勾股定理可以求得AD，即可得到AP，写出P点坐标。再得到△APM∽△PHD，利用相似三角形的性质即可求出R；
（3）假设存在，分别就⊙M与OC相切，⊙M与AO相切，
⊙M与CB相切进行讨论计算即可。