1.3集合的基本运算 评估训练（含解析）2024——2025学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

1.3 集合的基本运算 评估训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．已知集合，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
7．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知全集，集合，，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
12．设集合，且，则集合可以为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若集合，，则 ．
14．已知集合，则的取值集合为 .
15．设定义在上的函数的值域为A，若集合A为有限集，且对任意，存在，使得，则满足条件的集合A的个数为 ．
16．已知集合，，则
三、解答题
17．已知全集，集合，，求：
(1)，；
(2)
18．设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
19．对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.
(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；
(2)若，且是“对称的”，求的值；
(3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：.
20．设数阵，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.
(1)若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；
(2)若，，求的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于.
21．若集合，集合，其中，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”.
(1)求所有满足条件的集合的个数；
(2)若且互不相等，证明：为定值.
22．已知全集，集合，．
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围．
23．设（为正整数），对任意的，，定义
(1)当时，，，求；
(2)当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值；
(3)集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用解一元二次不等式及求指数函数值域将集合进行化简后再判断交集.
【详解】依题意，，，故，故选C．
2．A
【分析】根据题意分析可知：，，，列不等式求解即可.
【详解】由中有2个元素可知：，，，
可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
3．A
【分析】根据集合的交集求解即可.
【详解】因为，，
所以，故.
故选：A
4．D
【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以，，，故A、B、C正确，D错误；
故选：D
5．B
【分析】根据集合交并补运算规则直接计算即可.
【详解】由题，，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】根据进行求解.
【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A，
参加径赛项目的学生组成的集合为，
由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素，
其中，
所以有个元素.
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为.
故选：C.
7．C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
8．D
【分析】先确定阴影部分表示的集合为，再根据补集与交集定义求解.
【详解】全集，集合，，
图中阴影部分的集合是.
故选：D.
9．B
【分析】利用补集、交集定义求出结果．
【详解】集合，，
∴，
则．
故选：B．
10．D
【分析】根据题意求集合，根据集合间的运算以及包含关系逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，或.
可得，故B错误；
可得或，可知集合不是集合的子集，故AC错误；
可得，故D正确.
故选：D.
11．A
【分析】由交集、并集和补集的定义求解即可.
【详解】对于A，由题意得，所以．故A正确；
对于B，，，所以，故B错误；
对于C，，或，故C错误；
对于D，或，或，故D错误.
故选：A.
12．B
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，依次判断求解.
【详解】对于A，，此时，不合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，不合题意；
对于D，，不合题意.
故选：B
13．;
【分析】根据集合并集的定义即可求解.
【详解】由集合的并集定义可得，因为，，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.
【详解】由题意可知：，
因为,所以当时，；
当时，则,
则或，解得或，
综上得，a的取值集合是.
故答案为：
15．5
【分析】根据题意，得到A中最大元素不超过1，最小元素不小于，再跟进集合元素的个数，分类讨论，结合集合中元素的性质，即可求解.
【详解】解：若A中最大元素为大于1的元素为a，则，不满足题意，
故A中最大元素不超过1，同理可得A中最小元素不小于，
若集合A中只有一个元素a，则，可得或，所以或，
若集合A中有两个元素，则或，
当时，可得（舍去）或，此时，可得，所以；
当时，，所以，可得，截得，所以，
所以或（舍去），所以；
若集合A中有三个元素，则或或，
当时，或（舍），此时，，，
所以，或，解得，，（舍去），
当时，，，可得，，所以，，即，
其集合A中有四个或四个以上元素，
则由上推导可得，，，矛盾，即此时A无解．
综上，所满足条件的集合A可以为，共5个．
故答案为：5．
16．
【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以.
故答案为：.
17．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解；
（2）首先计算补集，再求交集.
【详解】（1）由交集的定义可知，；
由并集的定义可知，；
（2）由补集定义可知，，
.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果；
（2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以或，
所以，．
（2）由（1）知或，又中只有一个整数，
由图知，，且，+
解得，所以实数m的取值范围是．
19．(1)是，是，否
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意直接判断即可；
（2）由题意可得，因为，所以中必有一个负数一个正数，分类整合即可求解；
（3）取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.
【详解】（1）由题意可判断：是，是，否
（2）因为，且是“对称的”，
所以可取，设满足，即，
因为，所以中必有一个负数一个正数，
而X中只有一个负数，所以必有一个是，
若则，但且，与题意矛盾；
若则，其中，当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；当时，，不符合题意；
所以.
（3）证明：取，设，满足，
所以，所以异号，
因为是X中的唯一的负数，
所以中之一为，另一个为，所以；
假设，其中，则，
选取，并设，满足，
所以，则异号，从而之中恰有一个为，
若，则，而正数，故即，与矛盾；
若，则，矛盾，
所以当时，，
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.分类整合进行推理判断是解决第三问的关键.
20．(1)，0
(2)40
(3)证明见解析
【分析】（1）直接由变换以及的定义即可求解；
（2）对集合分类讨论，进而得出的所有情况即可求解；
（3）分是否相等进行讨论，当，在的所有非空子集中，分：含有且不含的子集、含有且不含的子集、同时含有和的子集和不含也不含的子集，四种情况进行讨论，当，分含有的子集和不含有的子集两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）因为，，
经过变换得到的数阵，
经过变换得到的数阵，
所以.
（2）若，则或，
可得，4种情况；
若或，，则，
可得，4种情况；
若，从和中各取出一个元素a，b，
，，，则，
可得，8种；
若，，则或，
可得，4种情况；
综上，的所有可能取值的和；
（3）若，在的所有非空子集中，
①含有且不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，；
其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
②含有且不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，；
其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
③同时含有和的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为，；
④不含也不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均变为，；
若，在的所有非空子集中，
①含有的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为，；
②不含的子集共个，
其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为，；
其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为，；
综上，经过变换后，所有的第一列数的和为
同理，经过变换后所有的第二列数的和为.
所以的所有可能取值的和为，
又因为，所以的所有可能取值的和不超过.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是要做到有序讨论，从而可以做到不重不漏，由此即可顺利得解.
21．(1)1024
(2)证明见解析
【分析】（1）将集合分成10个2元子集，再从中各取1个元素，进而求得集合的元素，得到其子集的个数；
（2）方法一、设，由（1）可知，与的关系为或，得到或，从而证得等式两边加上相同项，即可得证；
方法二、根据题意得到，结合，即可得证.
【详解】（1）将集合分成10个2元子集，，，
其中每个集合中两元素之和均为21，故从中各取1个元素，
作为集合的元素，则符合题意，所以集合的个数为.
（2）方法一、
设，
是的两个不同的“个性独立子集”，且，
由（1）可知，通过排序可使得，
同理，
故当，且时，与的关系为或，
因为，可得或，
设去掉集合中相同的项重新组成的集合分别为，，
又因为，故，
则
，
所以，
等式两边加上相同项，即为定值.
方法二、
由题意得，
即，
故，
因为，可得，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：
3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.
4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解.
22．(1)或
(2)
【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可.
（2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围.
【详解】（1）因为全集，集合，
所以或．
（2）因为，所以，故实数a的取值范围是．
23．(1)1
(2)4
(3)
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值；
（3）由得到，再根据且，得到，由此即可判断A中个数.
【详解】（1）当时，
；
（2）因为均为偶数，所以结果为0或2，
若，则A中的任意两个元素乘积为0，
即共有四个元素，
若，则A中必有两个位置为1，
即，
所以A中元素个数的最大值为4;
（3），中的“1”变为“0”，“0”变为“1”，
得到，
可得，
因为，，
所以，
因为中有个元素，
则A中元素个数最多有个，
所以A中元素个数的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行讨论得到个数最大值，而在不限n时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解.
答案第1页，共2页
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