2023-2024学年第二学期六校联合体期末调研测试
高二数学参考答案 2024.6
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．B
二．选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0分．
9． ACD 10．BCD 11．BCD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12 5
1 2
． 13．65 14．
5 2 9
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
解：（1） a 40,b 20 分
假设H0 :认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，
2 100 40 20 20 20
2
25 分 2.778 2.706
60 40 40 60 9
所以根据 0.1的独立性检验，认为H0不成立，即认为学生的性别与喜欢运动有关联；
分
5 5
（2）由题意得 x 4, y 4, x 2i 90, x iy i 89 ，
i 1 i 1
b 89 5 4 4 2 0.9， a 4 0.9 4 0.4，90 5 4 分
回归方程为 y 0.9x 0.4 分
16．（本小题满分 15分）
解：（1）∵展开式中第 2，3，4项的二项式系数成等差数列，
1
∴Cn C
3
n 2C
2 2
n ，整理得 n 9n 14 0
解之，得 n 2,n 7，又∵ n 3，∴n 7 分
2 f (0.001) (2 0.001) 7 C 027 C 1 6（ ） 7 72 0.001+C
2 5 2
72 (0.001)
128.448672 128.45 分
第 1页
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r 7 r r
（3）Tr 1 C7 2 x
C r 1 28 r C r 27 r
依题意得Tr Tr 1，Tr 1 T
7 7
r 2 ，即 C r 1 7 2
6 r C r7 2
7 r
5 8 *
解之， r ，又∵ r N ，∴ r 2
3 3
2 5 2 2
故展开式中系数最大得项为T3 C7 2 x 672x 分
17．（本小题满分 15分）
解： 连接 AC交 BD于O，建立如图所示的空间直角坐标系则 A 2,0,0 ， B 0, 2,0
2 2 2 2 C 2,0,0 ，D 0, 2,0 ， P 0,0, 2 ，M ,0, ， N 0, ,0
3 3 3
2 2 2 2
（1） MN , , ， 分
3 3 3
BC 2, 2,0 分
，
BC NM 0 BC MN 分
（2） 2 2 2 2 MN , , ，CN
2
3 3 3
2, ,0
3
，
设平面MCN的法向量为 m x, y, z 则
，
m MN 0，m CN 0解得：m 1,3, 2 分
设平面 BCN 的法向量为 n 0,0,1 , 分
设二面角M CN B的平面角为 ，
cos cos m, n 2 14 分
14 7
14
由图可知二面角M CN B的余弦值为 分
7
18．（本小题满分 17分）
1 2 2 2 4
解：（1）记事件 A为“甲得 3分”， P(A) 3 ( ) ( ) 分
3 3 27
（2） X 的取值为 0，1，2，3，4，6，10，
P(X 0) (2)4 16
3 81
P(X 1 2 1) 4 ( )3 32
3 3 81
P(X 2) 3 (1)2 (2)2 12
3 3 81
第 2页
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P(X 3) 3 (1)2 2 ( )2 12
3 3 81
P(X 4) 2 (1)3 2 4
3 3 81
P(X 6) 2 (1)3 2 4
3 3 81
P(X 10) 1 1 ( )4
3 81
X 0 1 2 3 4 6 10
16 32 12 12 4 4 1
P
81 81 81 81 81 81 81
分
E(X ) 142 分
81
（3）记Y 为乙最后得分，则事件 B为“甲 1分，乙 6分”，“甲 3分，乙 4分”，
“甲 4分，乙 3分”，“甲 6分，乙 1分”
P(Y 6) 2 2 1 16 ( )3
3 3 81
P(Y 4) 2 2 1 16 ( )3
3 3 81
P(Y 3) 3 ( 2)2 (1)2 12
3 3 81
P(Y 1) 4 (1 )3 2 8
3 3 81
P(B) 32 16 12 16 4 12 4 8 784故 分81 81 81 81 81 81 81 81 6561
19．（本小题满分 17分）
（1）函数 f(x)与 g(x)具有“伙伴”关系，理由如下：
根据定义，若 f(x)与 g(x)具有“伙伴”关系，则在 f(x)与 g(x)的定义域的交集上存在 x，
使得 f(x)＋g(x)＝0.
所以 9x－4＋3x+1＝0，即(3x＋4)( 3x－1)＝0，解得 x＝0，所以 f(x)与 g(x)具有“伙伴”关系.
分
（2） 函数 f(x)＝lnx－ax－1，x∈(1，＋∞)，a>0，g(x) 1－a＝ ＋2a
x
令 h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ax a－1－ － ＋2a－1，x∈(1，＋∞)，a>0，
x
第 3页
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h ′(x) 1 a a－1 (x－1)[ 1－a(x＋1)]＝ － ＋ ＝ 分
x x2 x2
①两函数具有“伙伴”关系,则函数 h(x)在(1，＋∞)上有零点.
当 a≥1时，h ′(x)＜0，所以 h(x)在(1，＋∞)上递减，所以 h(x)＜h(1)＝0，此时函数 h(x)无零点，
2
不符合题意. 分
当 0＜a 1＜ 时， h(x) 1 1在(1， －1)上递增，在( －1，＋∞)上递减，
2 a a
1
且 x∈(1， －1)时，h(x) 1＞h(1)＝0，h( －1)＞0
a a
当 x＞1 1 1－x时，函数 y＝lnx－x的导函数 y ′＝ －1＝ ，所以该函数在(1，＋∞)上递减，
x x
所以 y＜ln1－1＜0，所以 lnx＜x，从而 ln x＜ x，即 lnx＜2 x
a－1 a－1
此时，h(x)＝lnx－ax－ ＋2a－1＜2 x－ax－ ＋2a－1＝－ax＋2 x＋a
x 1
x a
2＋1＋1 a2＋1＋1 a2＋1＋1
取 0＝ 所以 h(x0)＜－a( )2＋2 ＋a＝0
a a a
从而 h(1 1－1) h(x0)＜0，又函数 h(x)图象在( －1，＋∞)上连续不间断，由零点存在定理可得，
a a
函数 h(x) 1在( －1，＋∞)上存在唯一零点，即存在 x1∈(1，＋∞)，使得 h(x1)＝0
a
1
综上可得，若两函数具有“伙伴”关系， a的取值范围为(0， ) 分
2
1
②由①可得若两函数不具有“伙伴”关系，a的取值范围为[ ，＋∞)，
2
1 1 1
且当 a＝ 时，恒有 h(x) ＜0成立，即 ln x x 在(1，＋∞)恒成立 分
2 2 x
n 1 n 1 1x
n 1 n 1 1 1
所以当 时，可得 ln
n n 2 n n 1 2 n n 1
ln n 2 1 1 1 n 3 1 1 1同理 ， ln ， ，n 1 2 n 1 n 2 n 2 2 n 2 n 3
ln n n 1 1 1
n n 1 2 n n 1 n
n
两边分别累加得：
ln n 1 ln n 2 ln n n
n n 1 n n 1
1 1 1 1 1 1 1
2 n n 1 n 1 n 2
n n 1
n n
第 4页
{#{QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=}#}
n 1 n 2 n n ln 1 1 1 1 1即
n n 1 n n 1 2n n 1 n 2 n n 1 4n
1 1 1
即
1 1
ln 2
n 1 n 2 n 3 n n 4n 分
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{#{QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=}#}2023-2024 学年第二学期六校联合体期末调研测试
高二数学
2024.6.24
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．对于 x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数 r（如下），则线性相关
性最强的是
A．－0.87 B．0.72 C．－0.78 D．0.85
2．在空间直角坐标系 O－xyz中，点(－1，2，3)关于 x轴的对称点坐标是
A．(1，2，3) B．(－1，－2，3) C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3)
3．已知(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋…＋a8(x－1)8，则 a0＋a1＋…＋a8＝
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．3个男生 2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是
A．24 B．48 C．96 D．120
5．已知函数 f(x)＝tanx，那么 f ' (π)的值是
3
A. 3 B. 3 C.2 D.4
3
6．已知随机变量 X，Y满足: X～B(4，p)，P(X＝0)＝16，X＋2Y＝1，则
81
A．E(X)＝2 B．E(Y)＝－1 C．D(X)＝4 D．D(Y)＝2
3 3 9 9
7．给出下列四个命题，其中真命题是
A．若向量 a 与向量 b，c 共面，则存在实数 x，y，使 a＝xb＋yc
→ → →
B．若存在实数 x，y，使MP＝xMA＋yMB，则点 P，M，A，B共面
C．直线 a的方向向量为 a＝(1，0，－1)，平面α的法向量为 m＝(1，1，1)，则 a⊥α
D．若平面β经过三点 P(－1，2，0)，Q(1，0，－1)，T(0，1，0)，向量 n＝(1，x，y)是平面β
的法向量，则 x＋y＝2
{#{QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=}#}
8．若函数 f (x) ae x x2 有两个极值点 x1, x2，且 x1 x2 ，则下列结论中不正确的是
A x 1 B x 1 C 2． 2 ． e 2 ．a的范围是 (0, ) D． ln x1 ln x 0x1 e
2
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，不选或有选错的得 0分．
9 －． A －， B分别为随机事件 A，B的对立事件，下列命题正确的是
A．P(A|B)＋P(－A |B)＝1 B．若 P(A)＞0，P(B)＞0，则 P(A)＋P(B)＝P(A＋B)
C．若 P(A|B)＝P(A)，则 A与 B独立 D．P(A|B)P(B)＋P(A|－B )P(－B )＝P(A)
10．已知函数 f (x)＝1x3－ax2－x，下列选项正确的是
3
A．若 f (x)在区间(0，2)上单调递减，则 a的取值范围为(3，＋∞)
4
B．若 f (x)在区间(0，2)上有极小值，则 a的取值范围为(－∞，3)
4
C．当 a＝0时，若经过点 M(2，m)可以作出曲线 y＝f (x)的三条切线，则实数 m的取值范围为
(－2，2)
3
D. 若曲线 y＝f (x)的对称中心为(1，－5)，则 a＝1
3
11．在棱长为 1的正方体 ABCD－A1B1C1D1中,点 F在底面 ABCD内运动(含边界),点 E是棱 CC1
的中点,则
A. 若 F在棱 AD上时，存在点 F使 cos∠D1B1F＝5
6
B. 若 F是棱 AD的中点，则 EF//平面 AB1C
C. 若 EF⊥平面 B1D1E，则 F是 AC上靠近 C的四等分点
D. 若 F在棱 AB上运动，则点 F到直线 B1E的距离最小值为2 5
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．
12．平面α过点 A(0，1，0)，其法向量为 m＝(0，2，1)，则点 B(1，1，1)到平面α的距离为____▲____．
13．从集合 U={a1，a2，a3，a4}的子集中选出 2个不．同．的子集 A，B，且 A B，则一共有____▲____
种选法．
14．现有甲、乙两个盒子，甲盒有 2个红球和 1个白球，乙盒有 1个红球和 1个白球．先从甲盒
中取出 2个球放入乙盒，再从乙盒中取出 2个球放入甲盒．记事件 A为“从甲盒中取出 2个红球”，
－－
事件 B为“乙盒还剩 1个红球和 1个白球”，则 P(B|A)＝____▲____，P( A B )＝____▲____．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13分)
为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的 100名学生，整理得到如下，左
表数据：
（1）求 a,b的值，并判断是否有 90％的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？
（2）经调查，学生的学习效率指数 y与每天锻炼时间 x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计
数据见右下表，求 y关于 x的线性回归方程．
x 2 3 4 5 6
男学生 女学生 合计
y 2.5 3 3.5 5 6
喜欢运动 a b 60
不喜欢运动 b b 0.1 0.05 0.01
合计 60 100 x 2.706 3.841 6.635
n n
n ad bc 2 xi x yi y xi yi nxy附：（1） 2 （2）
a b c d a c b d b
i 1 i 1
n n ,a y bx
x 2i x x 2i nx 2
i 1 i 1
16．(本小题满分 15分)
已知 f (x) (2 x)n (n 3,n N * )的展开式中，第 2，3，4项的二项式系数成等差数列．
（1）求 n的值；
（2）求 f (0.001)的近似值（精确到0.01）；
（3）求 (2 x)n的二项展开式中系数最大的项．
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17．(本小题满分 15分)
如图，所有棱长均为 2的正四棱锥 P－ABCD，点 M，N分别是 PA，BD上靠近 P，B的三等分点.
（1）求证：MN⊥BC；
（2）求二面角 M－CN－B的余弦值．
18．(本小题满分 17分)
某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮 4次，选手在连续投篮时，
第一次投进得 1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多 1分；若某次未投
进，则该次得 0分，且下一次投进得 1分．已知甲同学每次投进的概率为1，乙同学每次投进的
3
概率为2，且甲、乙每次投篮相互独立．
3
（1）求甲最后得 3分的概率；
（2）记甲最后得分为 X，求 X的概率分布和数学期望；
（3）记事件 B为“甲、乙总分之和为 7”，求 P(B)．
19．(本小题满分 17分)
定义：如果函数 y＝f (x)与 y＝g(x)的图象上分别存在点 M和点 N关于 x轴对称，则称函数 y＝f (x)
和 y＝g(x)具有“伙伴”关系.
（1）判断函数 f (x)＝9 x－4与 g(x)＝3 x +1是否具有“伙伴”关系；
（2）已知函数 f (x)＝lnx－ax－1，x∈(1，＋∞)，a＞0，g(x)＝1－a＋2a.
x
①若两函数具有“伙伴”关系，求 a的取值范围；
②若两函数不具有“伙伴”关系，求证： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＋ 1＞ln2，其中 n为正
n＋1 n＋2 n＋3 n＋n 4n
整数．
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