湘教版数学九年级上册（新） 教学设计：2.1《一元二次方程》

§2.1 《一元二次方程》教学设计
一、教材分析
1．教材结构分析
教材遵循“问题情境---建立模型---解 ( http: / / www.21cnjy.com )释、应用与拓展”的课程基本模式。先以一个“因人们收入不断提高，汽车产业的快速发展，汽车已 起来越多地进入普通家庭”的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出一个关于“从矩形中挖去一个圆，求剩余面积”的实际问题，引发学生思考、讨论，构建方程模型。通过引导学生对这两个方程结构的观察，透过表象抽象这两个方程的本质特征，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，附带牵出对二次项系数、一次项系数、常数项的定义。再通过对两个典型例题的分析和随堂练习，加深对一元二次方程的概念和一般形式的理解。体现了研究代数学问题的一般方法．
2．教材功能分析
针对实际问题，建立方程，引发学习本章内容的 ( http: / / www.21cnjy.com )需要，体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，培养学生观察问题、分析问题、抽象概括事实本质和方程模型思想。
二、学生分析
1．已有知识背景
学生在七年级上册学习了一元一次方程，七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )下册对“元”进行扩展，得到二元一次，完成了二元一次方程组的学习，八年级上册分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现。
2．已有活动经验
所任教班级分为六个学习小组 ( http: / / www.21cnjy.com )，学生基本掌握了自主、合作、探究的学习方式，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题，知道了基本步骤（审设列解验答）.
3．问题诊断分析
九年义务教育的普及，使得本地农村学生发 ( http: / / www.21cnjy.com )展极不平衡，两极分化现象突显。一元二次方程第一次实现 “次”的提升，新事物的产生，学生必然存在着疑问。同时，一个学期没有触及到方程，对等量关系的确立认知模糊，对题意的理解、抽象事物的本质、归纳概括事实、数学符号语言的应用等能力相对偏弱。基于此，本课的教学重点确定为一元二次方程概念的形成过程，教学难点是一元二次方程的概念和对一元二次方程的项、系数的认识．
三、教学目标
1.知识技能
1)理解一元二次方程的概念.
2)掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
2.数学思考
1)通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，分析、归纳、解决问题的能力.
2)通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
3)由知识来源于实际，树立转化的思想，渗透方程的思想。
3.解决问题
在分析、揭示实际问题的数量关系并把 ( http: / / www.21cnjy.com )实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
4.情感态度
1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识。
2)激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点：一元二次方程的概念及一般形式.
教学难点：由实际问题向数学问题的转化过程.
四、目标解析
1．通过实际问题的解决， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性．
2．将不同形式的一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．
五、教学模式：概念形成的教学模式（理论依据：奥苏贝尔的上位学习理论）。
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六、教学方法：启发式+讨论式
七、教学过程设计
1．创设情境，探究交流
PPT展示教材“动脑筋”，单数组探究交流情境（1），双数组探究交流情境（2）。
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思考：（①x2-2500=0;②25x2+50）
问题1．这两个方程属于我们学过的某一类方程吗？
师生活动:学生独立思考，组 ( http: / / www.21cnjy.com )员合作，小组内部交流，选派代表展示小组成果，其他学生提出质疑；整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念；观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名。老师参与小组活动，适时指导，梳理思路，解疑释惑。
【设计意图】新课标指出：“学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展；教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。”问题情境具有一定的挑战性，为满足学生的求知欲和好胜心，问题解决给足学生充分的时间和空间，使学生充分认识到（一 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )元二次方程）是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．
2．关注过程，促进内化
情境（3）：城南中学举行九年级班级篮 ( http: / / www.21cnjy.com )球循环赛（每两个班之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请说说城南中学九年级共有多少个班级？
教师引导学生思考并回答以下几个问题：
全部比赛共有______场．
若设城南中学共有x个班级，则每个班要与其他____个班各赛一场，全部比赛共有___ 场．
由此，我们可以列出方程______________，化简得_______________．
问题2． 情境（1）（2）（3）中的这些方程含有多少个元？最高次数是多少？
师生活动：学生在教师的引导下，将实际问题中的语言转化成数学符号语言，寻找等量关系，学习建模，将列得的方程化简整理，判断出方程的元数和次数。
【设计意图】课程标准（20 ( http: / / www.21cnjy.com )11版）提出：“教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。”教材所列举的两个实例及课后的习题，不能完整地体现二次方程产生的背景。为了让学生更好地明晰二次项产生的根源，我在过程设计中增添了这个由两个不同的一次式相乘产生二次方程的问题情境，以加深对一元二次方程概念的理解。让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动接受走向主动学习．
问题3． 这些方程是什么方程？
师生活动:学生观 ( http: / / www.21cnjy.com )察（1）（2）（3）方程，思考它们的共性，尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式.老师补充、强调．
（1）一元二次方程的概念：
如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，这样的方程叫做一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式是ax2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c=0(a≠0)．其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
【设计意图】新课标指出：“教师在教学过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中，应该设计适当的学习活动引导学生通过观察、尝试、归纳、类比等活动发现一些规律，猜测某些结论”。通过对三个方程结构的观察，寻找它们的共性，抽象它们的本质，类比一元一次方程的定义，尝试定义一元二次方程。概括一般形式是从另一个角度对一元二次方程理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．
3．辨析应用，加深理解
问题4． 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．
师生活动:根据学情，随机选择学生回答，调动学生广泛地参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？
【设计意图】学生自己举例，应用概念 ( http: / / www.21cnjy.com )，从正反两个方向强化对概念的理解，在追问的过程中，引导学生比较新旧知识的联系和区别，建立新的认知结构，形成概念域（“数学知识的教学，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。”）。体系如下：
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开发学生认知资源，激发学生从不同角度、以不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学、分层指导的目的．
问题5． 请判断下列方程哪些是一元二次方程
例1．下列方程哪些是一元二次方程 说明理由。
① x2=9 ② 3x2-3=y2+2； ③ ；
④ x2-7=x2+2x； ⑤ (x+1)2=3； ⑥ x2+1=0；.
答案①⑤⑥
师生活动:学生独立思考，抢答。方程③、④ ( http: / / www.21cnjy.com )、⑥（优生）可能会产生争议，③帮助学生明确一元二次方程是整式方程，④体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识，⑥判断的依据是概念的三个要素。
【设计意图】“学生获得知识，必须建立 ( http: / / www.21cnjy.com )在自己思考的基础上”。补充学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识。
问题6．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．
例2(教材例题改编)．将下列方程化为一般形式，判断是否是一元二次方程？若是，指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
① 3x(1-x)+10=2(x+2)； ② 5x(x+1)+7=5x2-4．
师生活动:．各小组的3号（①题）、4号（②题）上板尝试解题，完后讲解思路，学生质疑。教师适时引导，强调注意事项（比如系数的符号问题）。
【设计意图】将问题充分暴露，培养学生的 ( http: / / www.21cnjy.com )口头表达能力，对症下药。引导学生归纳其中用到的知识、解决问题的思路和方法、解题的基本步骤和格式规范，形成正确的解题策略。
4．学以致用，巩固提高
教科书第28页： 练习
师生活动：独立完成，组内自纠、帮扶。
【设计意图】基础性、巩固性练习，检查本课内容的掌握情况．
5．引导反思，归纳总结
这节课在知识方面你学习了哪些内容？
在方法方面你学会了什么？
你有什么疑惑与感悟？
想进一步探究的问题是什么？
【设计意图】不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与，为每个学生都创造参加数学活动的机会，积累数学学习经验。
6．目标检测设计
【设计意图】对学有困难的学生，适当放低评价起点，允许再次评价，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。
1．下列方程哪些是关于x的一元二次方程
（1）kx2-x=1； （2）x=x2； （3）； （4）(x+1)2-x2=0．
【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解．
2．关于x的方程ax2-3x-2=0是一元二次方程，则（　 ）．
A．a>0 B． a≠0　　C．a=1　　 D．a≥0
【设计意图】考查a≠0的条件．
3．将关于x的一元二次方程(x-1)(x+3)=2(x+1)2化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式、所及概念的掌握情况．
7．布置作业：
必做题:教科书习题P28/A/1/(1)(2)(3)(4)
选做题: 关于x的方程2ax2-2bx+a=4x2-2x,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
【设计意图】分层布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性；开拓学生思维，体现数学的严谨性（分类讨论）。
八、板书设计
( http: / / www.21cnjy.com )
教学设计说明
《一元二次方程》是湘教版九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )数学上册第二章第一节内容，是起始课、概念课。教材按学生熟悉的课程基本模式“问题情境---建立模型---解释、应用与拓展”进行编排，流线型，顺理成章。
基于数学课程标准（2011）“学生是数 ( http: / / www.21cnjy.com )学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展；教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。”；“教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。”；“教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动引导学生通过观察、尝试、归纳、类比等活动发现一些规律，猜测某些结论”。； “数学知识的教学，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。”；“学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上”。等理念，本课教学我采用讨论+启发的概念形成教学模式，流程为：具体例子——观察共性——抽象本质——形成定义——强化概念——概念应用——形成概念域（系），以问题为导向，任务为驱动，将目标问题化（数学价值取向）——问题任务化（教什么）——任务“微课”化（怎么教）——知识结构化（整理升华）——评价层次化（体验成功的快乐），达成学习目标。
教学设计与实施，力求做到面向全体，激励为主 ( http: / / www.21cnjy.com )，尊重学生的个体差异，创设人人都能积极参与、全程参与的教学情节和环境氛围，体验数学知识的发生、发展过程和数学思想，学以致用。