8.4 三元一次方程组的解法讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册（含答案）

三元一次方程组
知识装备
1.解三元一次方程组最核心的思想是 .
2.对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：
一是确立消元目标——消哪个未知项；
二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“ ”.
3.注意两点：
(1)消元的选择
①选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；
②选择同一个未知项系数 最小的那个未知数消元.
(2)方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择的方法.
方法点拨
类型一 三元一次方程组一般型
例题1 解方程组
【解析】 由①—②消除z，②+③消除z，剩下关于x，y的方程组，解这个二元一次方程组即可.
【答案】
类型二 缺某元，消某元型
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例题 2 解方程组
【解析】 针对上例进行分析，方程组中的方程③里缺z，因此利用①、②消去z能达
到消元构成二元一次方程组的目的，或者将方程③看作关于x的表达式，通过代入消元法可直接将原方程组转化为二元一次方程组，由此达到“消去x”的目的.
【答案】
类型三 轮换方程组，求和作差型
例题3 解方程组
【解析】通过观察发现在每个方程中未知项的系数和相等，在整个方程组中每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等.具备这种特征的方程组，我们把它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法，也叫“一加一减”法，较简洁地求出此类方程组的解.
【答案】
类型四 遇比例式找关系式，遇比设元型
例题 4 解方程组
【解析】观察得知此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，把比例式化成关系式求解.
【答案】
题型分练
类型一 三元一次方程组一般型
解三元一次方程组
解下列方程组
3解方程组
类型二 缺某元，消某元型
解下列方程组
解下列方程组
解下列方程组
类型三 轮换方程组，求和作差型
解下列方程组
解方程组
3解方程组
类型四 遇比例式找关系式，遇比设元型
1 解方程组
若 求 x、y、z的值. ★☆ ★
解下列方程组
类型一 整体换元法
1.(1)原方程组的解是
(2)设
原方程组可化为 解得
所以 即 解得
(1)原方程组的解是
(2)设
原方程组可化为 解得
所以 解得
3.(1)原方程组的解是
此题可用换元法做，如下：
由①可设2x=6+6t,3y=6-6t,
即x=3+3t,y=2-2t,
代入②得7(3+3t)-17(2-2t)=97,
解得t=2.
所以x=3+3×2=9,y=2-2×2=-2.
所以原方程组的解为
类型二多元方程组
1.(1)由①+②+③+④+⑤
得
将①代入⑥得、 ，结合④可得
同理得
所以原方程组的解为
(2)由③+④得 代入①得.x =6,
由④+⑤得. 所以 代入②得.
所以
2.(1)由⑦-((①+②+③)-(④+⑤+⑥))
可得
(2)由⑥-①得 f-a=620;
由④-⑤得d-e=-160;
由②-③得b-c=-40.
所以 f--e+d--c+b--a= (f-a)+(d-e)+(b-c)=620-160-40=420.
3.(1)原方程组的解是
(2)由条件得并设 B,则
解得
所以